Inégalité triangulaire et médiatrice
INÉGALITÉ TRIANGULAIRE ET MÉDIATRICE
1ère Année Collège
Inégalité triangulaire
1) Cas où M est entre A et B
Propriété 1 : Si \(M \in [AB]\), alors \(AM + MB = AB\).
\(AP + PB = AB\)
2) Cas où M n’est pas entre A et B
Propriété 2 : Si \(M \notin [AB]\), alors \(AM + MB > AB\).
Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire.
\(AM + MB > AB\)
3) Résultat 1 : Condition d’existence d’un triangle
Résultat : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
4) Résultat 2 : Construction d’un triangle
Résultat : Pour que trois nombres soient les longueurs des côtés d’un triangle, il suffit que le plus grand des trois nombres soit inférieur à la somme des deux autres.
📌 Exemples :
Exemple 1 : \(AB = 3\) cm, \(AC = 4\) cm et \(BC = 5\) cm.
On peut construire le triangle ABC, car \(5 < 3 + 4\) (\(5 < 7\)).
Exemple 2 : \(EF = 2\) cm, \(EG = 3\) cm et \(FG = 6\) cm.
On ne peut pas construire le triangle EFG, car \(6 > 2 + 3\) (\(6 > 5\)).
Médiatrice d’un segment
Définition
Définition : La médiatrice d’un segment est une droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à son support.
(d) est la médiatrice du segment [AB]
Propriété directe
Propriété : Tout point appartenant à la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
\(M \in (d) \Rightarrow MA = MB\)
Propriété réciproque
Propriété : Tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
\(OA = OB \Rightarrow O \in (d)\)
Médiatrices d’un triangle
Définitions
Définition 1 : La médiatrice d’un triangle est la médiatrice de l’un de ses côtés.
Définition 2 : Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
Propriété fondamentale
Propriété : Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un seul point. Ce point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle EFD
Remarques
📌 Remarques :
• Pour construire le cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
• Le centre du cercle circonscrit peut être :
- À l’intérieur du triangle lorsque tous ses angles sont aigus
- À l’extérieur du triangle lorsque l’un de ses angles est obtus
- Sur l’un de ses côtés lorsque le triangle est rectangle
Tableau récapitulatif
| Notion | Propriété | Formule |
|---|---|---|
| Inégalité triangulaire (M sur [AB]) | La somme des distances est égale à AB | \(AM + MB = AB\) |
| Inégalité triangulaire (M hors [AB]) | La somme des distances est supérieure à AB | \(AM + MB > AB\) |
| Médiatrice (propriété directe) | Point sur la médiatrice → équidistant | \(M \in (d) \Rightarrow MA = MB\) |
| Médiatrice (propriété réciproque) | Point équidistant → sur la médiatrice | \(MA = MB \Rightarrow M \in (d)\) |
| Médiatrices d’un triangle | Concourantes au centre du cercle circonscrit | O est le centre |
📌 À retenir
- ✅ Si \(M \in [AB]\) alors \(AM + MB = AB\)
- ✅ Si \(M \notin [AB]\) alors \(AM + MB > AB\) (inégalité triangulaire)
- ✅ Pour qu’un triangle existe : le plus grand côté doit être < la somme des deux autres
- ✅ La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire passant par son milieu
- ✅ Tout point sur la médiatrice est équidistant des extrémités du segment
- ✅ Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit
Inégalité triangulaire et médiatrice