Inégalité triangulaire et médiatrice 1AC exercices corrigés
📋Exercice : Questions de cours (Inégalité triangulaire et médiatrice)
Énoncer l’inégalité triangulaire dans le cas où \(M \notin [AB]\). Donner l’écriture mathématique.
Que se passe-t-il si \(M \in [AB]\) ? Quelle égalité obtient-on ?
Quelle est la condition d’existence d’un triangle ? Donner un exemple de trois longueurs qui permettent de construire un triangle et un exemple qui ne le permet pas.
Définir la médiatrice d’un segment. Quelles sont ses deux caractéristiques ?
Énoncer la propriété directe de la médiatrice. Que peut-on dire d’un point situé sur la médiatrice d’un segment ?
Énoncer la propriété réciproque de la médiatrice. Que peut-on dire d’un point équidistant des extrémités d’un segment ?
Que sont les médiatrices d’un triangle ? Que peut-on dire de leurs points d’intersection ?
Définir le cercle circonscrit à un triangle. Comment déterminer son centre ?
Où se situe le centre du cercle circonscrit selon la nature du triangle (aigu, obtus, rectangle) ?
Écrire le tableau récapitulatif des propriétés de l’inégalité triangulaire et de la médiatrice.
Si \(M \notin [AB]\), alors \(AM + MB > AB\).
Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire.
Si \(M \in [AB]\), alors la somme des distances est égale à la longueur du segment.
Pour que trois nombres soient les longueurs des côtés d’un triangle, il suffit que le plus grand des trois nombres soit strictement inférieur à la somme des deux autres.
Exemple non constructible : \(2\) cm, \(3\) cm, \(6\) cm → \(6 > 2 + 3\) ❌
La médiatrice d’un segment est une droite qui :
- Passe par le milieu du segment
- Est perpendiculaire au support du segment
Tout point appartenant à la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
Les médiatrices d’un triangle sont les médiatrices de ses trois côtés.
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un seul point appelé le centre du cercle circonscrit.
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Son centre est le point d’intersection des trois médiatrices du triangle.
- Triangle aigu : le centre est à l’intérieur du triangle.
- Triangle obtus : le centre est à l’extérieur du triangle.
- Triangle rectangle : le centre est sur l’hypoténuse (au milieu de l’hypoténuse).
| Notion | Propriété | Formule |
|---|---|---|
| Inégalité triangulaire (M sur [AB]) | La somme des distances est égale à AB | \(AM + MB = AB\) |
| Inégalité triangulaire (M hors [AB]) | La somme des distances est supérieure à AB | \(AM + MB > AB\) |
| Médiatrice (propriété directe) | Point sur la médiatrice → équidistant | \(M \in (d) \Rightarrow MA = MB\) |
| Médiatrice (propriété réciproque) | Point équidistant → sur la médiatrice | \(MA = MB \Rightarrow M \in (d)\) |
| Médiatrices d’un triangle | Concourantes au centre du cercle circonscrit | O est le centre |
📐Exercice 1 : Condition d’existence d’un triangle
Dans chaque cas, dire s’il est possible de construire un triangle \(ABC\).
Règle : Pour qu’un triangle existe, le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
1) \(AB = 9\text{ cm}\), \(BC = 5\text{ cm}\), \(AC = 1\text{ cm}\)
2) \(AB = 6,5\text{ cm}\), \(BC = 7\text{ cm}\), \(AC = 5\text{ cm}\)
3) \(AB = 3,7\text{ cm}\), \(BC = 2,3\text{ cm}\), \(AC = 6\text{ cm}\)
📐Exercice 2 : Inégalité triangulaire – Dialogue
1) Tracer un segment \([AB]\) de longueur \(8\text{ cm}\).
2) Lire ce dialogue. Qui a raison ? Expliquer.
Dialogue entre les élèves
📐Exercice 3 : Problème – L’enclos triangulaire
Ali souhaite construire un enclos triangulaire dont un côté mesure \(8\text{ m}\). Pour cela, il achète \(15\text{ m}\) de fil de fer. Que peut-on en penser ?
Ali pourra-t-il construire son enclos triangulaire avec \(15\text{ m}\) de fil de fer ? Justifier.
📐Exercice 4 : Construction d’un triangle et de ses médiatrices
Tracer un triangle \(ABC\) tel que :
Tracer les médiatrices des côtés du triangle.
📐Exercice 5 : Les médiatrices d’un triangle
Triangle ABC avec ses médiatrices (d1), (d2) et (d3)
\(ABC\) est un triangle.
\((d_1)\) est la médiatrice de \([AB]\).
\((d_2)\) est la médiatrice de \([BC]\).
Les deux médiatrices \((d_1)\) et \((d_2)\) se coupent en \(O\).
\((d_3)\) est la médiatrice de \([AC]\).
Démontrer que le point \(O\) appartient aussi à \((d_3)\).
Recopier et compléter la propriété suivante (importante à retenir) :
Les trois médiatrices d’un triangle sont …………….
Le point de concours des trois médiatrices est le ……… d’un cercle qui passe par les ……… du triangle.
Ce cercle est appelé ……… au triangle.
📐Exercice 6 : Médiatrice et projection orthogonale
\(ABC\) est un triangle tel que \(BC = 7\text{ cm}\), \(AC = 4\text{ cm}\) et \(AB = 6\text{ cm}\).
La médiatrice \((\Delta)\) de \([BC]\) coupe la droite \((AB)\) en \(M\).
Soit le point \(N\) le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((BC)\).
Faire une figure.
Montrer que \(MBC\) est un triangle isocèle.
Calculer \(AM + MC\).
Montrer que \((\Delta) // (AN)\).
📐Exercice 7 : Cercle, corde et médiatrice
1) Tracer un cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(O\) et de rayon \(4\text{ cm}\).
– Placer deux points \(A\) et \(B\) sur le cercle \((\mathcal{C})\) tel que \(AB = 6\text{ cm}\).
– Tracer la corde \([AB]\).
– Placer le point \(M\) milieu de \([AB]\).
2) Montrer que \((OM)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
Réaliser la figure sur votre copie, puis démontrer que \((OM)\) est la médiatrice de \([AB]\).
📐Exercice 8 : Cercle, médiatrices et distances
Tracer un cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(O\) et de rayon \(4\text{ cm}\).
Soit \([BP]\) un diamètre de \((\mathcal{C})\).
La médiatrice de \([OB]\) coupe \([OB]\) en \(N\) et le cercle \((\mathcal{C})\) en \(E\) et \(F\).
\((\Delta)\) est la médiatrice de \([ON]\) coupe \([ON]\) en \(I\).
Faire une figure.
Montrer que \((\Delta) // (EF)\).
Calculer \(BI\).
Montrer que \(PE = PF\).
📐
Exercice 9 : Médiatrice d’un segment
Figure 1 : La droite (D) avec les points R, S et E | Figure 2 : La droite (KL) avec les points G, H, K et L
Est-ce que la droite \((D)\) est la médiatrice du segment \([RS]\) ? Pourquoi ?
Est-ce que \(ER = ES\) ? Pourquoi ?
Est-ce que la droite \((KL)\) est la médiatrice du segment \([GH]\) ? Pourquoi ?
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📐Exercice 10 : Deux cercles et médiatrice
On considère deux cercles \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}’)\) de centres respectifs \(O\) et \(O’\), de rayons différents, qui se coupent en \(A\) et \(B\).
Démontrer que la droite \((OO’)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
Démontrer que la droite \((OO’)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
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📐Exercice 11 : Médiatrice et milieu d’un segment
On considère la figure ci-contre telle que :
• \(MA = MB\)
• \(NA = NB\)
• La droite \((MN)\) coupe le segment \([AB]\) au point \(I\).
Montrer que le point \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
Montrer que le point \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
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