La gravitation universelle exercices corrigés
🌌Exercice : Questions de cours (Gravitation universelle)
Donner la définition de la gravitation universelle. Quelle est son rôle dans l’univers ?
Énoncer la loi de gravitation universelle de Newton. Donner son expression mathématique.
Donner la valeur de la constante de gravitation universelle \( G \) et préciser son unité dans le Système International.
Donner les caractéristiques des forces d’interaction gravitationnelle entre deux corps ponctuels A et B.
Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction exercée par la Terre sur un corps de masse \( m \) situé à une altitude \( h \) de la surface terrestre.
Définir l’Unité Astronomique (U.A) et l’Année Lumière (A.L). Donner leurs valeurs en mètres.
Qu’est-ce que l’ordre de grandeur d’un nombre ? Donner un exemple tiré du cours.
Que sont les chiffres significatifs ? Donner les règles à respecter lors des opérations (multiplication/division et addition/soustraction).
La gravitation universelle est une interaction fondamentale responsable de la cohésion de l’univers.
Elle est prédominante à l’échelle astronomique et explique :
- La chute des corps sur Terre
- Le mouvement de la Lune autour de la Terre
- Le mouvement des planètes autour du Soleil
- La cohésion et la structure du système solaire
Énoncé : À cause de leurs masses, les corps exercent les uns sur les autres des forces attractives mutuelles.
Expression mathématique : Pour deux corps ponctuels A et B de masses \( m_A \) et \( m_B \), séparés par une distance \( d \) :
Cette loi est valable pour des corps volumineux à répartition sphérique de masse.
Unité : \( \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \) (newton × mètre² / kilogramme²)
Les deux forces d’interaction gravitationnelle \( \vec{F}_{A/B} \) et \( \vec{F}_{B/A} \) ont :
- Même droite d’action : la droite (AB)
- Des sens opposés : chaque force est dirigée vers le corps qui l’exerce
- Même intensité : \( F_{A/B} = F_{B/A} = G \cdot \dfrac{m_A \cdot m_B}{d^2} \)
Pour un corps de masse \( m \) situé à l’altitude \( h \) par rapport à la surface de la Terre :
Avec :
- \( M_T = 6,0 \times 10^{24} \, \text{kg} \) (masse de la Terre)
- \( R_T = 6380 \, \text{km} = 6,38 \times 10^6 \, \text{m} \) (rayon de la Terre)
Unité Astronomique (U.A)
Distance moyenne entre le centre de la Terre et le centre du Soleil.
Année Lumière (A.L)
Distance parcourue par la lumière dans le vide en une année.
Avec \( c = 3,0 \times 10^8 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \)
L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre.
Règle : Pour \( N = a \times 10^n \)
- Si \( a < 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^n \)
- Si \( a \ge 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^{n+1} \)
Exemple : Pour \( 258 = 2,58 \times 10^2 \), \( 2,58 < 5 \), donc l’ordre de grandeur est \( 10^2 \).
Utilité : Comparer les distances sur l’échelle des longueurs.
Les chiffres significatifs sont les chiffres qui forment le nombre \( a \) dans l’écriture scientifique \( N = a \times 10^n \).
Règles :
- Pour la multiplication et la division : le résultat doit contenir le même nombre de chiffres significatifs que le nombre qui en a le moins.
- Pour l’addition et la soustraction : le résultat doit contenir le même nombre de chiffres après la virgule que le nombre qui en a le moins.
Exemples :
🪐Exercice 1 : Diamètres des planètes
Le tableau ci-dessous présente les diamètres de Mercure, Vénus, la Terre, Saturne et Neptune en différentes unités.
| Planète | Diamètre | Notation scientifique (m) | Ordre de grandeur |
|---|---|---|---|
| Mercure | 4 900 km | ||
| Vénus | 12 millions de mètres | ||
| Terre | \( 1,3 \times 10^4 \, \text{km} \) | ||
| Saturne | \( 12 \times 10^7 \, \text{m} \) | ||
| Neptune | 50 000 km |
Compléter le tableau avec les conversions en mètres (notation scientifique) et les ordres de grandeur.
Classer ces planètes par diamètre croissant.
Identifier les planètes partageant le même ordre de grandeur que la Terre.
Écriture scientifique : \( N = a \times 10^n \) avec \( 1 \le a < 10 \) et \( n \in \mathbb{Z} \)
Ordre de grandeur : Puissance de 10 la plus proche.
- Si \( a < 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^n \)
- Si \( a \ge 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^{n+1} \)
Conversions : \( 1 \, \text{km} = 10^3 \, \text{m} \)
| Planète | Diamètre | Notation scientifique (m) | Ordre de grandeur |
|---|---|---|---|
| Mercure | 4 900 km | \( 4,9 \times 10^6 \, \text{m} \) | \( 10^7 \, \text{m} \) |
| Vénus | 12 000 000 m | \( 1,2 \times 10^7 \, \text{m} \) | \( 10^7 \, \text{m} \) |
| Terre | \( 1,3 \times 10^4 \, \text{km} \) | \( 1,3 \times 10^7 \, \text{m} \) | \( 10^7 \, \text{m} \) |
| Saturne | \( 12 \times 10^7 \, \text{m} \) | \( 1,2 \times 10^8 \, \text{m} \) | \( 10^8 \, \text{m} \) |
| Neptune | 50 000 km | \( 5,0 \times 10^7 \, \text{m} \) | \( 10^8 \, \text{m} \) |
Détail des conversions :
Mercure
\( a = 4,9 < 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^6 \, \text{m} \)
Vénus
\( a = 1,2 < 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^7 \, \text{m} \)
Terre
\( a = 1,3 < 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^7 \, \text{m} \)
Saturne
\( a = 1,2 < 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^8 \, \text{m} \)
Neptune
\( a = 5,0 \ge 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^8 \, \text{m} \)
En comparant les diamètres en mètres :
| Classement | Planète | Diamètre (m) |
|---|---|---|
| 1 | Mercure | \( 4,9 \times 10^6 \) |
| 2 | Vénus | \( 1,2 \times 10^7 \) |
| 3 | Terre | \( 1,3 \times 10^7 \) |
| 4 | Neptune | \( 5,0 \times 10^7 \) |
| 5 | Saturne | \( 1,2 \times 10^8 \) |
L’ordre de grandeur de la Terre est \( 10^7 \, \text{m} \)**.
Les planètes ayant le même ordre de grandeur sont celles dont le diamètre est également de l’ordre de \( 10^7 \, \text{m} \) :
Vénus
\( 1,2 \times 10^7 \, \text{m} \)
Terre
\( 1,3 \times 10^7 \, \text{m} \)
💡 Remarque : Mercure a un ordre de grandeur de \( 10^6 \, \text{m} \), Neptune et Saturne ont un ordre de grandeur de \( 10^8 \, \text{m} \).
📌 Récapitulatif des résultats
| Planète | Diamètre (m) | Ordre de grandeur | Classement |
|---|---|---|---|
| Mercure | \( 4,9 \times 10^6 \) | \( 10^6 \) | 1 |
| Vénus | \( 1,2 \times 10^7 \) | \( 10^7 \) | 2 |
| Terre | \( 1,3 \times 10^7 \) | \( 10^7 \) | 3 |
| Neptune | \( 5,0 \times 10^7 \) | \( 10^8 \) | 4 |
| Saturne | \( 1,2 \times 10^8 \) | \( 10^8 \) | 5 |
📌 Formules clés :
Conversion km → m
Écriture scientifique
Puissance de 10 la plus proche
🌍Exercice 2 : Force d’attraction gravitationnelle
Une boule de masse \( m = 700 \, \text{g} \) se trouve à une distance \( d = 1 \, \text{m} \) de la surface de la Terre.
Données :
- \( M_T = 6,0 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
- \( R_T = 6378 \, \text{km} \)
- \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle entre la Terre et la boule.
Calculer sa valeur numérique.
En déduire l’intensité de la pesanteur \( g \) à cette distance.
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🪐Exercice 3 : Force gravitationnelle Neptune-Triton
Triton est un satellite de la planète Neptune.
📌 Données
- Masse de Triton : \( m_T = 1,30 \times 10^{19} \, \text{kg} \)
- Masse de Neptune : \( m_N = 1,26 \times 10^{26} \, \text{kg} \)
- Distance Triton-Neptune : \( d = 3,55 \times 10^6 \, \text{km} \)
- Constante gravitationnelle : \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
Calculer la valeur de la force d’attraction gravitationnelle \( F_{N/T} \) que Neptune exerce sur Triton.
Représenter la force \( \vec{F}_{N/T} \) sur le schéma avec l’échelle donnée.
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🛰️Exercice 4 : Satellite en orbite terrestre
Un satellite artificiel de masse \( m = 980 \, \text{kg} \) gravite autour de la Terre à une altitude \( h = 800 \, \text{km} \) , selon une trajectoire circulaire à vitesse constante.
📌 Données
- Masse de la Terre : \( M_T = 5,98 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
- Rayon terrestre : \( R_T = 6,38 \times 10^3 \, \text{km} = 6,38 \times 10^6 \, \text{m} \)
- Intensité de la pesanteur : \( g = 9,80 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
- Constante gravitationnelle : \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
Dans quel référentiel étudie-t-on le mouvement du satellite ?
Calculer le poids \( P \) du satellite sur Terre.
Calculer la force \( F_{T/S} \) exercée par la Terre sur le satellite :
a) À la surface de la Terre
b) En orbite à \( h = 800 \, \text{km} \)
Préciser le sens et la direction de \( \vec{F}_{T/S} \) pour un mouvement circulaire uniforme.
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🌑Exercice 5 : Forces gravitationnelles lors de la nouvelle Lune
Lors de la nouvelle Lune, la Lune est située entre la Terre et le Soleil.
📌 Données
- \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
- Masse de la Terre : \( m_T = 5,98 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
- Masse de la Lune : \( m_L = 7,4 \times 10^{22} \, \text{kg} \)
- Masse du Soleil : \( m_S = 2,0 \times 10^{30} \, \text{kg} \)
- Distance Terre-Soleil : \( d_{TS} = 1,50 \times 10^{11} \, \text{m} \)
- Distance Terre-Lune : \( d_{TL} = 3,84 \times 10^8 \, \text{m} \)
Schématiser la situation (sans échelle).
Exprimer et calculer la force Terre-Lune \( F_{T/L} \).
Exprimer et calculer la force Soleil-Lune \( F_{S/L} \).
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☀️Exercice 6 : Force gravitationnelle Soleil-Terre
Étude de la force d’attraction gravitationnelle entre le Soleil et la Terre.
📌 Données
- \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
- Masse de la Terre : \( m_T = 5,98 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
- Masse du Soleil : \( m_S = 2,0 \times 10^{30} \, \text{kg} \)
- Distance Terre-Soleil : \( d_{TS} = 1,50 \times 10^{11} \, \text{m} \)
Donner l’expression littérale de la force d’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre.
Calculer la valeur de cette force.
Représenter sur un schéma les forces d’attraction gravitationnelle \( \vec{F}_{S/T} \) et \( \vec{F}_{T/S} \).
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🪐Exercice 7 : Interaction gravitationnelle Soleil-Jupiter
La force gravitationnelle exercée par le Soleil sur Jupiter vaut \( F_{S/J} = 4,14 \times 10^{23} \, \text{N} \).
📌 Données
- Distance Soleil-Jupiter : \( d = 7,79 \times 10^8 \, \text{km} \)
- Masse du Soleil : \( m_S = 1,98 \times 10^{30} \, \text{kg} \)
- Constante gravitationnelle : \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
- Force Soleil-Jupiter : \( F_{S/J} = 4,14 \times 10^{23} \, \text{N} \)
Calculer la masse \( m_J \) de Jupiter.
Que peut-on dire de la valeur de \( F_{J/S} \) (force de Jupiter sur le Soleil) ?
Quelle relation vectorielle existe-t-il entre ces deux forces ?
Représenter ces forces sur un schéma avec une échelle adaptée.
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🚀Exercice 8 : Poids d’un vaisseau spatial
La masse d’un vaisseau spatial destiné à l’exploration lunaire est \( m = 1,5 \, \text{tonne} \).
📌 Données
- Intensité de la pesanteur sur la Terre : \( g_T = 9,8 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
- Intensité de la pesanteur sur la Lune : \( g_L = 1,6 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
Calculer son poids sur la Terre, puis sur la Lune.
Au voisinage de la Terre, le poids du vaisseau dépend-il de son altitude par rapport à la Terre ?
Même question au voisinage de la Lune.
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🪐Exercice 9 : Intensité de la pesanteur sur Terre et sur Jupiter
On considère un corps de masse \( m \) se trouvant à la surface d’une planète de masse \( M \) et de rayon \( R \).
📌 Données
- Rayon de la Terre : \( R_T = 6\,400 \, \text{km} = 6,4 \times 10^6 \, \text{m} \)
- Masse de la Terre : \( M_T = 6,0 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
- Rayon de Jupiter : \( R_J = 7,15 \times 10^4 \, \text{km} = 7,15 \times 10^7 \, \text{m} \)
- Masse de Jupiter : \( M_J = 1,9 \times 10^{27} \, \text{kg} \)
- Constante gravitationnelle : \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle exercée par la planète sur le corps.
Donner l’expression du poids \( P_0 \) de ce corps à la surface de la planète.
En déduire l’expression de l’intensité de la pesanteur \( g_0 \) à la surface de la planète.
Calculer l’intensité de la pesanteur dans les deux cas :
a) À la surface de la Terre
b) À la surface de Jupiter
Comparer le poids de ce corps à la surface de Jupiter avec son poids à la surface de la Terre.
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📊Exercice 10 : Variation de l’intensité de la pesanteur
Au voisinage de la Terre, l’intensité de la pesanteur à la verticale d’un point donné dépend de l’altitude.
À l’altitude \( z \), l’intensité de la pesanteur \( g \) est donnée par la formule :
\( g = g_0 \times \left( \dfrac{R}{R + z} \right)^2 \)
avec :
- \( g_0 = 9,8 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \) (intensité au sol)
- \( R = 6,4 \times 10^3 \, \text{km} \) (rayon terrestre)
Calculer \( g \) à l’altitude \( z = 1,0 \times 10^3 \, \text{km} \).
Pour un corps de poids \( P_0 = 5,0 \times 10^2 \, \text{N} \) au sol, déterminer son poids \( P \) à l’altitude \( z = 1,0 \times 10^3 \, \text{km} \).
Déterminer le facteur de division du poids entre le sol et l’altitude \( z = 2R \).
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🪐Exercice 11 : Intensité de la pesanteur planétaire
L’intensité de la pesanteur \( g \) à la surface d’une planète peut se calculer par la formule :
\( g = G \times \dfrac{M}{R^2} \)
où \( M \) = masse de la planète et \( R \) = rayon de la planète
Donnée : \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
Calculer \( g \) à la surface de la Terre.
Calculer \( g \) à la surface de Jupiter.
Comparer le poids d’un objet sur Terre et sur Jupiter.
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⚖️Exercice 12 : Point d’équilibre Terre-Lune
La distance entre les centres de la Terre et de la Lune est, en moyenne, de \( L = 384\,000 \, \text{km} \). Il existe un point \( A \) où les forces de gravitation s’équilibrent.
Schématiser la situation en notant :
• \( d \) = distance Terre-\( A \)
• \( d’ \) = distance Lune-\( A \)
Exprimer \( L \) en fonction de \( d \) et \( d’ \).
Exprimer la force \( F \) (Terre → objet en \( A \)).
Exprimer la force \( F’ \) (Lune → objet en \( A \)).
Quelle relation lie \( F \) et \( F’ \) en \( A \) ?
Déterminer la position de \( A \) sachant que :
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⛰️Exercice 13 : Poids et Gravitation
Sachant que le poids d’une personne à l’équateur, où l’intensité de la pesanteur est \( g_0 = 9,81 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \) , est \( P_0 = 500 \, \text{N} \).
On suppose que la Terre a une symétrie sphérique et que l’intensité de la force de gravitation universelle \( F \) est égale au poids du corps \( P \).
Donnée : \( R_T = 6400 \, \text{km} \)
Définir le poids d’un corps.
Calculer la masse de cette personne.
Donner l’expression de l’intensité de la pesanteur \( g_h \) à l’altitude \( h \) en fonction de \( R_T \), \( g_0 \) et \( h \).
Calculer l’intensité de la pesanteur \( g_h \) au sommet du Toubkal (altitude \( h = 4165 \, \text{m} \) ). En déduire le poids de cette personne au sommet.
Donnée : \( R_T = 6400 \, \text{km} \)
Déterminer l’altitude \( h \) à laquelle transporter un solide \( S \) pour que son poids soit \( P_h = \dfrac{P_0}{9} \).
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🌙Exercice 14 : Poids et Gravitation lunaire
Un corps (C) de masse \( m = 600 \, \text{kg} \) est placé à une altitude \( h_L \) au‑dessus de la surface de la Lune.
Données :
\( M_L = 7,3 \cdot 10^{22} \, \text{kg} \),
\( R_L = 1\,738 \, \text{km} \),
\( M_T = 6,0 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \).
On note \( g_0 \) l’intensité de la pesanteur à la surface de la Lune.
Donner l’expression de l’intensité de la pesanteur \( g \) à l’altitude \( h_L \)
en fonction de \( R_L \), \( h_L \) et \( g_0 \) (intensité à la surface).
En déduire la valeur de l’altitude \( h_L \) sachant que \( \dfrac{g}{g_0} = 0,25 \).
Calculer la force \( F \) exercée par la Lune sur le corps (C) dans la situation de la question 2.
On place maintenant (C) au point \( M \) à l’altitude \( h’_L = 36\,415 \, \text{km} \) de la surface lunaire.
Ce point est aligné avec la Terre et la Lune.
Déterminer l’expression de la distance \( d \) (centre Terre – centre Lune) pour que la somme des forces gravitationnelles exercées par la Terre et la Lune sur (C) soit nulle.
Calculer numériquement la valeur de \( d \) (en km) avec
\( M_T = 6,0 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \).
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La gravitation universelle exercices corrigés