La gravitation universelle -Cours
🌌 LA GRAVITATION UNIVERSELLE
L’échelle des longueurs • La loi de Newton • Le poids
L’échelle des longueurs de l’univers
1- Unité de longueur
Dans le S.I (Système International des Unités), l’unité de longueur est le mètre ; symbole m.
On exprime souvent les longueurs avec des multiples ou des sous-multiples du mètre.
2- Multiples et sous-multiples d’une unité
| Multiples du mètre | Sous-multiples du mètre | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Giga (G) | Méga (M) | Kilo (k) | hecto (h) | déca (da) | déci (d) | centi (c) | milli (m) | micro (µ) | nano (n) | pico (p) | femto (f) | |
| \(10^{9}\) | \(10^{6}\) | \(10^{3}\) | \(10^{2}\) | \(10^{1}\) | \(10^{-1}\) | \(10^{-2}\) | \(10^{-3}\) | \(10^{-6}\) | \(10^{-9}\) | \(10^{-12}\) | \(10^{-15}\) | |
3- Unité astronomique et année-lumière
Pour exprimer les longueurs à l’échelle astronomique, on utilise plus souvent d’autres unités telles-que :
- Unité astronomique : est la distance moyenne entre la terre et le soleil tel que : \(1\ \text{U.A} = 1,5 \times 10^{8}\ \text{km}\)
- L’année lumière : est la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une année avec une vitesse de \(3 \times 10^{8}\ \text{m/s}\).
Application 1
1) Calculer la valeur de l’année lumière en Km sachant que \(1\ \text{an} = 365,25\ \text{j}\)
2) Calculer la valeur de l’année lumière en unité astronomique u.a
Réponse :
\(1\ \text{al} = c \times 1\ \text{an} = 3 \times 10^8 \times 365,25 \times 24 \times 3600\)
\(1\ \text{al} = 9,47 \times 10^{12}\ \text{km}\)
\(1\ \text{al} = 63\,000\ \text{UA}\)
4- Écriture scientifique d’un nombre
La notation scientifique est l’écriture d’un nombre sous la forme du produit : \(a \times 10^{n}\)
Avec a : nombre décimal \(1 \le a < 10\) et n, entier positif ou négatif
5- Ordre de grandeur d’un nombre
L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Pour trouver l’ordre de grandeur d’un nombre on doit l’écrire en notation scientifique qui se compose d’un nombre à multiplier par \(10^{n}\) c’est-à-dire \((a \times 10^{n})\), puis on applique la règle suivante :
- Si \(a < 5\) alors l’ordre de grandeur du nombre est \(10^{n}\) ;
- Si \(a \ge 5\) alors l’ordre de grandeur est \(10^{n+1}\).
Remarque :
- Pour comparer les valeurs prises par une grandeur physique (Exemples : une masse une longueur), il faut les convertir dans la même unité.
- Deux valeurs seront du même ordre de grandeur si le quotient de l’ordre de grandeur de la plus grande par la plus petite est compris entre 1 et 10.
6- L’échelle des longueurs
Pour explorer et décrire l’univers. Le physicien construit une échelle de distance de l’infiniment petit vers l’infiniment grand, c’est l’échelle des longueurs.
Application 2 :
Compléter le tableau suivant.
| Objet | Longueur | Longueur sous forme \(a \times 10^{r}\) en m | Ordre de grandeur |
|---|---|---|---|
| A – Système solaire | \(380000\ \text{km}\) | \(3,8 \times 10^{8}\ \text{m}\) | \(10^{8}\ \text{m}\) |
| B – Une orange | \(8\ \text{cm}\) | \(8 \times 10^{-2}\ \text{m}\) | \(10^{-1}\ \text{m}\) |
| C – Galaxie (voie lactée) | \(10^{21}\ \text{m}\) | \(1 \times 10^{21}\ \text{m}\) | \(10^{21}\ \text{m}\) |
| D – Un cheveu | \(40\ \mu\text{m}\) | \(4 \times 10^{-5}\ \text{m}\) | \(10^{-5}\ \text{m}\) |
| E – Un globule rouge | \(7\ \mu\text{m}\) | \(7 \times 10^{-6}\ \text{m}\) | \(10^{-5}\ \text{m}\) |
| F – Le noyau d’atome | \(1\ \text{fm}\) | \(1 \times 10^{-15}\ \text{m}\) | \(10^{-15}\ \text{m}\) |
| G – Le rayon de la terre | \(6400\ \text{km}\) | \(6,4 \times 10^{6}\ \text{m}\) | \(10^{7}\ \text{m}\) |
| H – La mosquée Hassan II | \(210\ \text{m}\) | \(2,1 \times 10^{2}\ \text{m}\) | \(10^{2}\ \text{m}\) |
| K – Soleil – Terre | \(150 \times 10^{6}\ \text{km}\) | \(1,5 \times 10^{11}\ \text{m}\) | \(10^{11}\ \text{m}\) |
| L – Un atome | \(0,14\ \text{nm}\) | \(1,4 \times 10^{-10}\ \text{m}\) | \(10^{-10}\ \text{m}\) |
| M – Jbel Toubkal | \(4167\ \text{m}\) | \(4,167 \times 10^{3}\ \text{m}\) | \(10^{4}\ \text{m}\) |
La gravitation universelle
La gravitation est une interaction (action réciproque) attractive entre tous les objets, qui ont une masse. C’est une interaction qui s’exerce à distance.
Cette interaction dépend de la masse des objets et de la distance qui les sépare.
1- Enoncé et l’expression mathématique de la loi de Newton de la gravitation universelle
1-1- Enoncé de la loi :
A cause de leurs masses, les corps exercent mutuellement les uns sur les autres des forces à effets attractifs.
1-2- L’expression mathématique de la loi de Newton :
Deux corps A et B ponctuels (c’est-à-dire de petites dimension par rapport à la distance qui les sépare), de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés d’une distance \(d\), exercent l’un sur l’autre des forces d’attractions gravitationnelle.
- \(m_A\) et \(m_B\) sont des masses exprimées en Kg.
- \(d\) est la distance entre les deux corps en mètre m.
- G : la constante de gravitation universelle dont la valeur est : \(G = 6,67 \times 10^{-11}\ \text{N.kg}^{-2}.m^{2}\)
- \(F_{A/B}\) et \(F_{B/A}\) sont les intensités des forces exprimées en Newton (N)
2- L’interaction gravitationnelle entre 2 corps à répartition sphérique de masse
La loi de l’attraction gravitationnelle peut être généralisée à tous les corps à répartition sphérique de masse. Un corps à répartition sphérique de masse est un corps dont la matière est répartie uniformément autour de lui ou en couches sphériques homogènes autour de son centre. c’est le cas de la Terre, de la Lune, des Planètes et des Etoiles.
Dans le cas de l’interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune, l’intensité de la force exercée par la Terre sur la Lune est donnée par l’expression :
- \(M_T\) : Masse de la Terre \(M_T = 5,98 \times 10^{24}\ \text{Kg}\)
- \(M_L\) : Masse de la Lune \(M_L = 7,34 \times 10^{22}\ \text{Kg}\)
- \(d\) : distance entre le centre de la Terre et le centre de la Lune.
Remarque :
La force qu’exerce la Terre sur la Lune est égale en intensité à la force exercée par la Lune sur la Terre \(F_{T/L} = F_{L/T}\).
Application 3 :
Un satellite artificiel de masse \(1,80 \times 10^{3}\ \text{kg}\) tourne autour de la terre, sur une orbite circulaire, à une altitude de 250 km.
- Donner l’expression de la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite. Calculer sa valeur.
- Représenter cette force sur un schéma faisant apparaître la Terre et le satellite en utilisant l’échelle suivante : 1 cm \(\rightarrow 1 \times 10^4\ \text{N}\).
- Le satellite exerce une force sur la Terre. La comparer à celle exercée par la Terre sur le satellite.
- Calculer la valeur de cette force, si le satellite est placé sur la surface de la Terre.
\(G = 6,67 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2.\text{kg}^{-2}\), Masse de la Terre : \(M_T = 5,98 \times 10^{24}\ \text{kg}\), Rayon de la Terre : \(R_T = 6378\ \text{km}\).
Réponse :
1- Expression de la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite :
\(F = G \times \dfrac{M_T \times m}{(R_T + h)^2}\)
Calculer sa valeur :
\(F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5,98 \times 10^{24} \times 1,80 \times 10^3}{(6378 + 250 \times 10^3)^2}\)
\(F = \mathbf{1,63 \times 10^4\ \text{N}}\)
2- Représentation de la force :
• Point d’application : O’
• Direction : la droite (OO’)
• Sens : de O’ vers O
• L’intensité de la force : \(F = 1,63 \times 10^4\ \text{N}\).
3- Force exercée par le satellite sur la Terre :
Caractéristiques du vecteur force \(F’\) :
• Point d’application : O
• Direction : la droite (OO’)
• Sens : de O vers O’
• L’intensité de la force : \(F’ = F = \mathbf{1,63 \times 10^4\ \text{N}}\).
4- Calculer la valeur de cette force, si le satellite est placé sur la surface de la Terre :
\(F_0 = G \times \dfrac{M_T \times m}{R_T^2}\)
\(F_0 = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5,98 \times 10^{24} \times 1,80 \times 10^3}{6378^2}\)
\(F_0 = \mathbf{1,77 \times 10^{10}\ \text{N}}\)
Poids d’un corps et force gravitationnelle
1- Poids d’un corps
En absence du mouvement de rotation de la terre autour de l’axe passant par ses pôles. Le poids d’un corps est la force d’attraction qu’il subit lorsqu’il est situé à la surface de la Terre ou, à proximité de sa surface. Le poids d’un corps est essentiellement la force de gravitation que la Terre exerce sur lui.
2- Caractéristiques du poids
- Point d’action : centre de gravité du corps ;
- direction : la verticale ;
- sens : de haut en bas (vers le centre de la Terre) ;
- intensité (ou valeur) : \(P = m \times g\)
3- Expression de l’intensité de la pesanteur
Le poids \(P\) d’un objet situé à l’altitude \(h\) de la surface de la Terre, peut-être identifié à la force de gravitation \(F\) exercée par la Terre sur cet objet :
\(P = F = m \times g_h\) avec \(F = G \times \dfrac{M_T \times m}{(R_T + h)^2}\) (on pose \(d = R_T + h\))
Alors :
Remarque :
– cette expression est aussi valable à la surface de la Terre (\(h=0\)) on obtient :
\(g_0 = G \times \dfrac{M_T}{R_T^2}\)
\(m\) : masse de la terre en kg
\(g\) : intensité de la pesanteur en \(\text{N.kg}^{-1}\)
4- Relation entre \(g_0\) et \(g_h\)
Après les deux relations précédentes on trouve :
- \(g_h\) : intensité de pesanteur à l’altitude \(h\) ;
- \(g_0\) : intensité de pesanteur à la surface de la terre (\(h=0\)) ;
Le poids d’un objet peut être identifié à la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l’objet.
\(P = F \rightarrow m \times g = G \times \dfrac{M_T \times m}{R_T^2}\)
Donc : P en Newton (N), m en Kg et \(g\) l’intensité de pesanteur en \(\text{N.kg}^{-1}\).
4 – Variation de l’intensité du champ de pesanteur \(g\)
Expression de la pesanteur \(g\) à une altitude \(h\) de la surface de la terre.
D’une façon générale : si \(h\) est l’altitude à laquelle se trouve un objet de \(R_T\) le rayon de la Terre, alors
\(m \times g_h = G \times \dfrac{m \times M_T}{(R_T + h)^2}\) soit \(g_h = G \times \dfrac{M_T}{(R_T + h)^2}\)
on a :
Expression de la pesanteur \(g\) à la surface de la Terre
Si l’objet est situé à la surface de la Terre , on peut considérer que \(d = R_T\) : \(g_0 = G \times \dfrac{M_T}{R_T^2}\)
Expression \(g_h\) en fonction de \(g_0\) et \(h\) :
On en déduit que \(g\) varie avec l’altitude. L’intensité de pesanteur dépend également de la position sur Terre. Celle-ci diminue avec l’altitude et augmente avec la latitude.
| Lieu | Latitude | \(g\ (\text{N.kg}^{-1})\) |
|---|---|---|
| Equateur | \(0^\circ\) | 9,78 |
| Casablanca | \(33^\circ\) | 9,8 |
| Pole Nord | \(90^\circ\) | 9,83 |
| Lieu | Altitude | \(g\ (\text{N.kg}^{-1})\) |
|---|---|---|
| Jbel Toubkal | 4167 m | 9,787 |
| Jbel Everest | 8516 m | 9,752 |
L’intensité de pesanteur varie en fonction de la planète. Celle-ci augmente lorsque la planète est plus massique (c’est-à-dire de plus grande masse).
| Astre | Masse (\(10^{21}\ \text{kg}\)) | Diamètre (Km) | Intensité de la pesanteur \(g_0\ (\text{N.kg}^{-1})\) |
|---|---|---|---|
| La Lune | 73 | 3476 | 1,6 |
| Mercure | 300 | 4878 | 2,9 |
| Mars | 641 | 6794 | 3,7 |
| Vénus | 4871 | 12100 | 8,8 |
| La Terre | 5974 | 12756 | 9,8 |
| Jupiter | 1900000 | 140000 | 23,1 |
📌 Synthèse – Gravitation universelle
• Échelle des longueurs : mètre (m), U.A, année-lumière – notation scientifique & ordre de grandeur.
• Loi de Newton : \(F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{d^2}\) – force attractive, constante \(G = 6,67 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2.\text{kg}^{-2}\).
• Poids : \(P = m \cdot g\) – force gravitationnelle à la surface de la Terre.
• Variation de \(g\) : avec l’altitude, la latitude, et l’astre considéré.
La gravitation est l’interaction fondamentale qui régit l’univers à grande échelle.
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