La projection dans le plan exercices corrigés
Exercice 1:
Soit $ABC$ est un triangle et $M$ le milieu de $[AB]$
$1)$ Soit $P_{1}$ la projection sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$
Déterminer : $P_{1}(A) \quad ; P_{1}(C) \quad ; P_{1}(B) \quad ; P_{1}(M)$
$2)$ Soit $P_{2}$ la projection sur $(A C)$ parallèlement à $(B C)$
Déterminer : $P_{2}(A) \quad ; P_{2}(C) \quad ; P_{2}(B) \quad ; P_{2}(M)$
$1)$ Soit $P_{1}$ la projection sur $(BC)$ parallèlement à $( A C )$
On a $A \in(A C)$ et $(A C) \cap(B C)=\{C\}$ donc $P_{1}(A)=C$
On a $B \in(B C)$ donc $B$ est invariante par la projection $P_{1}$ donc $P_{1}(B)=B$
On a $C \in(B C)$ donc $C$ est invariante par la projection $P_{1}$ donc $P_{1}(C)=C$
Soit $M^{\prime}=P_{1}(M)$ on a $M$ le milieu de $[AB]$
La parallèle à ( $A C$ ) passant par $M$ passe forcément par le milieu de $[BC]$ donc $M ‘$ est le milieu de $[BC]$
$2)$ Soit: $P_{2}$ la projection sur $(A C)$ parallèlement à $(BC)$
On a $A \in(A C)$ donc $P_{2}(A)=A$
On a $C \in(A C)$ donc $C$ est invariante par la projection $P_{2}$ donc $P_{2}(C)=C$
On a $B \in(B C)$ et $(A C) \cap(B C)=\{C\}$ donc $P_{2}(B)=C$
On a $M$ le milieu de $[\mathrm{AB}]$ donc la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en son milieu soit: $M^{\prime \prime}$ ce milieu donc $P_{2}(M)=M^{\prime \prime}$
Exercice 2:
Soit $ABC$ un triangle isocèle de sommet $A$
Le point $I$ est le milieu du segment $[BC]$
Le point $J$ est la projection orthogonale de $I$ sur la droite $(A B)$.
Le point $K$ est la projection de $I$ sur la droite $(A C)$ parallèlement à $(\mathrm{AB})$
$1)$ Faire une figure
$2)$ Déterminer l’image du segment $[B C]$ par la projection sur la droite $(A C)$ parallèlement à $(A B)$
$3)$ Déterminer le milieu du segment $[AC]$
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Exercice 3:
$ABC$ est un triangle
Le point $D$ le projeté orthogonale de point $B$ sur la droite $(AC)$.
Le point $E$ le projeté orthogonale de point $C$ sur la droite $(AB)$.
Le point $F$ le projeté orthogonale de point $D$ sur la droite $(AB)$.
Le point $H$ le projeté orthogonale de point $E$ sur la droite $(AC)$.
$1)$ Faire une figure
$2)$ Montrer que : $A E \times A D=A C \times A F$
$3)$ Montrer que : $A E \times A D=A H \times A B$
$4)$ En déduire que : $(B C) / /(F H)$
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Exercice 4:
Soient $ABC$ un triangle et $D$ un point définie par : $\overrightarrow{A D}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$
$1)$ Faire une figure
$2)$ La droite parallèle à ( $B C$ ) passant par D coupe ( $A C$ ) en $E$
$a)$ Déterminer $D E$ en fonction $B C$
$b)$ Montrer que : $\overrightarrow{D E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$ et que $\overrightarrow{A E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}$.
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Exercice 5:
Soient $ABC$ un triangle ,et $M \in[B C]$.
$E$ la projection du point $M$ sur la droite $(A B)$ parallèlement à $(A C)$
F la projection du point $M$ sur la droite $(A C)$ parallèlement à $( AB )$
$1)$ Comparer : $\frac{A E}{A B}$ et $\frac{C M}{C B}$ et comparer : $\frac{A F}{A C}$ et $\frac{B M}{B C}$
$2)$ Déterminer la position du point $M$ sur $[B C]$ tel que : $(B C) //(E F)$.
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Exercice 6:
$ABC$ est un triangle
Le point $E$ tel que : $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$
$1)$ Construire le point $\mathrm{E}^{\prime}$ le projeté de $E$ sur la droite $(AC)$ parallèlement à $(BC)$
$2)$ $-a)$ Montrer que : $\overrightarrow{A E^{\prime}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$
$b)$ En déduire que les droites $(EE’)$ et $(BC)$ sont parallèles
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Exercice 7:
$ABC$ est un triangle dans le plan Et $A^{\prime}$ le milieu du segment $[B C]$
Soit le point $D$ tel que : $\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A A^{\prime}}$
$1)$ Construire $E$ le projeté de $D$ sur la droite $(\mathrm{BC})$ parallèlement à $(\mathrm{AB})$
$2)$ Construire $F$ le projeté de $D$ sur la droite $(BC)$ parallèlement à $(AC)$
$3)$ Montrer que : $\overrightarrow{B E}=\frac{3}{4} \overrightarrow{B A^{\prime}}$ et $\overrightarrow{C F}=\frac{3}{4} \overrightarrow{C A^{\prime}}$
$4)$ En déduire que $A’$ est le milieu du segment $[E F]$
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Exercice 8:
$ABC$ est un triangle et $D$ un point de la droite $(\mathrm{BC})$ à l’extérieur du segment[ $B C$ ] Soit le point $H$ tel que : $\overrightarrow{A H}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}$
Et $N$ le projeté de $D$ sur la droite $(AC)$ parallèlement à $(HC)$ et $M$ le projeté de $D$ sur la droite $(AB)$ parallèlement à $(HB)$
$1)$ Faire un figure
$2)$ Montrer que $\overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A N}$ et $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A M}$
$3)$ En déduire que $(B C) / /(M N)$
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Exercice 9:
$ABC$ est un triangle
Soient $I$ et $I’$ deux points tel que : $\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C} \text { et } \overrightarrow{A I^{\prime}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$
$1)$ Montrer que $I’$ est le projeté de $I$ sur la droite $(AB)$ parallèlement à $(BC)$
$2)$ Soit $M$ le milieu du segment $[ B C ]$ La droite $(AM)$ coupe la droite $(II’)$ en $G$
$a)$ Montrer que: $\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A M}$
$b)$ En déduire que $A, G$ et $M$ sont alignés
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Exercice 10:
Soient $ABC$ un triangle et $M$ un point définie par : $\overrightarrow{C B}=3 \overrightarrow{A M}$
Soit le point $M^{\prime}$ le projeté de $M$ sur la droite $(A B)$ parallèlement à $(A C)$
$1)$ Faire une figure
$2)$ Montrer que: $\overrightarrow{A M^{\prime}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$ et en déduire que $\overrightarrow{M M^{\prime}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$.
$3)$ Soit $I$ le milieu du segment $[B C]$ et $P$ le point tel que : $\overrightarrow{I P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A M}$
$a)$ Montrer que $\overrightarrow{I P}=\frac{1}{3} \overrightarrow{I B}$
$b)$ En déduire que $(A I) //\left(P M^{\prime}\right)$.
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Exercice 11:
Soient $ABC$ un triangle isocèle en $A$ et $M \in[B C]$ tel que : $M \neq B$ et $M \neq C$
La droite parallèle à $(A B)$ passant par $M$ coupe $[A C]$ en $E$
La droite parallèle à $(A C)$ passant par $M$ coupe $[A B]$ en $F$
$1)$ Montrer que les triangles $M B F$ et $M C E$ sont isocèles
$2)$ Soient $A^{\prime}$; $E^{\prime}$ et $F^{\prime}$ respectivement les projections orthogonales des points $A$; $E$ et $F$ sur $(B C)$
Montrer que : $M F^{\prime}=A^{\prime} E^{\prime}$
$3)$ Montrer que : $\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{0}$
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Exercice 12:
Soit $ABCD$ un Parallélogramme de centre $O$
$1)$ Soit $A^{\prime}$ la projection sur $(D C)$ parallèlement à $(D B)$
$a) $Faire une figure
$b)$ Montrer que $\overrightarrow{A^{\prime} D}=\overrightarrow{D C}$
$2)$ Soit $E$ un point de la droite $(B C)$ tel que : $A^{\prime}$ est sa projection sur $(D C)$ parallèlement à $(D B)$
Montrer que $A$ est le milieu de $\left[A^{\prime} E\right]$
$3)$ Soit $R$ le point d’intersection des droites $(O E)$ et $(D C)$
Montrer que : $\overrightarrow{E O}=\frac{3}{4} \overrightarrow{E R}$
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Exercice 13:
Soient $ABC$ un triangle et $M$ et $N$ et $D$ des points tels que : $\overrightarrow{B D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$ et $\overrightarrow{D M}=2 \overrightarrow{D A}$ et $4 \overrightarrow{B N}+3 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}$.
$1)$ Faire une figure.
$2)$ Montrer que : $\overrightarrow{M B}=\frac{4}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ et que : $\overrightarrow{N B}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$.
$3)$ Montrer que : les points $A$ et $C$ et $N$ sont alignés.
$4)$ On considère le point $E$ du segment $[A B]$ tel que : $E \neq A$ et $E \neq B$.
Et soit le point $I$ le projeté de $E$ sur la droite $(B D)$ parallèlement à $(A D)$.
Et soit le point $J$ le projeté de $E$ sur la droite $(B N)$ parallèlement à $(A N)$.
Montrer que : $(D N) //(I J)$
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Exercice 14:
Soient $ABCD$ un Parallélogramme de centre $O$
Soit $E$ un point tel que : $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$
Soit $E^{\prime}$ la projection de $E$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A B)$
Et soit $O^{\prime}$ la projection de $O$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A B)$
$1)$ $a)$ Faire une figure
$b)$ Montrer que : $O^{\prime}$ est le milieu de $[B C]$
$2)$ Montrer que : $\overrightarrow{B E^{\prime}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ et que : $\overrightarrow{E E^{\prime}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$
$3)$ Montrer que : $\overrightarrow{O^{\prime} E^{\prime}}=\frac{1}{6} \overrightarrow{C B}$
$4)$ La droite $\left(E E^{\prime}\right)$ coupe $(B D)$ en $K:$ Montrer que $: \overrightarrow{B D}=-6 \overrightarrow{O K}$
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