Exercice 1 : Questions de cours (4 pts)

1) Donner la définition de la projection de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). (1,5 pts)

2) Que peut-on dire de la projection d’un point \(B \in (D)\) ? (1 pt)

3) Citer deux propriétés de la projection. (1,5 pts)

Exercice 2 : Projections et parallélogramme (5 pts)

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\).

1) On considère \(P_1\) la projection sur \((DC)\) parallèlement à \((AD)\).

a) Déterminer \(P_1(A)\), \(P_1(B)\), \(P_1(C)\) et \(P_1(D)\). (2 pts)

b) Construire \(P_1(O)\). (1 pt)

2) On considère \(P_2\) la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((BD)\).

Déterminer \(P_2(O)\), \(P_2(B)\), \(P_2(C)\) et \(P_2(D)\). (2 pts)

Exercice 3 : Projection et milieu (4 pts)

Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point défini par : \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).

1) Construire le point \(M’\), le projeté de \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). (1,5 pts)

2) Montrer que \(\overrightarrow{AM’} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(\overrightarrow{MM’} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). (2,5 pts)

Exercice 4 : Projection et coefficient d’alignement (7 pts)

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AC]\).

\(E\) est un point tel que : \(\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{BE}\).

La droite qui passe par \(E\) et parallèle à \((IB)\) coupe \((AC)\) en \(J\).

1) Faire une figure. (1,5 pts)

2) Montrer que \(\overrightarrow{IC} = 4\overrightarrow{IJ}\) et en déduire que \(\overrightarrow{AJ} = 5\overrightarrow{IJ}\). (3 pts)

3) Si \((IB) \cap (AE) = \{K\}\), montrer que \(\overrightarrow{AE} = 5\overrightarrow{KE}\). (2,5 pts)