Projection sur une droite parallèlement à une autre droite

Projection de M sur (D) parallèlement à (Δ)

Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en un point \(A\), et soit \(M\) un point du plan :

• La droite passant par \(M\) et parallèle à \((\Delta)\) coupe \((D)\) en \(M’\)
• \(M’\) est appelé projection de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\)

\(P_{(D; \Delta)}(M) = M’ \quad \text{ou} \quad P(M) = M’\)

📌 Remarque importante : Si \(B \in (D)\) alors \(P(B) = B\) : le point \(B\) est invariant par la projection.

Propriétés des projections

• Tout point de \((D)\) est confondu avec sa projection
• L’image du segment \([AB]\) est le segment \([A’B’]\) : \(P([AB]) = [A’B’]\)
• La projection conserve les milieux

Si \((D) \perp (\Delta)\), alors \(M’\) est la projection orthogonale de \(M\) sur \((D)\).

Théorème de Thalès

• \((D)\) et \((\Delta)\) sont deux droites sécantes
• \(A\), \(B\), \(C\) sont des points alignés avec \((AB) \nparallel (\Delta)\)

Configuration du théorème de Thalès

• \(\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC}\) • Si \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) alors \(\vec{A’B’} = k\vec{A’C’}\) La projection conserve les coefficients d’alignement. • Si \(\vec{AB} = k\vec{CD}\) alors \(\vec{A’B’} = k\vec{C’D’}\) La projection conserve les coefficients de colinéarité.

Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme et soit \(J\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Soit \(E\) le projeté du point \(J\) sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AB)\).

1) Montrons que \(\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\) : Soit \(p\) la projection sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AB)\). On a \(p(A) = B\), \(p(J) = E\) et \(p(C) = C\). Puisque \(\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et la projection conserve les coefficients de colinéarité, alors \(\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). 2) En déduisons que \(\overrightarrow{JE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) : On a \(\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Alors \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\). Par suite : \(\overrightarrow{JE} = \overrightarrow{JC} + \overrightarrow{CE} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

Théorème réciproque de Thalès

• \((D)\) et \((D’)\) non parallèles à \((\Delta)\)
• \(A, B \in (D)\) avec \(A’, B’\) leurs projections sur \((D’)\)
• \(C \in (D)\) et \(C’ \in (D’)\) avec \(\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC}\)
• Les points sont dans le même ordre sur \((D)\) et \((D’)\)

Configuration de la réciproque de Thalès

\(C’\) est la projection de \(C\) sur \((D’)\) parallèlement à \((\Delta)\) et : \[ (AA’) \parallel (BB’) \parallel (CC’) \]