La projection dans le plan

Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en un point \(A\), et soit \(M\) un point du plan.

La droite passant par \(M\) et parallèle à \((\Delta)\) coupe \((D)\) en un point \(M’\).

Le point \(M’\) est appelé projection de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).

Direction de la projection : c’est la droite \((\Delta)\). Toutes les droites qui joignent un point \(M\) à son projeté \(M’\) sont parallèles à \((\Delta)\).

Point invariant : Si \(B \in (D)\), alors la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(B\) coupe \((D)\) en \(B\) lui-même. Donc \(P(B) = B\).

Soit \(P\) la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Alors :

• Tout point de \((D)\) est confondu avec sa projection.
• L’image d’un segment \([AB]\) est le segment \([A’B’]\) : \(P([AB]) = [A’B’]\).
• La projection conserve les milieux : si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(P(I)\) est le milieu de \([A’B’]\).

Lorsque \((D) \perp (\Delta)\), la projection est dite orthogonale.

Dans ce cas, \(M’\) est le pied de la perpendiculaire à \((D)\) passant par \(M\).

Particularité : la projection orthogonale est la seule projection qui conserve les distances dans le sens où \(MM’\) est la plus courte distance de \(M\) à \((D)\).

Hypothèses :

• \((D)\) et \((\Delta)\) sont deux droites sécantes.
• \(A\), \(B\), \(C\) sont des points alignés avec \((AB) \nparallel (\Delta)\).
• \(A’\), \(B’\), \(C’\) sont les projections respectives de \(A\), \(B\), \(C\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).

Conclusion :

« La projection conserve les coefficients de colinéarité » signifie que :

Si \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}\), alors \(\overrightarrow{A’B’} = k\overrightarrow{C’D’}\).

En particulier, si \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\), alors \(\overrightarrow{A’B’} = k\overrightarrow{A’C’}\).

Hypothèses :

• \((D)\) et \((D’)\) non parallèles à \((\Delta)\).
• \(A, B \in (D)\) avec \(A’, B’\) leurs projections sur \((D’)\).
• \(C \in (D)\) et \(C’ \in (D’)\) avec \(\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC}\).
• Les points sont dans le même ordre sur \((D)\) et \((D’)\).

Conclusion : \(C’\) est la projection de \(C\) sur \((D’)\) parallèlement à \((\Delta)\), et :

Oui, une projection conserve les milieux.

Justification : Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Alors \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

La projection conserve les coefficients de colinéarité, donc :

Donc \(I’\) est le milieu de \([A’B’]\).

Exemple : Dans un triangle, le projeté du milieu d’un côté est le milieu du segment projeté.

Soit \(p\) la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\).

On a : \(p(A) = B\) (car \(A\) se projette sur \(B\) parallèlement à \((AB)\)), \(p(J) = E\) et \(p(C) = C\) (car \(C \in (BC)\)).

Or \(\overrightarrow{AJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

La projection conserve les coefficients de colinéarité, donc :

On a : \(\overrightarrow{BE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

Étape 1 : Exprimer \(\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{CJ}\).

Étape 2 : Calculer \(\overrightarrow{JE}\) par la relation de Chasles.

Étape 3 : Conclusion sur le parallélisme.

Les vecteurs \(\overrightarrow{JE}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires. Donc les droites \((JE)\) et \((AB)\) sont parallèles.