Le mouvement

I–Relativité du mouvement

1–Mise en évidence :

a–Activité N°1:

Le voyageur A dans le bus est au repos par rapport au bus.
Le voyageur A est en mouvement par rapport à C.

On remarque que l’objet peut être en mouvement ou au repos selon l’objet auquel on se rapporte ; on dit qu’il a un caractère relatif.

b–Conclusion :

Le mouvement d’un corps ne peut être que par rapport à un solide de référence (réérentiel). L’état de mouvement ou de repos dépend du réérentiel choisis. On dit que le mouvement du système est relatif au réérentiel choisis.

2–Réérentiel :

Un réérentiel est un solide indéformable pris comme référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un autre corps.

3–Repère d’espace :

Pour repérer la position du mobile dans le réérentiel choisi on utilise un repère d’espace.
C’est un système d’axes muni d’une base constituée de 1, 2 ou 3 vecteurs unitaires et un point origine O lié au réérentiel.

mouvement	mouvement rectiligne	mouvement dans le plan	mouvement dans l’espace
repère d’espace
	\( R(0, i) \)	\( R(0, i, j) \)	\( R(0, i, j, k) \)
vecteur position	\( \overrightarrow{OM} = x. \vec{i} \)	\( \overrightarrow{OM} = x. \vec{i} + y. \vec{j} \)	\( \overrightarrow{OM} = x. \vec{i} + y. \vec{j} + z. \vec{k} \)
module	\( \overrightarrow{OM} = x \)	\( \overrightarrow{OM} = \sqrt{x^2 + y^2} \)	\( \overrightarrow{OM} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)

4-repère de temps :

Pour décrire le mouvement d’un point du corps, il faut déterminer les dates des moments pendant lesquels ce point occupe certaines positions.

Le repère de temps est constituer d’une origine arbitraire (prend la valeur t=0) et un sens positif orienté vers la future.

L’intervalle de temps qui sépare deux dates \( t_1 \) et \( t_2 \) représente une durée ; on la note \( \Delta t \) tel que \( \Delta t = t_1 – t_2 \).

Dans le système international, les dates et les durées sont mesurées en seconde (\( s \)).

5-La trajectoire :

La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives que ce point occupe au cours de son mouvement.

–Si la trajectoire est une droite, le mouvement est rectiligne.

–Si la trajectoire est un cercle, le mouvement est circulaire.

–Si la trajectoire est une courbe, le mouvement est curviligne.

Remarque :

La trajectoire d’un point dépend du référentiel d’étude.

II-La vitesse :

1-La vitesse moyenne :

a-Définition :

La vitesse moyenne d’un mobile est le quotient de la distance parcourue \( d \) par la durée de parcourt \( \Delta t \) :

\[V_m = \frac{d}{\Delta t} \rightarrow
\begin{cases}
d: \text{la distance parcourue (en m)} \\
\Delta t: \text{la durée du parcours (en s)} \\
V_m: \text{la vitesse moyenne (en m.s}^{-1})
\end{cases}\]

b–Exercice :

Un train (TGV) parcourt une distance \( d = 450km \) en une durée de \(\Delta t = 1h23mn20s\).

1–Calculer sa vitesse moyenne en \((m.s^{-1})\) puis en \((km.h^{-1})\).

2–Le même train parcourt à la même vitesse une distance \( d’ = 630 km \).
Quelle est la durée du parcourt ?

Correction

1–Vitesse moyenne \( V \):

\[V = \frac{d}{\Delta t}\]

A.N :

\[V = \frac{450 \times 10^3 m}{(1 \times 3600 + 23 \times 60 + 20)s} = 90 \, m/s\]

\[V = 90 \times 3,6 = 324 \, km/h\]

2–La durée du parcours \(\Delta t’\) :

\[V = \frac{d’}{\Delta t’} \Rightarrow \Delta t’ = \frac{d’}{V}\]

A.N :

\[\Delta t’ = \frac{630.10^3}{90} = 7000 \, s \Rightarrow \Delta t’ = 1h \, 56min \, 40 \, s\]

2–La vitesse instantanée :

a–Définition :

La vitesse instantanée d’un mobile est sa vitesse à un instant donné.
Pratiquement la valeur de la vitesse est donnée par la relation suivante :

\[V_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{t_{i+1} – t_{i-1}} \Rightarrow V_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\]

b–Les caractéristiques du vecteur vitesse :

– L’origine : le point où se trouve le mobile ponctuel à cet instant.

– La direction : la tangente à la trajectoire au point M.

– Le sens : celui du mouvement.

– La norme : la valeur du vecteur vitesse à cet instant.

III – Mouvement rectiligne uniforme :

1- définition :

Le mouvement rectiligne est dit uniforme si son vecteur vitesse est constant \( \vec{V} = \vec{cte} \) (garde la même direction, le même sens et la même valeur) au cours du mouvement.

2- Equation horaire du mouvement :

La vitesse \( V \) d’un mobile en mouvement rectiligne uniforme est constante et l’équation horaire du mouvement \( x = f(t) \) est une fonction affine de temps de forme :

\[x = V. t + x_0 \rightarrow
\begin{cases}
x: \text{abscisse du mbile à l’instant t en m} \\
V : \text{valeur algébrique de la vitesse du mobile en  m/s }\\
x_0: \text{abscisse su mbile à l’instant t = 0 , en  m}
\end{cases}\]

Remarque :

> Si le mobile se déplace dans le même sens que l’axe \( Ox \), \( V > 0 \).

> Si le mobile se déplace dans le sens contraire que l’axe \( Ox \), \( V < 0 \).

3- Exercice d’application :

Au cours du mouvement rectiligne d’un autoporteur (S), on a obtenu l’enregistrement suivant :

L’intervalle du temps qui sépare deux points consécutifs est \( \tau = 40 \, \text{ms} \).

1) Quelles la nature du mouvement de (S) ?

2) Déterminer la valeur de la vitesse de (S) à la position \( M_2 \).

3) Compléter le remplissage du tableau sachant qu’à l’instant t=0 le mobile passe par la position \( M_2 \).

4)–Tracer la courbe \( x = f(t) \) à l’échelle suivante :

\[\begin{cases}
axe \, des \, abscisses : 1cm \rightarrow 0,04 \, s \\
axe \, des \, dates : \, 1cm \rightarrow 0,01 \, m
\end{cases}\]

5)–Déduire l’équation horaire du mouvement.

Correction

1)–Nature du mouvement :

On constate que la trajectoire est rectiligne et que le mobile parcourt les distances pendant les mêmes intervalles du temps, donc le mouvement est rectiligne uniforme.

2)–Vitesse du mobile à \( M_2 \) :

\[V_2 = \frac{M_1 M_3}{2\pi} = \frac{4cm}{2 \times 40 \, ms} = \frac{4.10^{-2}m}{2 \times 40.10^{-3}s} \Rightarrow V_2 = 0,5 \, m.s^{-1}\]

3)–Complétant le tableau :

4)–La courbe \( x = f(t) \) :

5)–L’équation horaire du mouvement :

\[x = V.t + x_0\]

La vitesse \( V \) est le coefficient directeur de la droite \( x = f(t) \)

\[V = \frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow V = \frac{(6 – 4).10^{-2}m}{(0,08 – 00,04)s} = 0,5 \, m.s^{-1}\]

\( x_0 \) est l’abscisse à l’origine des dates :

\( x_0 = 2cm = 0,02 \, m \)

L’équation horaire du mouvement de (S) est :

\[x(t) = 0,5t + 0,02\]

IV– Mouvement circulaire uniforme :

1–Définition :

Un mouvement d’un point est circulaire si sa trajectoire est un cercle.

Un mouvement circulaire est dite uniforme si la norme de la vitesse reste constante au cours du temps (c’est-à-dire que le vecteur vitesse ne garde pas la même direction et le même sens).

2–La période et la fréquence :

La période d’un mouvement de rotation circulaire uniforme est la durée d’un tour, noté \( T \) exprimé en seconde :

\[T = \frac{2\pi R}{v} \quad (\text{R est le rayon de la trajectoire et V la vitesse du mouvement}).\]

La fréquence est le nombre de tours effectué par seconde, noté \( f \) exprimé en hertz (Hz) :

\[f = \frac{1}{T}\]