Le mouvement – exercices corrigés
📝Exercice 1 : Définitions essentielles
Consigne : Définissez les termes suivants en vous aidant du cours sur le mouvement.
📚Termes à définir :
Définition : Un référentiel est un solide indéformable pris comme référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un autre corps.
Définition : Le repère d’espace est un système d’axes muni d’une base de vecteurs unitaires et d’un point origine O lié au référentiel. Il permet de repérer la position du mobile.
Exemples : \( R(O, \vec{i}) \), \( R(O, \vec{i}, \vec{j}) \), \( R(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \)
Définition : La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives que ce point occupe au cours de son mouvement.
Si la trajectoire est une droite → mouvement rectiligne. Si c’est un cercle → mouvement circulaire. Si c’est une courbe → mouvement curviligne.
Définition : La vitesse moyenne d’un mobile est le quotient de la distance parcourue \( d \) par la durée du parcours \( \Delta t \).
\( V_m = \frac{d}{\Delta t} \)
Définition : La vitesse instantanée d’un mobile est sa vitesse à un instant donné. En pratique, on la calcule en prenant deux points encadrant la position étudiée.
\( V_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} \)
Définition : Un mouvement est dit rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et que son vecteur vitesse est constant (même direction, même sens et même valeur).
Équation horaire : \( x = V \cdot t + x_0 \)
Définition : La période d’un mouvement de rotation circulaire uniforme est la durée d’un tour. Elle est notée \( T \) et s’exprime en secondes (s).
\( T = \frac{2\pi R}{V} \)
Définition : La fréquence est le nombre de tours effectués par seconde. Elle est notée \( f \) et s’exprime en hertz (Hz).
\( f = \frac{1}{T} \)
🔄Exercice 1 : Conversion de vitesses
Consigne : Convertir les vitesses suivantes dans les unités demandées.
📘 Méthode de conversion :
- m/s → km/h : multiplier par 3,6
- km/h → m/s : diviser par 3,6
- m/min → m/s : diviser par 60
- cm/s → m/s : diviser par 100
1) Convertir en km/h :
10 m/s
240 m/min
685 cm/s
2) Convertir en m/s :
7,2 km/h
18 m/min
90 km/h
1) Convertir en km/h :
10 m/s
\( 10 \times 3,6 = \textbf{36 km/h} \)
240 m/min
\( \frac{240}{60} = 4 \, \text{m/s} \) puis \( 4 \times 3,6 = \textbf{14,4 km/h} \)
685 cm/s
\( \frac{685}{100} = 6,85 \, \text{m/s} \) puis \( 6,85 \times 3,6 = \textbf{24,66 km/h} \)
2) Convertir en m/s :
7,2 km/h
\( \frac{7,2}{3,6} = \textbf{2 m/s} \)
18 m/min
\( \frac{18}{60} = \textbf{0,3 m/s} \)
90 km/h
\( \frac{90}{3,6} = \textbf{25 m/s} \)
🚗 Exercice 2 : Mouvement rectiligne uniforme
Une voiture se déplace selon une trajectoire rectiligne avec une vitesse constante \( v = 90 \, \text{km/h} \) par rapport au référentiel terrestre.
Quelle est la nature du mouvement ?
Trouver l’équation horaire de son mouvement sachant que l’abscisse à l’instant \( t = 0 \) est \( x_0 = 125 \, \text{m} \).
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📈 Exercice 3 : Équation horaire du mouvement
L’équation horaire du mouvement d’un mobile M selon une trajectoire rectiligne est :
\( x(t) = 3t – 4,5 \)
(x en mètres, t en secondes)
Quelle est la nature du mouvement de M ? Justifier votre réponse.
Quel est l’abscisse du mobile aux instants : \( t = 0 \) et \( t = 2 \, \text{s} \) ?
À quel instant le mobile passe-t-il par le point d’abscisse \( x = 0 \) ?
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🎯 Exercice 4 : Mouvement sur banc à coussin d’air
On lance un cavalier sur un banc à coussin d’air horizontal. On enregistre le mouvement d’un point M du cavalier pendant des intervalles de temps successifs et égaux \( \tau = 40 \, \text{ms} \).
Enregistrement des positions M₀ à M₆
📋 Données :
- Intervalle de temps : \( \tau = 40 \, \text{ms} = 0,040 \, \text{s} \)
- Échelle 1/2 : 1 cm sur le schéma représente 2 cm en réalité
- Formule de la vitesse : \( v = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} \)
Préciser la nature du mouvement.
Calculer la vitesse instantanée aux points : \( M_1 \), \( M_3 \), \( M_5 \).
Représenter avec une échelle convenable les vecteurs vitesse : \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_3 \), \( \vec{v}_5 \).
Trouver l’équation horaire du mouvement en prenant \( M_2 \) comme origine de l’axe des abscisses et l’instant d’enregistrement de \( M_0 \) comme origine des temps.
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📏Exercice 5 : Mouvement rectiligne
On donne l’enregistrement du mouvement d’un mobile M pendant des intervalles de temps successifs et égaux : \( \tau = 30 \, \text{ms} \).
Enregistrement des positions du mobile
📋 Données :
- Intervalle de temps : \( \tau = 30 \, \text{ms} = 0,030 \, \text{s} \)
- Le mobile passe par \( M_2 \) à \( t = 0 \)
- \( M_3 \) est l’origine des abscisses (\( x = 0 \))
Calculer la vitesse instantanée aux points \( M_2 \), \( M_3 \), \( M_4 \), \( M_5 \). Conclusion ?
Déduire la nature du mouvement de M.
Déterminer l’équation horaire du mouvement.
Quelle sera la position du mobile à l’instant \( t = 0,042 \, \text{s} \) ?
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📏Exercice 6 : Mouvement rectiligne
On donne l’enregistrement du mouvement d’un mobile M pendant des intervalles de temps successifs et égaux : \( \tau = 50 \, \text{ms} \).
Enregistrement des positions du mobile
📋 Données :
- Intervalle de temps : \( \tau = 50 \, \text{ms} = 0,050 \, \text{s} \)
- Distance entre deux points consécutifs : \( M_iM_{i+1} = 4 \, \text{cm} = 0,04 \, \text{m} \)
Calculer la vitesse instantanée aux points \( M_2 \), \( M_3 \), \( M_4 \), \( M_5 \). Conclusion ?
Nature du mouvement de M ?
Déterminer l’équation horaire avec \( M_0 \) comme origine des espaces et \( t = 0 \) à l’instant du passage par \( M_0 \).
Même question avec \( M_2 \) comme origine des espaces.
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📐Exercice 7 : Table inclinée
On lâche un mobile autoporteur sur une table inclinée et on enregistre les positions successives d’un point M de ce mobile. Entre deux positions enregistrées, il s’est écoulé une durée \( \tau = 40 \, \text{ms} \).
Enregistrement des positions du mobile sur la table inclinée
📋 Données :
- Intervalle de temps : \( \tau = 40 \, \text{ms} = 0,040 \, \text{s} \)
- \( M_0M_2 = 4 \, \text{cm} = 0,04 \, \text{m} \)
- \( M_3M_5 = 6 \, \text{cm} = 0,06 \, \text{m} \)
- \( M_5M_7 = 8 \, \text{cm} = 0,08 \, \text{m} \)
Déterminer la nature du mouvement du point M.
Calculer la vitesse instantanée aux dates \( t_1 \), \( t_4 \) et \( t_6 \).
Représenter les vecteurs vitesses à ces trois dates en précisant l’échelle utilisée.
Conclure.
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📈Exercice 8 : Diagramme d’espace
On donne le diagramme d’espace d’un corps S en mouvement suivant une trajectoire rectiligne.
Diagramme d’espace x = f(t)
Quelle est la nature du mouvement ? Justifier votre réponse.
Déterminer l’équation horaire du mouvement.
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🚗Exercice 9 : Dépassement de voitures
Deux voitures A et B se déplacent sur une route rectiligne. Les équations horaires sont :
\( x_A(t) = 130 \cdot t \)
\( x_B(t) = 90 \cdot t + 40 \)
(x en km, t en heures)
Déterminer l’abscisse du point de dépassement où une voiture double l’autre.
Représenter graphiquement \( x_A(t) \) et \( x_B(t) \) sur le même repère.
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🚗 Exercice 10 : Mouvement de deux voitures
Deux voitures se déplacent sur une route rectiligne dans deux sens contraires avec des vitesses \( \vec{v}_1 \) et \( \vec{v}_2 \).
À l’instant \( t = 0 \), la voiture numéro 1 se trouve au point A et la voiture numéro 2 se trouve au point B, soit \( d \) la distance qui sépare A et B.
Schéma des deux voitures se déplaçant en sens contraire
📋 Données :
- \( d = 28 \, \text{km} \)
- \( v_1 = 60 \, \text{km/h} \)
- \( v_2 = 80 \, \text{km/h} \)
Trouver la valeur de l’instant \( t_c \) à laquelle les deux voitures se rencontrent.
Calculer la distance parcourue par chaque voiture à l’instant de rencontre.
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📈Exercice 11 : Mouvement rectiligne
On donne le diagramme d’espace d’un corps S en mouvement suivant une trajectoire rectiligne.
Diagramme d’espace x = f(t)
Quelle est la nature du mouvement ? Justifier votre réponse.
Déterminer l’équation horaire du mouvement.
Quelle est la distance parcourue par le mobile à l’instant \( t = 10 \, \text{s} \) ?
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🌍Exercice 12 : Orbite terrestre
Dans le repère de Copernic, la trajectoire du centre de la Terre autour du Soleil est circulaire de rayon \( r = 150 \times 10^6 \, \text{km} \).
Orbite de la Terre autour du Soleil
📋 Données :
- Rayon orbital : \( r = 150 \times 10^6 \, \text{km} \)
- \( 1 \, \text{an} = 365,25 \, \text{jours} \)
Quelle est la période de son mouvement (durée d’un tour complet de la Terre autour du Soleil) ?
Quelle est la longueur de la trajectoire parcourue par le centre de la Terre autour du Soleil ?
Déterminer la vitesse du centre de la Terre sur sa trajectoire.
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💿Exercice 13 : Rotation d’un disque
Un disque de rayon \( R = 15 \, \text{cm} \) est animé d’un mouvement de rotation uniforme. Il effectue 15 tours par minute.
📋 Données :
- Rayon du disque : \( R = 15 \, \text{cm} = 0,15 \, \text{m} \)
- Fréquence de rotation : \( 15 \, \text{tours/min} \)
Calculer la fréquence de rotation du disque.
En déduire la valeur de la période de rotation du disque.
Calculer sa vitesse angulaire en rad/s.
Déterminer l’angle (en degré) dont il a tourné durant 2 secondes.
Calculer la vitesse d’un point du périmètre du disque.
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🌍Exercice 14 : Rotation terrestre
La Terre de rayon \( R_T = 6378 \, \text{km} \) effectue une révolution autour de l’axe passant par ses pôles en un jour sidéral de \( 23 \, \text{h} \, 56 \, \text{min} \, 04 \, \text{s} \).
Rotation de la Terre autour de son axe
📋 Données :
- Rayon terrestre : \( R_T = 6378 \, \text{km} \)
- Période de rotation (jour sidéral) : \( T = 23 \, \text{h} \, 56 \, \text{min} \, 04 \, \text{s} \)
- Latitude de Rabat : \( \lambda = 34^\circ \)
Calculer dans le repère géocentrique, la valeur de la vitesse d’un point situé sur l’équateur.
Calculer dans le même repère, la valeur de la vitesse d’un point de Rabat de latitude \( \lambda = 34^\circ \).
ω = 2π/T |
v = ω × R |
Rλ = RT × cos(λ)
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🔄Exercice 15 : Mouvement circulaire
Le chrono enregistrement ci-contre est celui d’un mouvement circulaire ; l’intervalle de temps entre deux marques consécutives vaut \( \tau = 50 \, \text{ms} \).
Enregistrement du mouvement circulaire
📋 Données :
- Intervalle de temps : \( \tau = 50 \, \text{ms} = 0,050 \, \text{s} \)
Quelle est la nature du mouvement ? (Justifier)
Déterminer graphiquement le rayon de la trajectoire du point M.
Calculer la vitesse instantanée aux points \( M_2 \), \( M_4 \), \( M_5 \).
Représenter le vecteur vitesse aux points \( M_2 \) et \( M_5 \). Conclure.
Définir la période et la fréquence d’un mouvement circulaire uniforme.
Déterminer la période \( T \) et la fréquence \( f \) du mouvement.
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Le mouvement – exercices corrigés