Les ensembles de nombres exercices corrigés
Exercice 1:
Les nombres $\frac{54}{40}, \frac{126}{450}, \frac{75}{90}, \frac{17}{7}, \frac{1}{3}$
Sont-ils des décimaux ?
$\frac{54}{40}=1.35 \in D \quad ; \quad \frac{126}{450}=0.28 \in D \quad ;$
$\frac{75}{90}=\frac{5}{6}=0.8333333333 . . \notin D$
$\frac{17}{7}=0.428571429 . . \notin D$
$\frac{1}{3}=0.333333 \ldots \ldots$ est rationnel mais $\frac{1}{3} \notin D$
Remarque : un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie :
$2.4285714285714285714285714285714 \ldots$;
428571 se répète
Un irrationnel a une écriture décimale non périodique infinie :
Exemple : $1.4142135623730950488016887242097 \ldots$
Les ensembles de nombres exercices corrigés
Exercice 2:
Compléter par : $\in ; \notin ; \subset ; \not \subset$
$6 \ldots \mathbb{Z} \quad ; \quad \frac{2}{3} \ldots \mathbb{Q} \quad ; \quad \sqrt{2} \ldots \mathbb{Q} \quad ; \quad \sqrt{2} \ldots \mathbb{R} \quad ; \quad \mathbb{Q} \ldots \mathbb{R} \quad ; \quad \mathbb{N} \ldots \mathbb{Q} ;$
$-\frac{2}{3} \ldots \mathbb{R}^{+} \quad ; \quad \frac{2}{3} \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \frac{6}{2} \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \frac{\sqrt{100}}{5} \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \mathbb{Q} \ldots \mathbb{Z} \quad ; \quad \mathbb{Z} \ldots \mathbb{Q} ;$
$\pi \ldots \mathbb{Z} \quad ; \quad 0 \ldots \mathbb{Q}^{*} \quad ; \quad -\frac{7}{3} \ldots \mathbb{Q}^{+*} \quad ; \quad \sqrt{16} \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad 0 \ldots \mathbb{R}^{*} ;$
$\{1 ; 3 ;-8\} \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \mathbb{R}^{+} \ldots \mathbb{R} \quad ; \quad \frac{1}{2} \ldots D \quad ; \quad \frac{1}{3} \ldots D$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 3:
Calculer et simplifier :
$A=\frac{3}{4}+\frac{5}{3}-\frac{7}{6}$
$B=\frac{-2}{3}+\frac{7}{6}-\frac{1}{4}-2 $
$C=\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{2}\right)^{2} $
$D=\frac{5+\frac{1}{3}}{2-\frac{3}{2}}$
$E=\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{5}+1-\frac{1}{2}\right) $
$F=\frac{7-\frac{4}{\pi}}{12-21 \pi}$
$G=[(a-c)-(a-b)]-[(c-a)+(b-c)]$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 4:
Calculer et simplifier :
$A=\sqrt{\frac{9}{2}}$
$B=\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}}$
$C=3 \sqrt{20}+4 \sqrt{45}-2 \sqrt{80}-\sqrt{180}$
$D=(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{5})$
$E=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 5:
$1)$ Soit $A=\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}+\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}$
Montrer que : $A$ est un nombre entier relatif
$2)$ Calculer et simplifier :
$B=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \times \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \times \sqrt{2+\sqrt{2}} \times \sqrt{2}$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 6:
Simplifier et écrire sous forme d’une puissance :
$A=2^{3} \times\left(2^{2}\right)^{4} \times\left(2^{-5}\right)^{3}$
$B=(-3)^{1} \times(-3)^{5} \times(3)^{2} \times(-3)^{-10} $
$C=\frac{3^{-5} \times 4^{-2}}{12^{3}} \times \frac{9}{2^{2}}$
$D=\frac{(-2)^{3} \times\left(4^{2}\right)^{-1} \times 8}{1024 \times(-16)^{-4}} $
$E=\frac{10^{-8} \times 10^{9} \times 10^{7} \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 10^{3} \times 10^{5}} $
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 7:
Ecrire en notation scientifique les nombres suivants :
$\mathrm{A}=35 \times 10^{6}+3 \times 10^{6}+2,9 \times 10^{6}$
$B=-0,8 \times 10^{7}+0,05 \times 10^{7}-2,32 \times 10^{7}$
$C=9 \times 10^{-3}+0,4 \times 10^{-2}-9 \times 10^{-4}$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 8:
$x \in \mathbb{R}$ développer et calculer et simplifier:
$A=(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}$
$B=[(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})]^{2}$
$C=(\sqrt{2}+1)^{3}$
$D=(3 x-2)^{3}$
$E=(x+2)\left(x^{2}-2 x+4\right)$
$F=(200520052006)^{2}-(200520052005 \times 200520052007)$
(Lorsque la calculatrice tombe en panne ou ne peut pas calculer)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 9:
Factoriser les expressions suivantes : $x \in \mathbb{R}$
$1)$ $49 x^{2}-81$
$2)$ $16 x^{2}-8 x+1$
$3)$ $x^{3}-8$
$4)$ $\mathrm{C}=(\mathrm{a}+1)(2 \mathrm{a}-3)+6(\mathrm{a}+1) $
$5)$ $\mathrm{D}=27 \mathrm{x}^{3}+1$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 10:
$x \in \mathbb{R}$ développer et calculer et simplifier :
$A=(3+\sqrt{11})^{2}-(3-\sqrt{11})^{2}$
$B=(4 \sqrt{3}-7)^{2015} \times(4 \sqrt{3}+7)^{2015}$
$C=(\sqrt{75}-\sqrt{98}) \times(5 \sqrt{3}+7 \sqrt{2}) $
$D=(5 x+2)^{3}$
$E=(\sqrt{3}-1)^{3}$
$F=(2 x-3)\left(4 x^{2}+6 x+9\right)$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 11:
Factoriser les expressions suivantes : $x \in \mathbb{R}$
$A=16 x^{2}-8 x+1$
$B=16-25 x^{2}$
$C=1-(1-3 x)^{2}$
$D=(2 x-1)^{3}-8$
$E=27+x^{3}$
$F=x^{12}-2 x^{6}+1$
$H=x^{3}+1+2\left(x^{2}-1\right)-(x+1)$
$G=x^{5}+x^{3}-x^{2}-1$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 12:
$a \in \mathbb{R}^{*}$ et $b \in \mathbb{R}^{*}$ et $a \geq b$
Montrer que : $\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b})$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 13:
$\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ deux réels tels que : $a+b=2$ et $a^{2}+b^{2}=8$
$1)- a)$ Calculer la valeur de $a \times b$
$b)$ En déduire la valeur de $a^{3}+b^{3}$
$2)$ Calculer $a^{4}+b^{4}$, puis $a^{6}+b^{6}$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 14:
Soit $x$ un réel strictement positif
$1)$ Montrer que : $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$
$2)$ On pose : $S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{ 99}+\sqrt{100 } } $
$\text { Montrer que } S \in \mathbb{N}$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Les ensembles de nombres exercices corrigés