Les ensembles de nombres – Cours
LES ENSEMBLES DE NOMBRES
Tronc Commun Sciences
Les ensembles de nombres
1) Ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\)
Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls. Ils servent à compter ou à dénombrer.
\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}\)
2) Ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\)
Les entiers relatifs sont les entiers naturels ainsi que leurs opposés (nombres négatifs).
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\)
L’ensemble des entiers relatifs non nuls est noté \(\mathbb{Z}^*\) :
\(\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}\)
3) Ensemble des nombres décimaux \(\mathbb{D}\)
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils sont de la forme :
\(\mathbb{D} = \left\{ a \times 10^{-n} \mid a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}\)
Autrement dit, ce sont des nombres de la forme \(\frac{a}{10^n}\).
📌 Exemples : \(0,5\) ; \(3,14\) ; \(-2,7\) ; \(0,001\) sont des nombres décimaux.
\( \frac{1}{3} \approx 0,333…\) n’est pas décimal car il a un nombre infini de décimales.
4) Ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\)
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs (avec dénominateur non nul).
\(\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^* \right\}\)
📌 Exemples : \(\frac{1}{2}\) ; \(-\frac{3}{7}\) ; \(5 = \frac{5}{1}\) sont des rationnels.
Remarque : Tout nombre décimal est un nombre rationnel (car \(\frac{a}{10^n}\) est de la forme \(\frac{a}{b}\)).
5) Ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\)
Les nombres réels regroupent tous les nombres précédents ainsi que les nombres irrationnels (comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\)), qui ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux entiers.
\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrationnels}\}\)
6) Relations d’inclusion
Les ensembles de nombres sont emboîtés les uns dans les autres :
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Cela signifie que tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, etc.
📌 Exemple : \(5 \in \mathbb{N}\) donc \(5 \in \mathbb{Z}\), \(5 \in \mathbb{D}\), \(5 \in \mathbb{Q}\), \(5 \in \mathbb{R}\).
\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) mais \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) (c’est un irrationnel).
7) Notations des réels positifs et négatifs
- \(\mathbb{R}^+\) : ensemble des réels positifs (incluant 0)
- \(\mathbb{R}^-\) : ensemble des réels négatifs (incluant 0)
- \(\mathbb{R}^{+*}\) : ensemble des réels strictement positifs (excluant 0)
- \(\mathbb{R}^{-*}\) : ensemble des réels strictement négatifs (excluant 0)
Opérations et règles de calcul dans \(\mathbb{R}\)
Les propriétés fondamentales des opérations dans \(\mathbb{R}\) sont résumées dans le tableau ci-dessous :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Commutativité de l’addition | \(a + b = b + a\) |
| Associativité de l’addition | \(a + (b + c) = (a + b) + c\) |
| Opposé d’un nombre | \(a + (-a) = 0\) |
| Soustraction | \(a – b = a + (-b)\) |
| Commutativité de la multiplication | \(a \times b = b \times a = ab\) |
| Inverse d’un nombre | \(a \times \frac{1}{a} = 1\) (pour \(a \neq 0\)) |
| Distributivité | \(k(a + b) = ka + kb\) |
| Double distributivité | \((a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd\) |
📌 Exemple d’application :
Calculer \(3(x – 2) + 4x\) :
\(3(x – 2) + 4x = 3x – 6 + 4x = 7x – 6\) (distributivité et réduction).
Racine carrée
Définition
Pour tout nombre réel \(a \ge 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l’unique nombre positif dont le carré est égal à \(a\).
\((\sqrt{a})^2 = a\)
Propriétés des racines carrées
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Carré d’une racine | \(\sqrt{a^2} = a\) (pour \(a \ge 0\)) |
| Produit de racines | \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) (pour \(a, b \ge 0\)) |
| Quotient de racines | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) (pour \(a \ge 0, b > 0\)) |
📌 Exemples :
\(\sqrt{25} = 5\) car \(5^2 = 25\).
\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).
\(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\).
Les puissances
Définition
Pour un nombre réel \(a\) et un entier naturel \(n \ge 1\), la puissance \(a^n\) est le produit de \(a\) par lui-même \(n\) fois :
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}\)
Cas particuliers
- \(a^1 = a\)
- \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\))
- \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (pour \(a \neq 0\))
📌 Exemples avec les puissances de 10 :
\(10^3 = 1000\) (3 zéros).
\(10^{-2} = 0,01\) (2 chiffres après la virgule).
\(10^0 = 1\).
Propriétés des puissances
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit de puissances (même base) | \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) |
| Quotient de puissances (même base) | \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) |
| Puissance d’un produit | \((ab)^n = a^n b^n\) |
| Puissance d’un quotient | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^n)^m = a^{n \times m}\) |
📌 Exemples :
\(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
\(\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625\).
\((3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8\).
Écriture scientifique
L’écriture scientifique d’un nombre décimal est de la forme :
\(a \times 10^p\) avec \(1 \le a < 10\) et \(p \in \mathbb{Z}\)
C’est une notation qui permet de représenter facilement des nombres très grands ou très petits.
📌 Exemples :
\(3000 = 3 \times 10^3\)
\(0,00047 = 4,7 \times 10^{-4}\)
\(6,02 \times 10^{23}\) est la constante d’Avogadro (nombre d’atomes dans une mole).
Identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules de développement qui permettent de simplifier les calculs :
| Identité | Formule |
|---|---|
| Carré d’une somme | \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) |
| Carré d’une différence | \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) |
| Différence de carrés | \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) |
| Cube d’une somme | \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
| Cube d’une différence | \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\) |
| Différence de cubes | \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) |
| Somme de cubes | \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\) |
📌 Exemples :
\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\).
\((2x – 5)^2 = 4x^2 – 20x + 25\).
\(x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4)\).
\((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\).
📌 À retenir
- \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
- Les opérations dans \(\mathbb{R}\) respectent les règles de commutativité, associativité, distributivité
- \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré est \(a\)
- \(a^n = a \times a \times \cdots \times a\) (n fois) ; \(a^0 = 1\) ; \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
- L’écriture scientifique est \(a \times 10^p\) avec \(1 \le a < 10\)
- Les 3 identités remarquables principales : \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\), \((a+b)^3\), \((a-b)^3\), \(a^3-b^3\), \(a^3+b^3\)
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