Les ensembles de nombres -évaluations corrigés

Évaluation de Mathématiques

Les ensembles de nombres

Matière :Mathématiques

Niveau :Tronc Commun Sciences

Durée :1 heure

Barème :20 points

Exercice 1 : Ensembles de nombres (4 points)

4 pts

1) Donner la définition de chacun des ensembles suivants : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$. (2 pts)

2) Donner la relation d’inclusion entre ces ensembles. (1 pt)

3) Citer deux nombres qui appartiennent à $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{D}$. (1 pt)

Exercice 2 : Appartenance à un ensemble (3 points)

3 pts

Compléter par $\in$ ou $\notin$ :

1) $ \frac{15}{5} \ … \ \mathbb{N} $ (0,5 pt)

2) $ -3 \ … \ \mathbb{N} $ (0,5 pt)

3) $ \frac{3}{4} \ … \ \mathbb{D} $ (0,5 pt)

4) $ \sqrt{2} \ … \ \mathbb{Q} $ (0,5 pt)

5) $ \frac{22}{7} \ … \ \mathbb{Q} $ (0,5 pt)

6) $ \pi \ … \ \mathbb{R} $ (0,5 pt)

Exercice 3 : Identités remarquables (5 points)

5 pts

Rappel des identités remarquables :

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$ $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) Développer et réduire les expressions suivantes :

a) $(2x + 3)^2$ (0,5 pt)

b) $(5x – 4)^2$ (0,5 pt)

c) $(3x – 2)(3x + 2)$ (0,5 pt)

d) $(2x + 1)^3$ (0,5 pt)

e) $(x – 3)^3$ (0,5 pt)

2) Factoriser les expressions suivantes :

a) $4x^2 – 12x + 9$ (0,5 pt)

b) $27x^3 + 8$ (0,5 pt)

c) $8x^3 – 1$ (0,5 pt)

3) Simplifier l’expression : $A = (x+2)^3 – (x-2)^3$ (1 pt)

Exercice 4 : Puissances et racines carrées (4 points)

4 pts

1) Simplifier au maximum les expressions suivantes :

a) $\dfrac{2^5 \times 3^4 \times 5^2}{2^3 \times 3^6 \times 5}$ (0,5 pt)

b) $\dfrac{(a^3)^4 \times a^{-2}}{a^5 \times a^{-3}}$ (0,5 pt)

c) $\left(\dfrac{3x^2 y^3}{4x^4 y}\right)^2$ (0,5 pt)

d) $(2^n + 2^{n-1}) \times 2^{-n+1}$ (0,5 pt)

2) Simplifier au maximum les expressions suivantes (écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers) :

a) $\sqrt{200} – 3\sqrt{98} + 2\sqrt{32}$ (0,5 pt)

b) $\dfrac{\sqrt{72} \times \sqrt{27}}{\sqrt{6}}$ (0,5 pt)

c) $\dfrac{5}{\sqrt{3}} + \dfrac{2}{\sqrt{12}} – \dfrac{3}{\sqrt{27}}$ (0,5 pt)

d) $\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^2 – \left(\sqrt{5} – \sqrt{2}\right)^2$ (0,5 pt)

Exercice 5 : Écriture scientifique (4 points)

4 pts

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

1) $45\,000\,000$ (1 pt)

2) $0,000\,000\,32$ (1 pt)

3) $\frac{3 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}}{6 \times 10^2}$ (2 pts)

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Modèle $N°1$

Exercice 1：$(4,5pts)$

Compléter par : $\in$; $\notin ; \subset ; \not \subset$ :

$5 \ldots \ldots \mathbb{D} \quad ; \quad-7 \ldots \ldots \mathbb{D} \quad ; \quad \mathbb{N} \ldots \ldots \mathbb{R}$

$\mathbb{Z}^{-} \ldots \ldots \mathbb{Z} \quad ; \quad \sqrt{3} \ldots \ldots \mathbb{Q} \quad ;-17 \ldots \ldots \mathbb{Z}^{-}$

$\frac{12}{2} \ldots \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \mathbb{R} \ldots \ldots \mathbb{Q} \quad ; \quad -\sqrt{\frac{12}{3} } \ldots \ldots \mathbb{Z}$

Exercice 2：$(9pts)$

$1)$ Calculer et simplifier les nombres suivants :

$A=(2 \sqrt{3}+\sqrt{5})(2 \sqrt{3}-\sqrt{5})$

$B={(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}}-{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}}$

$C=\sqrt{ \sqrt{7}+\sqrt{3}} \times \sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3} } $

$2)$ Soit $x \in \mathbb{R}$,développer les expressions suivantes :

$A=(2 \mathrm{x}-3)^{2}+(\mathrm{x}+2)^{2}$

$B=(x-2)\left(x^{2}+4 x+4\right)$

$\mathrm{C}=(\mathrm{x}+2)^{3}-\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)^{2}$

$3)$ Soit $x \in \mathbb{R}$,factoriser les expressions suivantes :

$ A=27 x^{3}+8 $

$ \mathrm{~B}=8 x^{3}-1$

$ \mathrm{C}=27-x^{3}-(x-3)(x-2)+2(3-\mathrm{x})^{2}$

Exercice 3：$(4,5pts)$

Soit $x$ et $y$ deux réels tel que $x+y=\sqrt{5}$ et $x y=\frac{4}{5}$

Calculez $x^{2}+y^{2}, x^{3}+y^{3}$ et $x^{4}+y^{4}$

Exercice 4：$(2pts)$

On pose $A=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{10-3 \sqrt{11}}+\frac{1}{10+3 \sqrt{11}}}}$

$A$ est il un rationnel ?

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