Les ensembles de nombres exercices corrigés
📋Exercice : Questions de cours (Les ensembles de nombres)
Définir l’ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels. Quel est son sous-ensemble des entiers naturels non nuls ?
Définir l’ensemble \(\mathbb{Z}\) des entiers relatifs. Donner deux exemples d’entiers relatifs qui ne sont pas des entiers naturels.
Définir l’ensemble \(\mathbb{D}\) des nombres décimaux. Comment peut-on les écrire sous forme de fraction ? Donner un exemple.
Définir l’ensemble \(\mathbb{Q}\) des nombres rationnels. Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?
Définir l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels. Quels nombres ne font pas partie de \(\mathbb{Q}\) ? Donner un exemple.
Écrire les relations d’inclusion entre les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\). Justifier par un exemple.
Définir les notations \(\mathbb{R}^+\), \(\mathbb{R}^-\), \(\mathbb{R}^{+*}\) et \(\mathbb{R}^{-*}\). Quelle est la différence entre \(\mathbb{R}^+\) et \(\mathbb{R}^{+*}\) ?
Donner la définition de la racine carrée d’un nombre réel \(a \ge 0\). Énoncer les trois propriétés fondamentales des racines carrées.
Définir \(a^n\) pour un nombre réel \(a\) et un entier naturel \(n\). Que valent \(a^0\), \(a^{-n}\) et \(a^1\) ?
Énoncer les propriétés des puissances : produit, quotient, puissance d’un produit, puissance d’un quotient, puissance d’une puissance. Donner un exemple pour chaque propriété.
Définir l’écriture scientifique d’un nombre décimal. Donner les écritures scientifiques de \(3000\), \(0,00047\) et \(6,02 \times 10^{23}\).
Écrire les identités remarquables : carré d’une somme, carré d’une différence, différence de carrés, cube d’une somme, cube d’une différence, somme de cubes et différence de cubes. Donner un exemple pour chaque.
Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls. Ils servent à compter ou à dénombrer.
Le sous-ensemble des entiers naturels non nuls est noté \(\mathbb{N}^*\) :
Les entiers relatifs sont les entiers naturels ainsi que leurs opposés (nombres négatifs).
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ce sont des nombres de la forme \(\frac{a}{10^n}\).
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs (avec dénominateur non nul).
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers.
Les nombres réels regroupent tous les nombres précédents ainsi que les nombres irrationnels.
Les nombres qui ne font pas partie de \(\mathbb{Q}\) sont les nombres irrationnels.
Cela signifie que tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, etc.
\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) mais \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
- \(\mathbb{R}^+\) : ensemble des réels positifs (incluant 0)
- \(\mathbb{R}^-\) : ensemble des réels négatifs (incluant 0)
- \(\mathbb{R}^{+*}\) : ensemble des réels strictement positifs (excluant 0)
- \(\mathbb{R}^{-*}\) : ensemble des réels strictement négatifs (excluant 0)
Différence : \(\mathbb{R}^+\) inclut 0, alors que \(\mathbb{R}^{+*}\) exclut 0.
Pour tout nombre réel \(a \ge 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l’unique nombre positif dont le carré est égal à \(a\).
Propriétés :
- \(\sqrt{a^2} = a\) (pour \(a \ge 0\))
- \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) (pour \(a, b \ge 0\))
- \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) (pour \(a \ge 0, b > 0\))
Pour un nombre réel \(a\) et un entier naturel \(n \ge 1\) :
- \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\))
- \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (pour \(a \neq 0\))
- \(a^1 = a\)
- Produit : \(a^n \times a^m = a^{n+m}\)
Exemple : \(2^3 \times 2^4 = 2^{7} = 128\) - Quotient : \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)
Exemple : \(\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{4} = 625\) - Puissance d’un produit : \((ab)^n = a^n b^n\)
Exemple : \((2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4\) - Puissance d’un quotient : \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
Exemple : \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4}\) - Puissance d’une puissance : \((a^n)^m = a^{n \times m}\)
Exemple : \((3^2)^4 = 3^{8}\)
L’écriture scientifique d’un nombre décimal est de la forme :
\(3000 = 3 \times 10^3\)
\(0,00047 = 4,7 \times 10^{-4}\)
\(6,02 \times 10^{23}\) (déjà en écriture scientifique)
- Carré d’une somme : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Exemple : \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\) - Carré d’une différence : \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
Exemple : \((2x-5)^2 = 4x^2 – 20x + 25\) - Différence de carrés : \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)
Exemple : \(x^2 – 16 = (x-4)(x+4)\) - Cube d’une somme : \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
Exemple : \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\) - Cube d’une différence : \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)
- Différence de cubes : \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
- Somme de cubes : \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
📝Exercice 1 : Nombres décimaux
Les nombres suivants sont-ils des décimaux ?
Déterminer pour chaque fraction si elle représente un nombre décimal. Justifier votre réponse.
Rappel : Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme \(\frac{a}{10^n}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\).
Pour une fraction irréductible \(\frac{a}{b}\), elle est décimale si et seulement si le dénominateur \(b\) n’a que des facteurs premiers \(2\) et \(5\).
\( \frac{54}{40} = \frac{27}{20} = \frac{27}{2^2 \times 5} \)
Le dénominateur \(20 = 2^2 \times 5\) n’a que des facteurs \(2\) et \(5\). Donc \( \frac{54}{40} \) est décimal.
\( \frac{54}{40} = 1,35 \)
\( \frac{126}{450} = \frac{126 \div 18}{450 \div 18} = \frac{7}{25} = \frac{7}{5^2} \)
Le dénominateur \(25 = 5^2\) n’a que des facteurs \(5\). Donc \( \frac{126}{450} \) est décimal.
\( \frac{126}{450} = 0,28 \)
\( \frac{75}{90} = \frac{75 \div 15}{90 \div 15} = \frac{5}{6} \)
Le dénominateur \(6 = 2 \times 3\) contient le facteur \(3\). Donc \( \frac{75}{90} \) n’est pas décimal.
\( \frac{75}{90} = 0,8333…\) (périodique)
\( \frac{17}{7} \) est déjà irréductible.
Le dénominateur \(7\) contient le facteur \(7\). Donc \( \frac{17}{7} \) n’est pas décimal.
\( \frac{17}{7} = 2,428571…\) (périodique)
\( \frac{1}{3} \) est déjà irréductible.
Le dénominateur \(3\) contient le facteur \(3\). Donc \( \frac{1}{3} \) n’est pas décimal.
\( \frac{1}{3} = 0,333…\) (périodique)
📝Exercice 2 : Appartenance et inclusion
Compléter par : \(\in\) ; \(\notin\) ; \(\subset\) ; \(\not\subset\)
\(6 \; \ldots \; \mathbb{Z}\)
\(\frac{2}{3} \; \ldots \; \mathbb{Q}\)
\(\sqrt{2} \; \ldots \; \mathbb{Q}\)
\(\sqrt{2} \; \ldots \; \mathbb{R}\)
\(\mathbb{Q} \; \ldots \; \mathbb{R}\)
\(\mathbb{N} \; \ldots \; \mathbb{Q}\)
\(-\frac{2}{3} \; \ldots \; \mathbb{R}^+\)
\(\frac{2}{3} \; \ldots \; \mathbb{N}\)
\(\frac{6}{2} \; \ldots \; \mathbb{N}\)
\(\frac{\sqrt{100}}{5} \; \ldots \; \mathbb{N}\)
\(\mathbb{Q} \; \ldots \; \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q}\)
\(\pi \; \ldots \; \mathbb{Z}\)
\(0 \; \ldots \; \mathbb{Q}^*\)
\(-\frac{7}{3} \; \ldots \; \mathbb{Q}^{+*}\)
\(\sqrt{16} \; \ldots \; \mathbb{N}\)
\(0 \; \ldots \; \mathbb{R}^*\)
\(\{1; 3; -8\} \; \ldots \; \mathbb{N}\)
\(\mathbb{R}^+ \; \ldots \; \mathbb{R}\)
\(\frac{1}{2} \; \ldots \; \mathbb{D}\)
\(\frac{1}{3} \; \ldots \; \mathbb{D}\)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 3 : Calculs et simplifications
Calculer et simplifier :
\( A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{3} – \dfrac{7}{6} \)
\( B = \dfrac{-2}{3} + \dfrac{7}{6} – \dfrac{1}{4} – 2 \)
\( C = \left( \dfrac{2}{3} – \dfrac{5}{2} \right)^{2} \)
\( D = \dfrac{5 + \frac{1}{3}}{2 – \frac{3}{2}} \)
\( E = \left( 1 – \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{2}{5} + 1 – \dfrac{1}{2} \right) \)
\( F = \dfrac{7 – \frac{4}{\pi}}{12 – 21\pi} \)
\( G = [(a-c)-(a-b)] – [(c-a)+(b-c)] \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝
Exercice 4 : Calculs avec racines carrées
Calculer et simplifier :
\( A = \sqrt{\dfrac{9}{2}} \)
\( B = \dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}} \)
\( C = 3\sqrt{20} + 4\sqrt{45} – 2\sqrt{80} – \sqrt{180} \)
\( D = (\sqrt{3} + \sqrt{2} – \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5}) \)
\( E = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} – \sqrt{5}} – \dfrac{\sqrt{3} – \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 5 : Simplification avec racines carrées
Calculer et simplifier :
Soit \( A = \dfrac{5\sqrt{7}}{\sqrt{2} – \sqrt{7}} + \dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} \).
Montrer que \( A \) est un nombre entier relatif.
Calculer et simplifier :
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 6 : Simplification de puissances
Simplifier et écrire sous forme d’une puissance :
\( A = 2^{3} \times (2^{2})^{4} \times (2^{-5})^{3} \)
\( B = (-3)^{1} \times (-3)^{5} \times (3)^{2} \times (-3)^{-10} \)
\( C = \dfrac{3^{-5} \times 4^{-2}}{12^{3}} \times \dfrac{9}{2^{2}} \)
\( D = \dfrac{(-2)^{3} \times (4^{2})^{-1} \times 8}{1024 \times (-16)^{-4}} \)
\( E = \dfrac{10^{-8} \times 10^{9} \times 10^{7} \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 10^{3} \times 10^{5}} \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 7 : Notation scientifique
Écrire en notation scientifique les nombres suivants :
\( A = 35 \times 10^{6} + 3 \times 10^{6} + 2,9 \times 10^{6} \)
\( B = -0,8 \times 10^{7} + 0,05 \times 10^{7} – 2,32 \times 10^{7} \)
\( C = 9 \times 10^{-3} + 0,4 \times 10^{-2} – 9 \times 10^{-4} \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 8 : Développement avec identités remarquables
Développer, calculer et simplifier :
\( A = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^{2} – (\sqrt{5} – \sqrt{2})^{2} \)
\( B = [(\sqrt{2} – \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})]^{2} \)
\( C = (\sqrt{2} + 1)^{3} \)
\( D = (3x – 2)^{3} \)
\( E = (x+2)(x^{2} – 2x + 4) \)
\( F = (200520052006)^{2} – (200520052005 \times 200520052007) \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 9 : Factorisation d’expressions
Factoriser les expressions suivantes, où \( x \in \mathbb{R} \) :
\( 49x^{2} – 81 \)
\( 16x^{2} – 8x + 1 \)
\( x^{3} – 8 \)
\( C = (a+1)(2a-3) + 6(a+1) \)
\( D = 27x^{3} + 1 \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 10 : Développement et simplification
Développer, calculer et simplifier : \( x \in \mathbb{R} \).
\( A = (3+\sqrt{11})^{2} – (3-\sqrt{11})^{2} \)
\( B = (4\sqrt{3}-7)^{2015} \times (4\sqrt{3}+7)^{2015} \)
\( C = (\sqrt{75}-\sqrt{98}) \times (5\sqrt{3}+7\sqrt{2}) \)
\( D = (5x+2)^{3} \)
\( E = (\sqrt{3}-1)^{3} \)
\( F = (2x-3)(4x^{2}+6x+9) \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 11 : Factorisation d’expressions
Factoriser les expressions suivantes, où \( x \in \mathbb{R} \) :
\( A = 16x^{2} – 8x + 1 \)
\( B = 16 – 25x^{2} \)
\( C = 1 – (1-3x)^{2} \)
\( D = (2x-1)^{3} – 8 \)
\( E = 27 + x^{3} \)
\( F = x^{12} – 2x^{6} + 1 \)
\( H = x^{3}+1+2(x^{2}-1)-(x+1) \)
\( G = x^{5} + x^{3} – x^{2} – 1 \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 12 : Égalité avec racines carrées
Soient \( a \in \mathbb{R}^{*} \) et \( b \in \mathbb{R}^{*} \) tels que \( a \ge b \).
Montrer que :
Démontrer l’égalité.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 13 : Calculs avec identités remarquables
Soient \( a \) et \( b \) deux réels tels que :
Calculer la valeur de \( a \times b \).
En déduire la valeur de \( a^{3} + b^{3} \).
Calculer \( a^{4} + b^{4} \), puis \( a^{6} + b^{6} \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
📝Exercice 14 : Rationalisation et somme télescopique
Soit \( x \) un réel strictement positif.
Montrer que :
On pose :
Montrer que \( S \in \mathbb{N} \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Les ensembles de nombres exercices corrigés