Les Nombres rationnels
📐Exercice : Questions de cours
Donner la définition d’un nombre rationnel.
Quelle est la règle des produits en croix pour vérifier l’égalité de deux nombres rationnels \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\) ?
Comment détermine-t-on le signe d’un nombre rationnel \(\dfrac{a}{b}\) ?
Écrire la règle de simplification d’un nombre rationnel. Que signifie « simplifier » une fraction ?
Compléter : « Tout nombre décimal relatif est un nombre … » Donner un exemple.
Donner la solution de l’équation \(a \times x = b\) où \(a\) est non nul. Comment s’écrit cette solution sous forme d’un nombre rationnel ?
Donner un exemple de nombre qui est rationnel mais pas décimal. Justifier brièvement.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient (ou fraction) de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.
On écrit : \(\dfrac{a}{b}\) où \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{Z}^*\).
Exemple : \(\dfrac{3}{-7}\), \(\dfrac{-5}{2}\), \(\dfrac{0}{4}=0\).
Soient \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\) deux nombres rationnels (avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)).
On a : \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\).
Exemple : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\) car \(2 \times 9 = 3 \times 6 = 18\).
Pour déterminer le signe du nombre rationnel \(\dfrac{a}{b}\), on compare les signes du numérateur \(a\) et du dénominateur \(b\) :
- Si \(a\) et \(b\) ont le même signe, alors \(\dfrac{a}{b}\) est positif.
- Si \(a\) et \(b\) ont des signes contraires, alors \(\dfrac{a}{b}\) est négatif.
Exemple : \(\dfrac{-13}{-8}\) est positif, \(\dfrac{27}{-5}\) est négatif.
On ne change pas la valeur d’un nombre rationnel en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
\(\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{a \div k}{b \div k} = \dfrac{a}{b}\)
Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre (en général leur PGCD) pour obtenir une fraction irréductible.
Exemple : \(\dfrac{36}{24} = \dfrac{36 \div 12}{24 \div 12} = \dfrac{3}{2}\).
Complétion : « Tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel. »
Exemple : \(3,6 = \dfrac{36}{10}\) est un nombre décimal, donc il est aussi rationnel.
Remarque : La réciproque est fausse : il existe des nombres rationnels qui ne sont pas décimaux (ex : \(\dfrac{3}{7}\)).
L’équation \(a \times x = b\) avec \(a \neq 0\) a pour solution :
\(x = \dfrac{b}{a}\)
La solution s’écrit sous forme d’un nombre rationnel car c’est le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
Exemple : \(-2x = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}\).
Exemple : \(\dfrac{3}{7}\)
Justification : \(\dfrac{3}{7} = 0,428571428571…\)
Ce nombre a une écriture décimale illimitée périodique (la séquence « 428571 » se répète). Il n’est donc pas un nombre décimal (dont l’écriture décimale est limitée), mais il reste un nombre rationnel.
📝Exercice 1 : Nombres rationnels
Exercice sur les nombres rationnels.
Donner quatre nombres rationnels dont le dénominateur est multiple de 4.
…
Donner quatre nombres rationnels dont le numérateur est multiple de 3.
…
Écrire chaque nombre sous forme d’un nombre rationnel de dénominateur 36.
\( \frac{-5}{9} \quad;\quad \frac{-15}{6} \quad;\quad \frac{1,5}{2} \quad;\quad \frac{7}{-18} \quad;\quad \frac{-5}{3} \)
…
Écrire chaque nombre sous forme d’un nombre rationnel de numérateur 18.
\( \frac{6}{-13} \quad;\quad \frac{-1}{6} \quad;\quad \frac{9}{2} \quad;\quad \frac{-2}{11} \quad;\quad \frac{3}{-5} \)
…
Des exemples de nombres rationnels dont le dénominateur est multiple de 4 :
\( \frac{3}{4} \)
\( \frac{7}{8} \)
\( \frac{5}{12} \)
\( \frac{9}{16} \)
(4, 8, 12, 16 sont des multiples de 4)
Des exemples de nombres rationnels dont le numérateur est multiple de 3 :
\( \frac{3}{5} \)
\( \frac{6}{7} \)
\( \frac{9}{11} \)
\( \frac{12}{13} \)
(3, 6, 9, 12 sont des multiples de 3)
\( \frac{-5}{9} = \frac{-5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{-20}{36} \)
\( \frac{-15}{6} = \frac{-15 \times 6}{6 \times 6} = \frac{-90}{36} \)
\( \frac{1,5}{2} = \frac{1,5 \times 18}{2 \times 18} = \frac{27}{36} \)
\( \frac{7}{-18} = \frac{7 \times (-2)}{-18 \times (-2)} = \frac{-14}{36} \)
\( \frac{-5}{3} = \frac{-5 \times 12}{3 \times 12} = \frac{-60}{36} \)
\( \frac{6}{-13} = \frac{6 \times 3}{-13 \times 3} = \frac{18}{-39} \)
\( \frac{-1}{6} = \frac{-1 \times (-18)}{6 \times (-18)} = \frac{18}{-108} \)
\( \frac{9}{2} = \frac{9 \times 2}{2 \times 2} = \frac{18}{4} \)
\( \frac{-2}{11} = \frac{-2 \times (-9)}{11 \times (-9)} = \frac{18}{-99} \)
\( \frac{3}{-5} = \frac{3 \times 6}{-5 \times 6} = \frac{18}{-30} \)
Méthode : On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre pour obtenir 18 au numérateur.
💡 Règle importante : Pour transformer un nombre rationnel sans changer sa valeur,
on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre (non nul).
C’est la propriété fondamentale des fractions équivalentes.
📝
Exercice 2 : Signe des nombres rationnels
Donner le signe des nombres suivants :
\( \frac{3}{-7} \)
\( \frac{-2}{-5} \)
\( -\frac{1}{9} \)
\( -(\frac{5}{-9}) \)
\( -\frac{-68}{-55} \)
\( -(-(-(-\frac{-1}{-3}))) \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 3 : Fractions équivalentes et comparaison
Exercice sur les fractions équivalentes et la comparaison.
Remplacer les pointillés par le nombre qui convient :
\( \frac{-3}{5}=\frac{\ldots}{100}=\frac{-81}{\ldots}=\frac{\ldots}{-50}=\frac{9}{\ldots}=\frac{\ldots}{-20} \)
\( \frac{50}{\ldots}=\frac{\ldots}{-7}=\frac{25}{\ldots}=\frac{\ldots}{-8}=\frac{15}{-3}=\frac{\ldots}{2} \)
…
Ranger ces fractions dans l’ordre croissant :
\( \frac{0.5}{5} \quad;\quad 0 \quad;\quad \frac{-1}{5} \quad;\quad \frac{3}{5} \quad;\quad \frac{-12}{5} \quad;\quad \frac{7}{5} \quad;\quad \frac{2}{5} \)
…
Ranger ces fractions dans l’ordre décroissant :
\( \frac{3}{2} \quad;\quad \frac{-3}{7} \quad;\quad \frac{2}{7} \quad;\quad \frac{-3}{14} \quad;\quad \frac{5}{21} \quad;\quad \frac{-7}{42} \quad;\quad \frac{2}{14} \)
…
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 4 : Fractions, inverses et produits
Exercice sur les fractions, les inverses et les produits.
Mettre les nombres décimaux suivants sous la forme d’une fraction :
\( 2,4 \quad;\quad 0,28 \quad;\quad 5,65 \quad;\quad 0,05 \)
…
Donner l’inverse de ces fractions :
\( \frac{5}{3} \quad;\quad \frac{-2}{-5} \quad;\quad \frac{7}{-3} \quad;\quad \frac{-5}{6} \)
…
Écrire les fractions suivantes sous la forme de 3 produits de fractions :
\( \frac{65}{18} \quad;\quad \frac{78}{30} \quad;\quad \frac{45}{24} \quad;\quad \frac{112}{27} \)
…
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 5 : Comparaison de fractions
• Comparer les deux nombres en détaillant la technique utilisée :
\( \frac{9}{121} \text{ et } \frac{5}{121} \quad;\quad \frac{-7}{5} \text{ et } \frac{-3}{5} \quad;\quad \frac{2}{11} \text{ et } \frac{5}{11} \quad;\quad \frac{-2}{9} \text{ et } \frac{-12}{45} \quad;\quad \frac{13}{24} \text{ et } \frac{7}{8} \)
…
\( \frac{-2}{3} \text{ et } \frac{-5}{27} \quad;\quad \frac{3}{13} \text{ et } \frac{5}{39} \quad;\quad 0.27 \text{ et } \frac{7}{10} \quad;\quad 7 \text{ et } \frac{-12}{5} \)
…
\( -0.07 \text{ et } \frac{-0.7}{10} \quad;\quad \frac{3.2}{5} \text{ et } \frac{1.4}{20} \quad;\quad \frac{-3.5}{21} \text{ et } \frac{-2.5}{7} \quad;\quad \frac{-0.9}{12} \text{ et } \frac{5.5}{4} \)
…
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 6 : Simplification de fractions
Simplifier au maximum chacune des fractions suivantes :
\( \frac{2 \times 16}{8 \times 4} \quad;\quad \frac{28 \times 15}{35} \quad;\quad \frac{5 \times 4}{5 \times 7} \quad;\quad \frac{27}{18} \quad;\quad \frac{40}{32} \quad;\quad \frac{14}{42} \)
…
\( \frac{27 \times 16 \times 40}{56 \times 9 \times 32} \quad;\quad \frac{36 \times 12 \times 15}{14 \times 18 \times 16} \quad;\quad \frac{70 \times 100 \times 15}{140 \times 30 \times 25} \)
…
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 6* : Simplification de nombres rationnels
Simplifier les nombres rationnels suivants :
\( \frac{45}{35} \quad;\quad \frac{-132}{33} \quad;\quad \frac{-5474}{121} \quad;\quad \frac{121}{78} \quad;\quad \frac{78}{2,6} \quad;\quad \frac{12,0}{12} \quad;\quad \frac{7,8}{-13} \)
…
\( \frac{(a-1)^2}{2(a+1)-4} \quad;\quad \frac{15x^2 \times (-9)}{90x} \quad;\quad \frac{-125 \times 49 \times (-21)}{15 \times (-98)} \)
…
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
📝Exercice 7 : Comparaison de fractions – Héritage
Suite à un héritage, deux cousins éloignés reçoivent une somme d’argent.
Le premier reçoit \(\frac{9}{56}\) de la somme totale et
le deuxième reçoit \(\frac{12}{85}\) de la somme totale.
Lequel reçoit le plus ?
✍️ Lequel des deux cousins reçoit la plus grande part ?
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 8 : Problème – Argent de poche
Saad a dépensé \(\frac{3}{5}\) de ce qui lui restait d’argent de poche à la fête d’anniversaire.
Il lui restait \(\frac{2}{3}\) de ce que sa maman lui avait donné.
Quelle fraction de son argent de poche a-t-il dépensé à la fête d’anniversaire ?
Sa maman lui avait donné 300 DH. Combien lui reste-t-il ?
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 9 : Problème – Achat d’une tablette
Nabil désire acheter une tablette. Le modèle qu’il souhaite coûte 2600 DH.
Sa maman lui donne \(\frac{2}{5}\) du prix et sa grand-mère lui donne \(\frac{3}{4}\) du reste.
Combien lui manque-t-il d’argent pour pouvoir s’acheter sa tablette ?
✍️ Combien d’argent manque-t-il à Nabil ?
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 10 : Problème – La bouteille de jus
Sarah dit : « J’ai bu les trois quarts du cinquième d’une bouteille d’un litre de jus de fruit ».
Quelle quantité (en cl) de jus Sarah a-t-elle bue ? JUSTIFIE par calcul.
✍️ Quelle quantité de jus Sarah a-t-elle bue ?
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 11 : Applications des fractions
Applications des fractions.
Le jardinier du château a rentré pour l’hiver le trois quart des 24 citronniers. Combien en a-t-il rentré ?
Le peintre a repeint un tiers de la surface d’un mur de 60 m². Quelle surface a-t-il repeinte ?
Adam s’accapare les \( \frac{5}{6} \) des 48 figurines pour s’amuser. Combien prend-il de figurines ?
Les \( \frac{2}{3} \) d’un nombre valent 458. Retrouver ce nombre.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📝Exercice 12 : Équations avec fractions
Trouver la valeur du nombre rationnel \( x \) dans chaque cas (sous forme simplifiée) :
\( \frac{14}{-18} = \frac{-6}{-2x} \)
\( \frac{12}{8} = \frac{-x}{16} \)
\( \frac{-2}{3x} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{x}{3} = \frac{-7}{5} \)
\( \frac{-3x}{7} = -36 \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
📝Exercice 13 : Nombres décimaux périodiques en fractions
Écrire les nombres décimaux périodiques suivants sous forme de fractions :
\( 1,333… \)
\( 0,3232… \)
\( -1,514444… \)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
Les Nombres rationnels