Les Nombres rationnels – Cours
PRÉSENTATION ET COMPARAISON DES NOMBRES RATIONNELS
2ème Année Collège
Définition d’un nombre rationnel
1) Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient (ou fraction) de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.
\(\dfrac{a}{b}\) où \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{Z}^*\)
📌 Exemples détaillés :
Nombres rationnels :
\(\dfrac{0}{6} = 0\) ; \(\dfrac{7}{-9}\) ; \(\dfrac{-13}{-79} = \dfrac{13}{79}\)
Nombres qui ne sont PAS rationnels :
\(\dfrac{11}{0}\) n’est pas un nombre rationnel car le dénominateur est nul (division par zéro impossible).
2) Lien avec les nombres décimaux
Propriété : Tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel.
📌 Exemples :
\(3,6 = \dfrac{36}{10}\) (décimal → rationnel)
\(22 = \dfrac{22}{1}\) (entier → rationnel)
\(-0,125 = \dfrac{-125}{1000}\) (décimal négatif → rationnel)
📌 Remarque importante :
Il existe des nombres rationnels qui ne sont pas décimaux.
Exemple : \(\dfrac{3}{7} = 0,428571428571…\) (écriture décimale illimitée périodique, donc pas un nombre décimal).
Signe d’un nombre rationnel
Règle de détermination du signe
Pour déterminer le signe du nombre rationnel \(\dfrac{a}{b}\), on compare les signes du numérateur \(a\) et du dénominateur \(b\) :
| Condition | Signe de \(\frac{a}{b}\) |
|---|---|
| \(a\) et \(b\) ont le même signe | Positif (+) |
| \(a\) et \(b\) ont des signes contraires | Négatif (-) |
📌 Exemples :
\(\dfrac{-13}{-8}\) est positif car \(-13\) et \(-8\) ont le même signe (tous les deux négatifs).
\(\dfrac{27}{-5}\) est négatif car \(27\) et \(-5\) ont des signes contraires.
\(\dfrac{-11}{7}\) est négatif car \(-11\) et \(7\) ont des signes contraires.
\(\dfrac{8}{3}\) est positif car \(8\) et \(3\) sont tous les deux positifs.
Égalité des nombres rationnels et produits en croix
Règle des produits en croix
Soient \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\) deux nombres rationnels (avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)). On a :
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)
📌 Exemple détaillé :
Comparer \(\dfrac{-3}{4}\) et \(\dfrac{18}{-5}\) :
On utilise les produits en croix :
\((-3) \times (-5) = 15\)
\(4 \times 18 = 72\)
On constate que \(15 \neq 72\).
Donc \(\dfrac{-3}{4} \neq \dfrac{18}{-5}\).
Explication : Les deux fractions ne sont pas égales car les produits en croix ne sont pas égaux.
Cas particuliers
Si \(\dfrac{a}{b}\) est un nombre rationnel, alors :
\(\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}\) et \(-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}\)
📌 Exemples :
\(\dfrac{-11}{-9} = \dfrac{11}{9}\) (on simplifie les deux signes négatifs)
\(-\dfrac{5}{6} = \dfrac{-5}{6} = \dfrac{5}{-6}\) (le signe négatif peut être placé au numérateur ou au dénominateur)
Simplification d’un nombre rationnel
Règle de simplification
On ne change pas la valeur d’un nombre rationnel en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
\(\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{a \div k}{b \div k} = \dfrac{a}{b}\)
📌 Exemples détaillés :
Exemple 1 : Simplification par division
\(\dfrac{36}{24} = \dfrac{36 \div 12}{24 \div 12} = \dfrac{3}{2}\)
Explication : On a divisé le numérateur et le dénominateur par 12 (leur PGCD).
Exemple 2 : Simplification par multiplication (pour obtenir un dénominateur souhaité)
\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{6}{15}\)
Exemple 3 : Simplification avec nombres négatifs
\(\dfrac{-28}{35} = \dfrac{-28 \div 7}{35 \div 7} = \dfrac{-4}{5} = -\dfrac{4}{5}\)
Le nombre rationnel et les équations
Règle fondamentale
Le nombre rationnel \(\dfrac{a}{b}\) est la solution de l’équation \(a \times x = b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres décimaux relatifs et \(a\) est non nul.
📌 Exemples détaillés :
Exemple 1 :
L’équation \(-2x = 5\) a pour solution :
\(x = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}\)
Exemple 2 :
L’équation \(-9x = -11\) a pour solution :
\(x = \dfrac{-11}{-9} = \dfrac{11}{9}\)
Exemple 3 :
L’équation \(2x = -1\) a pour solution :
\(x = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}\)
Exemple 4 :
L’équation \(5x = 7\) a pour solution :
\(x = \dfrac{7}{5}\)
Explication : Pour résoudre une équation de la forme \(ax = b\), on divise les deux côtés par \(a\) (non nul), ce qui donne \(x = \dfrac{b}{a}\).
Récapitulatif
| Notion | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Nombre rationnel | \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\) | \(\dfrac{-3}{7}\) |
| Signe d’un rationnel | Même signe → positif ; signes contraires → négatif | \(\dfrac{-13}{-8} > 0\) |
| Égalité (produits en croix) | \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc\) | \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\) |
| Simplification | Diviser numérateur et dénominateur par le même nombre | \(\dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2}\) |
| Équation \(ax = b\) | \(x = \dfrac{b}{a}\) | \(-2x = 5 \Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}\) |
📌 À retenir
- Un nombre rationnel s’écrit \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\)
- Tout nombre décimal est un nombre rationnel (mais l’inverse est faux)
- \(\dfrac{a}{b}\) est positif si \(a\) et \(b\) ont le même signe, négatif sinon
- \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\) (produits en croix)
- On peut simplifier une fraction en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul
- La solution de \(ax = b\) est \(x = \dfrac{b}{a}\)
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