Les polynômes -Cours
Les polynômes
1. Notion de polynôme
Définition
Un polynôme à coefficients réels de degré \( n \) est une expression de la forme :
\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\]
avec \( a_n \neq 0 \) et \( a_i \in \mathbb{R} \).
Le degré est noté \(\deg(P) = n\).
Exemples
\( P(x) = 2x^3 – 4x + 5 \)
→ Degré 3 (polynôme)
\( P(x) = 2x^3 – 4\sqrt{x} + 5 \)
→ Pas un polynôme (présence de √x)
Types particuliers
- Trinôme : \( ax^2 + bx + c \) (degré 2)
- Binôme : \( ax + b \) (degré 1)
- Le polynôme nul n’a pas de degré
2. Égalité de deux polynômes
Définition
Deux polynômes \( P \) et \( Q \) sont égaux ssi :
- Ils ont le même degré
- Les coefficients correspondants sont égaux
Exemples
Cas 1 :
\( P(x) = 2x^3 – 4x + 5 \)
\( Q(x) = x + 2x^3 – 5x + 5 \)
Correction :
En réordonnant Q(x) : \( Q(x) = 2x^3 + (1-5)x + 5 = 2x^3 – 4x + 5 \)
On constate que \( P(x) = Q(x) \)
→ Les polynômes sont égaux
Cas 2 :
\( P(x) = x^3 – 4x + 1 \)
\( Q(x) = x^3 + 4x + 1 \)
Correction :
Comparaison des coefficients :
- \( x^3 \) : 1 = 1 (identique)
- \( x \) : -4 ≠ +4 (différent)
- Terme constant : 1 = 1 (identique)
→ Les polynômes sont différents
Cas 3 :
\( P(x) = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}x^3 + 2x + 5 \)
\( Q(x) = (\sqrt{2} – 1)x^3 + 2x + 5 \)
Correction :
Simplifions le coefficient de \( P(x) \) :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 \]
Ainsi \( P(x) = (\sqrt{2}-1)x^3 + 2x + 5 = Q(x) \)
→ Les polynômes sont égaux
3. Opérations sur les polynômes
Propriétés
Pour \( P \) et \( Q \) non nuls :
- \( \deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q) \)
- \( \deg(P + Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q)) \)
4. Racines et factorisation
Racine d’un polynôme
\( a \) est racine de \( P \) ssi \( P(a) = 0 \).
Exemple
\( P(x) = 2x^2 – 3x + 1 \)
Vérification :
\( P(1) = 2(1)^2 – 3(1) + 1 = 2 – 3 + 1 = 0 \) → 1 est racine
\( P(2) = 2(4) – 3(2) + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 \neq 0 \) → 2 n’est pas racine
Théorème de factorisation
Si \( a \) est racine de \( P \), alors :
\( P(x) = (x – a)Q(x) \)
où \( Q \) est un polynôme de degré \( \deg(P) – 1 \).
Exemple de factorisation
Soit \( P(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \)
Cherchons le polynôme \( Q(x) \) tel que : \( P(x) = (x +3)Q(x) \)
Solution :
Division euclidienne :
Le polynôme \( Q(x) =x^2 – x – 2 \)
D’où : \( P(x) = (x + 3)(x^2 – x – 2) \)
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