Les quatre opérations sur les nombres rationnels exercices corrigés 2AC
📋Exercice : Questions de cours (Les opérations sur les nombres rationnels)
Définir ce qu’est développer une expression littérale. Donner un exemple.
Définir ce qu’est factoriser une expression littérale. Donner un exemple.
Énoncer la règle de la distributivité (développement et factorisation). Donner deux exemples.
Quelles sont les propriétés de la somme de plusieurs nombres rationnels ? Donner un exemple.
Quelles sont les propriétés du produit de plusieurs nombres rationnels ? Donner un exemple.
Quelle est la règle de calcul sans parenthèses ? Donner un exemple détaillé.
Quelle est la règle de calcul avec parenthèses ? Donner un exemple détaillé.
Expliquer comment simplifier un calcul en regroupant les termes dans une somme. Donner un exemple.
Expliquer comment simplifier un calcul en regroupant les facteurs dans un produit. Donner un exemple.
Écrire le le tableau récapitulatif des règles de calcul sur les nombres rationnels.
Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence) en appliquant la distributivité.
Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit en mettant en évidence un facteur commun.
La distributivité s’énonce ainsi :
Soient \(a\), \(b\) et \(k\) des nombres rationnels.
\(ka + kb = k(a+b)\) (Factorisation)
Exemple 2 (factorisation) : \(2 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{4}{3} = 2 \times \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{3}\right) = 2 \times \frac{23}{15} = \frac{46}{15}\)
La somme de plusieurs nombres rationnels ne change pas :
- Commutativité : On peut changer l’ordre des termes.
- Associativité : On peut remplacer des termes par leur somme.
Le produit de plusieurs nombres rationnels ne change pas :
- Commutativité : On peut changer l’ordre des facteurs.
- Associativité : On peut remplacer des facteurs par leur produit.
Dans un calcul sans parenthèses, on commence par la multiplication et la division avant l’addition et la soustraction.
\(A = \frac{7}{5} + \frac{9}{4} – \frac{6}{5} = \frac{1}{5} + \frac{9}{4} = \frac{4}{20} + \frac{45}{20} = \frac{49}{20}\)
Remarque : Pour une suite d’opérations ne contenant que des additions et des soustractions, on effectue de gauche à droite.
Dans un calcul avec parenthèses, on calcule d’abord ce qui est entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
Étape 2 : \(\frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{17}{6}\)
Étape 3 : \(\frac{2}{5} \times \frac{17}{6} = \frac{17}{15}\)
Étape 4 : \(\frac{17}{15} – 1 = \frac{2}{15}\)
Résultat : \(A = \frac{2}{15}\)
Pour simplifier une somme, on regroupe les termes qui ont le même dénominateur ou qui sont de même nature, puis on additionne leurs numérateurs.
\(B = \frac{28}{6} + \frac{3}{6} – \frac{6}{6} – \frac{7}{6}\)
\(B = \frac{28 + 3 – 6 – 7}{6} = \frac{18}{6} = 3\)
Pour simplifier un produit, on regroupe les facteurs qui se simplifient entre eux (en utilisant la commutativité et l’associativité).
\(B = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} \times 11 = \frac{44}{9}\)
🧮Exercice 1 : Sommes de fractions (Mise au même dénominateur)
Consigne : Calculer en donnant le résultat en écriture fractionnaire (fraction irréductible).
💡 Pensez à tout mettre sur le même dénominateur avant d’effectuer les opérations.
\(\mathrm{A} = \frac{19}{100} + \frac{-26}{100} + \frac{51}{100}\)
\(\mathrm{B} = \frac{5}{10} + \frac{48}{-100} – \frac{-3}{10}\)
\(\mathrm{C} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6}\)
\(\mathrm{D} = \frac{-4}{3} – \frac{1}{-6} + \frac{-7}{-12}\)
\(\mathrm{E} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\)
\(\mathrm{F} = \frac{-1}{3} – \frac{4}{5} + \frac{7}{-2}\)
\(\mathrm{G} = \frac{2}{-3} – \frac{1}{-4} – \frac{-3}{-2}\)
\(\mathrm{H} = -\frac{1}{2} – \frac{2}{-3} + \frac{-3}{-4} – \frac{-4}{5}\)
Les fractions ont le même dénominateur (100). On additionne les numérateurs :
On simplifie les signes : \(\frac{48}{-100} = -\frac{48}{100}\) et \(- \frac{-3}{10} = +\frac{3}{10}\).
On met tout sur le même dénominateur (100) :
Le PPCM des dénominateurs 2, 3 et 6 est 6. On met tout sur 6 :
On simplifie les signes : \(-\frac{1}{-6} = +\frac{1}{6}\) et \(\frac{-7}{-12} = +\frac{7}{12}\).
Le PPCM des dénominateurs 3, 6 et 12 est 12. On met tout sur 12 :
Le PPCM des dénominateurs 2, 3 et 5 est 30. On met tout sur 30 :
On simplifie le signe : \(\frac{7}{-2} = -\frac{7}{2}\).
Le PPCM des dénominateurs 3, 5 et 2 est 30. On met tout sur 30 :
On simplifie les signes : \(\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}\) ; \(-\frac{1}{-4} = +\frac{1}{4}\) ; \(-\frac{-3}{-2} = -\frac{3}{2}\).
Le PPCM des dénominateurs 3, 4 et 2 est 12. On met tout sur 12 :
On simplifie les signes : \(-\frac{2}{-3} = +\frac{2}{3}\) ; \(\frac{-3}{-4} = +\frac{3}{4}\) ; \(-\frac{-4}{5} = +\frac{4}{5}\).
Le PPCM des dénominateurs 2, 3, 4 et 5 est 60. On met tout sur 60 :
🧮Exercice 2 : Calculs avec parenthèses et priorités
Consigne : Calculer en respectant les priorités et en donnant le résultat en écriture fractionnaire irréductible.
💡 Commencez par les parenthèses les plus intérieures, puis les crochets.
\(\mathrm{A} = \frac{4}{7} – \left(\frac{6}{7} – \frac{5}{7}\right) + \frac{1}{7}\)
\(\mathrm{B} = \frac{19}{4} – \left[\frac{1}{2} – \left(\frac{3}{8} – \frac{1}{4}\right)\right]\)
\(\mathrm{C} = \left(\frac{7}{12} – \frac{1}{6}\right) – \left(\frac{3}{4} – \frac{1}{3}\right)\)
\(\mathrm{D} = \frac{3}{10} – \left(\frac{97}{100} – 0,8\right)\)
\(\mathrm{E} = -\frac{14}{30} – \left(\frac{-1}{6} – \frac{1}{-5}\right)\)
\(\mathrm{F} = \frac{24}{15} – \left[-\frac{-2}{3} – \left(\frac{11}{-5} – 2\right)\right]\)
\(\mathrm{G} = \left(-\frac{-75}{10} – 3\right) – \left(5 – \frac{43}{-10}\right)\)
\(\mathrm{H} = -\left(\frac{-25}{42} – \frac{2}{-7}\right) – \frac{5}{3}\)
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🧮Exercice 3 : Produits de fractions (Simplification avant de calculer)
Consigne : Calculer en prenant le soin de simplifier avant de calculer.
💡 Simplifiez les facteurs communs entre numérateurs et dénominateurs avant d’effectuer les multiplications.
\(\mathrm{M} = \frac{2}{-3} \times \frac{-11}{5} \times \frac{-5}{7}\)
\(\mathrm{N} = \frac{-3}{-4} \times \frac{-5}{-2} \times \frac{4}{3}\)
\(\mathrm{O} = \frac{-2}{-11} \times \frac{-5}{-6} \times \frac{-3}{35}\)
\(\mathrm{P} = \frac{-4}{15} \times \left(-\frac{-21}{-6}\right) \times \frac{-10}{14}\)
\(\mathrm{Q} = \frac{8}{25} \times \frac{77}{6} \times \left(-\frac{20}{88}\right)\)
\(\mathrm{R} = \frac{23}{51} \times \frac{-13}{-19} \times \frac{-7}{9} \times \frac{0}{34}\)
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🧮Exercice 4 : Fractions complexes (Numérateur et dénominateur composés)
Consigne : Calculer en donnant le résultat en écriture fractionnaire irréductible.
💡 Pour calculer \(\frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}\), calculez d’abord le numérateur et le dénominateur séparément, puis effectuez la division.
\(\mathrm{A} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}{\frac{5}{7} – \frac{4}{7}}\)
\(\mathrm{B} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{-3}{2}}{\frac{-3}{5} – \frac{1}{2}}\)
\(\mathrm{D} = \frac{\frac{5}{2} + \frac{-8}{3}}{\frac{3}{4} – \frac{1}{6}}\)
\(\mathrm{E} = \frac{2 + \frac{4}{-3}}{\frac{-6}{5} – 7}\)
\(\mathrm{F} = \frac{5 \times \frac{6}{7} – 4}{\frac{-7}{3} – \left(\frac{-1}{2} – \frac{5}{-3}\right)}\)
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🧮Exercice 5 : Calculs combinés avec fractions
Consigne : Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
💡 Respectez les priorités opératoires : parenthèses, multiplications/divisions, puis additions/soustractions.
\(\mathrm{A} = \frac{5}{4} \times \left(\frac{7}{13} + \frac{-11}{6}\right)\)
\(\mathrm{B} = \frac{\frac{-7}{5} – 2}{\frac{-8}{3} + 1}\)
\(\mathrm{C} = \frac{3}{8} \div \left(\frac{1}{13} + \frac{3}{10}\right)\)
\(\mathrm{D} = \frac{7}{5} + \frac{6}{8} \times \frac{12}{4} – \frac{9}{15} \div \frac{2}{4}\)
\(\mathrm{E} = \frac{2}{5} \times \left[\frac{1}{2} + \left(3 – \frac{2}{3}\right)\right] – 1\)
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🧮Exercice 6 : Expression littérale et équation
On donne l’expression littérale :
Pour \(x = \frac{1}{3}\) :
Pour \(x = -\frac{2}{3}\) :
Pour \(x = -\frac{1}{6}\) :
Pour \(x = \frac{2}{3}\) :
En déduire une solution de l’équation \(\frac{1}{2} – \frac{3}{4} x = 0\).
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🧮Exercice 7 : Trouver la solution d’une équation
Consigne : Parmi les quatre valeurs proposées, retrouver la solution de l’équation.
\(\frac{5}{3} ; \frac{4}{2} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\)
Tester \(x = \frac{5}{3}\)
Tester \(x = \frac{4}{2}\) (c’est-à-dire \(x = 2\))
Tester \(x = \frac{2}{3}\)
Tester \(x = \frac{1}{3}\)
Conclusion : La solution de l’équation est …
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🧮Exercice 8 : Calcul d’une expression littérale
On considère le nombre \(W\) tel que :
Consigne : Calculer \(W\) dans chacun des cas suivants.
\(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = \frac{1}{2}\)
\(x = -\frac{10}{7}\) et \(y = -0,7\)
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🍫Exercice 9 : Problème de partage d’une tablette de chocolat
Une tablette de chocolat contient 35 carrés.
- Karim en a pris \(\frac{6}{15}\).
- Puis Souad a pris \(\frac{3}{7}\) du reste.
Question : Combien de carrés chacun a-t-il pris ?
Calculer le nombre de carrés pris par Karim.
Calculer le nombre de carrés restants après le passage de Karim.
Calculer le nombre de carrés pris par Souad.
Conclure : combien de carrés chacun a-t-il pris ?
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🏊Exercice 10 : Problème de piscine
Une piscine municipale propose trois types d’abonnements pour la saison estivale :
- Abonnement A : \(\frac{2}{5}\) du prix d’un abonnement annuel.
- Abonnement B : \(\frac{3}{4}\) du prix de l’abonnement A.
- Abonnement C : \(\frac{5}{6}\) du prix de l’abonnement B.
L’abonnement annuel coûte 1200 DH.
Calculer le prix de l’abonnement A.
Calculer le prix de l’abonnement B.
Calculer le prix de l’abonnement C.
Quel est le prix le plus avantageux ?
Quelle est la différence entre l’abonnement le plus cher et le moins cher ?
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🏠Exercice 11 : Problème de terrain
Un terrain rectangulaire a une longueur de 120 m et une largeur de 80 m.
Sur ce terrain, on veut construire :
- Une maison qui occupe \(\frac{1}{4}\) du terrain.
- Un jardin qui occupe \(\frac{2}{5}\) du terrain.
- Une piscine qui occupe \(\frac{1}{8}\) du terrain.
- Le reste du terrain est réservé pour une allée et un garage.
Calculer l’aire totale du terrain.
Calculer l’aire occupée par la maison.
Calculer l’aire occupée par le jardin.
Calculer l’aire occupée par la piscine.
Quelle fraction du terrain est occupée par la maison, le jardin et la piscine réunis ?
Quelle fraction du terrain est réservée pour l’allée et le garage ?
Calculer l’aire réservée pour l’allée et le garage.
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