Développement et factorisation

Définition :
• Le développement consiste à écrire un produit sous forme d’une somme.
• La factorisation consiste à écrire une somme sous forme d’un produit.

Règle (Distributivité) : Soient \(a\), \(b\) et \(k\) des nombres rationnels.

📌 Exemple de développement 1 : \(A = 2,5 \times (-3 + 11)\)

Étape 1 : On applique la distributivité.
\(A = 2,5 \times (-3) + 2,5 \times 11\)
Étape 2 : On calcule chaque produit.
\(A = -7,5 + 27,5\)
Étape 3 : On additionne.
\(A = 20\)
Résultat : \(A = 20\)

📌 Exemple de développement 2 : \(B = \frac{-2}{3} \times \left(\frac{-3}{4} – \frac{1}{2}\right)\)

Étape 1 : On applique la distributivité.
\(B = \frac{-2}{3} \times \frac{-3}{4} – \frac{-2}{3} \times \frac{1}{2}\)
Étape 2 : On calcule les produits.
\(B = \frac{(-2) \times (-3)}{3 \times 4} – \frac{(-2) \times 1}{3 \times 2}\)
Étape 3 : On simplifie.
\(B = \frac{6}{12} – \frac{-2}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)
Étape 4 : On réduit au même dénominateur (6).
\(B = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)
Résultat : \(B = \frac{5}{6}\)

📌 Exemple de factorisation 1 : \(C = 2 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{4}{3}\)

Étape 1 : On repère le facteur commun (2).
\(C = 2 \times \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{3}\right)\)
Étape 2 : On réduit au même dénominateur (15).
\(C = 2 \times \left(\frac{3}{15} + \frac{20}{15}\right)\)
Étape 3 : On additionne les numérateurs.
\(C = 2 \times \frac{23}{15}\)
Étape 4 : On multiplie.
\(C = \frac{46}{15}\)
Résultat : \(C = \frac{46}{15}\)

📌 Exemple de factorisation 2 : \(D = \frac{3}{5} \times \left(-\frac{1}{7}\right) – \frac{3}{5}\)

Étape 1 : On repère le facteur commun \(\frac{3}{5}\).
\(D = \frac{3}{5} \times \left(\frac{-1}{7} – 1\right)\)
Étape 2 : On écrit 1 comme \(\frac{7}{7}\).
\(D = \frac{3}{5} \times \left(\frac{-1}{7} – \frac{7}{7}\right)\)
Étape 3 : On soustrait les numérateurs.
\(D = \frac{3}{5} \times \frac{-8}{7}\)
Étape 4 : On multiplie les fractions.
\(D = \frac{3 \times (-8)}{5 \times 7} = \frac{-24}{35}\)
Résultat : \(D = \frac{-24}{35}\)

Somme et produit de plusieurs nombres rationnels

Règle : La somme de plusieurs nombres rationnels ne change pas :
• Si on change l’ordre des termes (commutativité)
• Si on remplace des termes par leur somme (associativité)

📌 Exemple 1 : \(A = \frac{3}{7} + \frac{5}{2} – \frac{11}{7} + \frac{7}{2}\)

Étape 1 : On regroupe les termes de même dénominateur.
\(A = \frac{3}{7} – \frac{11}{7} + \frac{5}{2} + \frac{7}{2}\)
Étape 2 : On additionne les numérateurs de chaque groupe.
\(A = \frac{3-11}{7} + \frac{5+7}{2}\)
\(A = \frac{-8}{7} + \frac{12}{2}\)
Étape 3 : On simplifie \(\frac{12}{2} = 6\).
\(A = \frac{-8}{7} + 6\)
Étape 4 : On réduit au même dénominateur (7).
\(A = \frac{-8}{7} + \frac{42}{7} = \frac{-8+42}{7} = \frac{34}{7}\)
Résultat : \(A = \frac{34}{7}\)

📌 Exemple 2 : \(B = \frac{14}{3} + \frac{1}{2} – 1 – \frac{7}{6}\)

Étape 1 : On regroupe les termes de même dénominateur.
\(B = \frac{14}{3} – \frac{7}{6} + \frac{1}{2} – 1\)
Étape 2 : On réduit au même dénominateur (6).
\(\frac{14}{3} = \frac{28}{6}\) ; \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) ; \(1 = \frac{6}{6}\)
\(B = \frac{28}{6} – \frac{7}{6} + \frac{3}{6} – \frac{6}{6}\)
Étape 3 : On additionne les numérateurs.
\(B = \frac{28 – 7 + 3 – 6}{6} = \frac{18}{6} = 3\)
Résultat : \(B = 3\)

Règle : Le produit de plusieurs nombres rationnels ne change pas :
• Si on change l’ordre des facteurs (commutativité)
• Si on remplace des facteurs par leur produit (associativité)

📌 Exemple 1 : \(A = \frac{7}{6} \times \frac{-4}{9} \times \frac{6}{2}\)

Étape 1 : On regroupe les facteurs qui se simplifient.
\(A = \left(\frac{7}{6} \times \frac{6}{2}\right) \times \frac{-4}{9}\)
Étape 2 : On simplifie \(\frac{7}{6} \times \frac{6}{2} = \frac{7}{2}\).
\(A = \frac{7}{2} \times \frac{-4}{9}\)
Étape 3 : On simplifie 2 et 4.
\(A = \frac{7 \times (-2)}{9} = \frac{-14}{9}\)
Résultat : \(A = \frac{-14}{9}\)

📌 Exemple 2 : \(B = \frac{-4}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{-5}{3} \times 11\)

Étape 1 : On regroupe les facteurs.
\(B = \frac{-4}{5} \times \frac{-5}{3} \times \frac{1}{3} \times 11\)
Étape 2 : On simplifie \(\frac{-4}{5} \times \frac{-5}{3} = \frac{4}{3}\).
\(B = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} \times 11\)
Étape 3 : On multiplie les fractions.
\(B = \frac{4 \times 1 \times 11}{3 \times 3} = \frac{44}{9}\)
Résultat : \(B = \frac{44}{9}\)

Les règles d’organisation de calcul

Règle : Dans un calcul sans parenthèses, on commence par la multiplication et la division avant l’addition et la soustraction.

📌 Exemple : \(A = \frac{7}{5} + \frac{6}{8} \times \frac{12}{4} – \frac{9}{15} \div \frac{2}{4}\)

Étape 1 : On effectue d’abord les multiplications et divisions.
\(\frac{6}{8} \times \frac{12}{4} = \frac{6 \times 12}{8 \times 4} = \frac{72}{32} = \frac{9}{4}\)
\(\frac{9}{15} \div \frac{2}{4} = \frac{9}{15} \times \frac{4}{2} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5}\)
Étape 2 : On remplace dans l’expression.
\(A = \frac{7}{5} + \frac{9}{4} – \frac{6}{5}\)
Étape 3 : On regroupe \(\frac{7}{5} – \frac{6}{5} = \frac{1}{5}\).
\(A = \frac{1}{5} + \frac{9}{4}\)
Étape 4 : On réduit au même dénominateur (20).
\(A = \frac{4}{20} + \frac{45}{20} = \frac{49}{20}\)
Résultat : \(A = \frac{49}{20}\)

Règle : Dans un calcul avec parenthèses, on calcule d’abord ce qui est entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

📌 Exemple : \(A = \frac{2}{5} \times \left[\frac{1}{2} + \left(3 – \frac{2}{3}\right)\right] – 1\)

Étape 1 : On calcule la parenthèse intérieure : \(3 – \frac{2}{3} = \frac{9}{3} – \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\).
\(A = \frac{2}{5} \times \left[\frac{1}{2} + \frac{7}{3}\right] – 1\)
Étape 2 : On calcule le crochet : \(\frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{3}{6} + \frac{14}{6} = \frac{17}{6}\).
\(A = \frac{2}{5} \times \frac{17}{6} – 1\)
Étape 3 : On effectue la multiplication.
\(\frac{2}{5} \times \frac{17}{6} = \frac{2 \times 17}{5 \times 6} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}\)
Étape 4 : On soustrait 1.
\(A = \frac{17}{15} – 1 = \frac{17}{15} – \frac{15}{15} = \frac{2}{15}\)
Résultat : \(A = \frac{2}{15}\)

📌 Remarques :
• Pour une suite d’opérations ne contenant que des additions et des soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.
• Pour une suite d’opérations ne contenant que des multiplications et des divisions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Tableau récapitulatif