Les suites numériques exercices corrigés – 1Bac

Résumé de cours
Évaluation

📋Exercice : Questions de cours (Suites numériques)

1

Donner la définition d’une suite numérique. Qu’appelle-t-on terme général d’une suite ?

 

2

Quelle est la différence entre une suite définie explicitement et une suite définie par récurrence ? Donner un exemple pour chaque type.

 

3

Définir une suite majorée, une suite minorée et une suite bornée. Donner un exemple pour chaque cas.

 

4

Définir une suite croissante, une suite décroissante et une suite constante. Comment étudie-t-on la monotonie d’une suite ?

 

5

Donner la définition d’une suite arithmétique. Quelle est la formule de son terme général ?

 

6

Donner la formule de la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique. Définir chaque élément de la formule.

 

7

Donner la définition d’une suite géométrique. Quelle est la formule de son terme général ?

 
8

Donner la formule de la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique. Que devient cette formule lorsque \( q = 1 \) ?

 

9

Comment démontrer par récurrence qu’une suite est minorée ou majorée ? Donner un exemple tiré du cours.

 

10

Énoncer la propriété fondamentale de la monotonie d’une suite. Que peut-on en déduire pour une suite croissante et pour une suite décroissante ?

 

1) Définition d’une suite numérique et terme général

Suite numérique : Soit \( p \) un entier naturel. On pose \( I = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \geq p \} \). Toute fonction numérique \( u \) définie sur \( I \) est appelée une suite numérique.

Terme général : L’image par \( u \) d’un entier \( n \) de \( I \) est notée \( u_n \). \( u_n \) est appelé le terme général de la suite \( u \).

Une suite se note \( (u_n)_{n \in I} \) ou \( (u_n)_{n \geq p} \).

2) Suite explicite et suite récurrente

Suite explicite : C’est une suite où le terme général est une fonction connue de l’entier \( n \).

Exemple : \( w_n = 2n – \frac{4}{n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).

Suite récurrente : C’est une suite définie par son premier terme et par une relation qui permet de calculer un terme à partir d’un ou de plusieurs termes précédents.

Exemple : \( \begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 3u_n – 1 \end{cases} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

3) Suite majorée, minorée, bornée

Suite majorée : Il existe un réel \( M \) tel que \( (\forall n \in I) : u_n \leq M \).

Suite minorée : Il existe un réel \( m \) tel que \( (\forall n \in I) : u_n \geq m \).

Suite bornée : Elle est à la fois majorée et minorée. Équivalent : \( (\exists M \in \mathbb{R}^+) (\forall n \in I) : |u_n| \leq M \).

Exemple : \( u_n = \frac{n+4}{n+1} \) est bornée car \( 1 \leq u_n \leq 4 \).

4) Monotonie d’une suite

Suite croissante : \( (\forall n \in I) : u_{n+1} \geq u_n \).

Suite décroissante : \( (\forall n \in I) : u_{n+1} \leq u_n \).

Suite constante : \( (\forall n \in I) : u_{n+1} = u_n \).

Méthode : Pour étudier la monotonie, on calcule \( u_{n+1} – u_n \) et on étudie son signe.

Exemple : \( x_n = 2n – 3 \Rightarrow x_{n+1} – x_n = 2 > 0 \) (croissante).

5) Suite arithmétique

Définition : Une suite \( (u_n) \) est arithmétique s’il existe un réel \( r \) tel que \( (\forall n \in I) : u_{n+1} = u_n + r \). \( r \) est appelé la raison.

Terme général : \( u_n = u_p + (n-p) \times r \) pour tout \( n \geq p \).

Cas particuliers : \( u_n = u_0 + n \times r \) ou \( u_n = u_1 + (n-1) \times r \).

6) Somme des termes d’une suite arithmétique
\( S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = (n – p + 1) \times \frac{u_n + u_p}{2} \)
  • \( u_p \) : premier terme de la somme
  • \( (n – p + 1) \) : nombre de termes
  • \( \frac{u_n + u_p}{2} \) : moyenne des termes extrêmes

7) Suite géométrique

Définition : Une suite \( (u_n) \) est géométrique s’il existe un réel \( q \) tel que \( (\forall n \in I) : u_{n+1} = q \times u_n \). \( q \) est appelé la raison.

Terme général : \( u_n = u_p \times q^{n-p} \) pour tout \( n \geq p \).

Cas particuliers : \( u_n = u_0 \times q^n \) ou \( u_n = u_1 \times q^{n-1} \).

8) Somme des termes d’une suite géométrique

Soit \( S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n \).

Si \( q \neq 1 \) : \( S_n = u_p \times \frac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q} \)
Si \( q = 1 \) : \( S_n = (n – p + 1) \times u_p \)
Formule usuelle : \( 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} \)

9) Démonstration par récurrence d’une minorant/majorant

Pour montrer qu’une suite est minorée ou majorée par un réel \( m \) ou \( M \), on utilise le raisonnement par récurrence :

  • Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme.
  • Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un rang \( n \) et montrer qu’elle l’est aussi pour \( n+1 \).
Exemple : \( u_0 = 2 \), \( u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + \frac{4}{5} \). On montre par récurrence que \( u_n \geq 1 \).

10) Propriété fondamentale de la monotonie

Propriété : Soit \( (u_n)_{n \geq p} \) une suite numérique.

  • Si \( (u_n) \) est croissante, alors \( (\forall n \geq p) : u_n \geq u_p \).
  • Si \( (u_n) \) est décroissante, alors \( (\forall n \geq p) : u_n \leq u_p \).
Conséquence : Une suite croissante est minorée par son premier terme, et une suite décroissante est majorée par son premier terme.

📝Exercice 1 : 

Soit \((u_n)_n\) la suite définie par :

\[ u_n = 2n + 3 \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Questions

1

Calculer les quatre premiers termes de la suite \((u_n)_n\).

 

2

Calculer \( u_{n+1} – u_n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

 

1) Quatre premiers termes

Pour \( n = 0 \) :

\( u_0 = 2 \times 0 + 3 = 3 \)

Pour \( n = 1 \) :

\( u_1 = 2 \times 1 + 3 = 5 \)

Pour \( n = 2 \) :

\( u_2 = 2 \times 2 + 3 = 7 \)

Pour \( n = 3 \) :

\( u_3 = 2 \times 3 + 3 = 9 \)
Les quatre premiers termes sont : \( u_0 = 3 \), \( u_1 = 5 \), \( u_2 = 7 \), \( u_3 = 9 \).

2) Calcul de \( u_{n+1} – u_n \)

Calculons \( u_{n+1} \) :

\( u_{n+1} = 2(n+1) + 3 = 2n + 2 + 3 = 2n + 5 \)

Calculons la différence :

\( u_{n+1} – u_n = (2n + 5) – (2n + 3) = 2n + 5 – 2n – 3 = 2 \)
\( u_{n+1} – u_n = 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

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📝Exercice 2 : Suite explicite – Calculs de termes et recherche d’indice

On considère la suite \( (u_n) \) définie par :

\[ (\forall n \in \mathbb{N}^*) : u_n = 2 + \frac{3}{n} \]

Questions

1

Calculer les trois premiers termes de \( (u_n) \).

 

2

Calculer \( u_n + 1 \), \( u_{n+1} \), \( u_{2n} \) et \( u_{2n+1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).

 

3

Trouver l’indice \( n \) tel que \( u_n = \dfrac{43}{21} \).

 

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📝Exercice 3 : Suites récurrentes et récurrence

On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) définies respectivement par :

\[ \begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}, \quad n \in \mathbb{N} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} v_0 = 2, \; v_1 = -1 \\ v_{n+2} = 2v_{n+1} + v_n, \quad n \in \mathbb{N} \end{cases} \]

Questions

1

Calculer \( u_1 \), \( u_2 \), \( v_3 \) et \( v_4 \).

 

2

Montrer par récurrence que : \( \forall n \in \mathbb{N} \;,\; u_n = \dfrac{2}{2n+1} \).

 

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📝Exercice 4 : Suite majorée, minorée, bornée

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite définie par :

\[ u_n = \frac{n+1}{2n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N} : \dfrac{1}{2} < u_n \leq 1 \).

Question

1

Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N} : \dfrac{1}{2} < u_n \leq 1 \).

En déduire que la suite est majorée, minorée et bornée.

 

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📝Exercice 5 : Suite récurrente avec racine carrée

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite récurrente définie par :

\[ \begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \]

Questions

1

Calculer les trois premiers termes de la suite.

 

2

Montrer par récurrence que : \( \forall n \in \mathbb{N} : 0 \leq u_n \).

 

3

Montrer par récurrence que : \( \forall n \in \mathbb{N} : u_n \leq 2 \).

 

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📝Exercice 6 : Suites récurrentes – Minoration et majoration par récurrence

1) On considère la suite \( (u_n) \) définie par :

\[ \begin{cases} u_0 = 4 \\ u_{n+1} = \dfrac{4u_n – 3}{u_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \]

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n \geq 3 \).

2) On considère la suite \( (u_n) \) définie par :

\[ \begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \]

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 0 \leq u_n \leq 1 \).

Question

1

Démontrer les propriétés par récurrence pour les deux suites.

 

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📝Exercice 7 : 

Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par :

\[ u_{n+1} = 2u_n + 3 \quad \text{et} \quad u_0 = 0 \]

Questions

1

Calculer les trois premiers termes de la suite \( (u_n) \).

 

2

Montrer par récurrence que : \( \forall n \in \mathbb{N} \;,\; u_n \geq n \).

 

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📝Exercice 8 : Étude de la monotonie d’une suite

Étudier la monotonie de la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) dans les cas suivants :

Questions

1

\( u_n = \dfrac{3}{n+1} \)

 

2

\( u_n = n^2 + 2n \)

 

3

\( u_n = \sqrt{n+1} \)

 

4

\( u_n = (-1)^n \)

 

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📝Exercice 9 : Suite explicite – Étude complète

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on donne :

\[ v_n = \frac{3n + 14}{n + 5} \]

Questions

1

Calculer les trois premiers termes de \( (v_n) \).

 

2

Est-ce que \( \dfrac{3}{2} \) est un terme de la suite \( (v_n) \) ?

 

3

Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N} : \dfrac{14}{5} < v_n < 3 \).

 

4

Étudier la monotonie de \( (v_n) \).

 

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📝Exercice 10 : Suite récurrente – Minoration, monotonie et majoration

Soit \( (u_n) \) la suite définie par :

\[ \begin{cases} u_0 = 6 \\ u_{n+1} = 4 – \dfrac{3}{u_n} \quad ; \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \]

Questions

1

Calculer \( u_1 \) et \( u_2 \).

 

2

Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n > 3 \).

 

3a

Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} – u_n = \dfrac{(1 – u_n)(u_n – 3)}{u_n} \).

 

3b

Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).

 

3c

En déduire que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n \leq 6 \).

 

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📝Exercice 11 : Suite définie par une somme – Monotonie

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) la suite définie par :

\[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{k} \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \]

Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).

Question

1

Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).

 

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📝Exercice 12 : Suite récurrente – Minoration, majoration et monotonie

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite récurrente définie par :

\[ \begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{8(u_n – 1)}{u_n + 2} \quad \forall n \in \mathbb{N} \\ u_0 = 3 \end{cases} \]

Questions

1

Montrer que \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est minorée par \( 2 \).

 

2

Montrer que \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est majorée par \( 4 \).

 

3

Étudier la monotonie de la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

 

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📝Exercice 13 : Suite arithmétique – Raison, terme général et somme

Soit \( (U_n) \) une suite arithmétique telle que :

\[ U_5 = -2 \quad \text{et} \quad U_9 = -14 \]

Questions

1

Déterminer la raison \( r \) de la suite \( (U_n) \).

 

2

Déterminer \( U_n \) en fonction de \( n \) et calculer \( U_0 \).

 

3

Calculer \( S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_n \) en fonction de \( n \), puis calculer \( S_9 \).

 

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📝Exercice 14 : Suite récurrente – Transformation en suite arithmétique

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite récurrente définie par :

\[ \begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{2u_n – 1}{u_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \\ u_0 = 2 \end{cases} \]

On considère la suite \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par :

\[ v_n = \frac{1}{u_n – 1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Questions

1

Montrer que \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est une suite arithmétique.

 

2

Écrire \( u_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 15 : Suite récurrente et transformation en suite arithmétique

Soit \( (u_n) \) une suite telle que :

\[ u_{n+1} = 1 – \frac{9}{u_n + 5} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \text{et} \quad u_0 = 1 \]

Questions

1

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n > -2 \).

 

2

Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).

 

3a

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( v_n = \dfrac{1}{u_n + 2} \).

Montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique.

 

3b

Calculer \( u_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 16 : Suite géométrique – Raison et terme général

Soit \( (u_n)_n \) une suite géométrique telle que :

\[ u_1 = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad u_4 = \frac{3}{16} \]

Questions

1

Déterminer la raison \( q \) de la suite \( (u_n) \).

 

2

Écrire \( u_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 17 : Suite récurrente – Transformation en suite géométrique

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite définie par :

\[ \begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{u_n}{3 – u_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \\ u_0 = \dfrac{1}{2} \end{cases} \]

On considère la suite \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par :

\[ v_n = 1 – \frac{2}{u_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Questions

1

Montrer que \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est une suite géométrique.

 

2

Écrire \( u_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 18 :

Soit la suite \( (u_n) \) définie par :

\[ u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \quad \text{et} \quad u_0 = 2 \]

Questions

1

Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n \leq 3 \).

 

2

Étudier la monotonie de \( (u_n) \) et déduire que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n \geq 2 \).

 

3a

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( v_n = u_n – 3 \). Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique.

 

3b

Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).

 

3c

Calculer \( u_n \) en fonction de \( n \).

 

4

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n \).

Calculer \( S_n \) en fonction de \( n \).

 

5

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( T_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n \).

Calculer \( T_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 19 : 

Soit \( (u_n) \) une suite telle que :

\[ u_{n+1} = \frac{3u_n}{21 + u_n} \quad \text{et} \quad u_0 = 1 \]

Questions

1

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n > 0 \).

 

2

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} \leq \dfrac{1}{7} u_n \).

 

3

En déduire la monotonie de la suite \( (u_n) \).

 

4

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 0 < u_n \leq \left( \dfrac{1}{7} \right)^n \).

 

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📝Exercice 20 : Suite récurrente – Encadrement, monotonie et transformation

Soit \( (u_n) \) la suite définie par :

\[ u_0 = 3 \quad \text{et} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} = \frac{8(u_n – 1)}{u_n + 2} \]

Questions

1

Montrer par récurrence que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 2 < u_n < 4 \).

 

2

Étudier la monotonie de \( (u_n) \).

 

3

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose :

\( v_n = \dfrac{u_n – 4}{u_n – 2} \).

a) Montrer que la suite \( (v_n) \) est géométrique.

b) Exprimer \( v_n \) et \( u_n \) en fonction de \( n \).

 

4

a) Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 4 – u_{n+1} \leq \dfrac{4}{5}(4 – u_n) \).

b) En déduire que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 4 – u_n \leq \left( \dfrac{4}{5} \right)^n \).

 

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📝Exercice 21 : Suite récurrente d’ordre 2 – Transformation en suite géométrique

Soit \( (U_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite telle que :

\[ U_0 = 1 \quad ; \quad U_1 = 2 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N} : U_{n+2} = \frac{5}{3} U_{n+1} – \frac{2}{3} U_n \]

On pose : \( V_n = U_{n+1} – U_n \).

Questions

1

Montrer que \( (V_n) \) est une suite géométrique.

 

2

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1} \).

Calculer \( S_n \) en fonction de \( n \).

 

3

Calculer \( U_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 22 : Suite récurrente – Étude complète

Soit \( (u_n) \) une suite telle que :

\[ u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} = \frac{u_n}{2 – u_n} \]

Questions

1

Montrer par récurrence que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 0 < u_n \leq 1 \).

 

2

Montrer que la suite \( (u_n) \) est décroissante.

 

3

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : \dfrac{1}{u_{n+1}} – 1 = 2\left( \dfrac{1}{u_n} – 1 \right) \).

 

4

En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} : u_n = \frac{1}{2^n + 1} \).

 

5

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{u_k} \).

Calculer \( S_n \) en fonction de \( n \).

 

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📝Exercice 23 : Suite récurrente – Positivité, majoration et somme

Soit \( (u_n) \) une suite telle que :

\[ u_{n+1} = \frac{3u_n}{u_n + 4} \quad \text{et} \quad u_0 = 1 \]

Questions

1

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n > 0 \).

 

2

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} \leq \dfrac{3}{4} u_n \).

 

3

Montrer que \( (u_n) \) est décroissante.

 

4

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_n \leq \left( \dfrac{3}{4} \right)^n \).

 

5

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k \).

Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) : S_n \leq 4\left( 1 – \left( \dfrac{3}{4} \right)^n \right) \).

 

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