Définition et représentation d’une suite

📌 Exemple  : \(u_n = 3n^2 + 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Calcul des premiers termes :
\(u_0 = 3 \times 0^2 + 2 = 0 + 2 = 2\)
\(u_1 = 3 \times 1^2 + 2 = 3 + 2 = 5\)
\(u_2 = 3 \times 2^2 + 2 = 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14\)
\(u_3 = 3 \times 3^2 + 2 = 3 \times 9 + 2 = 27 + 2 = 29\)
\(u_4 = 3 \times 4^2 + 2 = 3 \times 16 + 2 = 48 + 2 = 50\)

Calcul de \(u_{n+1}\) :
\(u_{n+1} = 3(n+1)^2 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3n^2 + 6n + 5\)

Calcul de \(u_{2n}\) :
\(u_{2n} = 3(2n)^2 + 2 = 3 \times 4n^2 + 2 = 12n^2 + 2\)

📌 Exemple  : \(\begin{cases} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = 4u_n – 6 \end{cases}\)

Calcul des premiers termes :
\(u_0 = 3\) (donné)
\(u_1 = 4 \times u_0 – 6 = 4 \times 3 – 6 = 12 – 6 = 6\)
\(u_2 = 4 \times u_1 – 6 = 4 \times 6 – 6 = 24 – 6 = 18\)
\(u_3 = 4 \times u_2 – 6 = 4 \times 18 – 6 = 72 – 6 = 66\)
\(u_4 = 4 \times u_3 – 6 = 4 \times 66 – 6 = 264 – 6 = 258\)

Remarque : On ne peut pas calculer directement \(u_{10}\) sans connaître \(u_9\). Il faut calculer tous les termes précédents.

📌 Exemple  : \(u_n = \dfrac{n^2}{2} – 3\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Tableau de valeurs :
\(n = 0\) : \(u_0 = \dfrac{0^2}{2} – 3 = 0 – 3 = -3\)
\(n = 1\) : \(u_1 = \dfrac{1^2}{2} – 3 = \dfrac{1}{2} – 3 = 0,5 – 3 = -2,5\)
\(n = 2\) : \(u_2 = \dfrac{2^2}{2} – 3 = \dfrac{4}{2} – 3 = 2 – 3 = -1\)
\(n = 3\) : \(u_3 = \dfrac{3^2}{2} – 3 = \dfrac{9}{2} – 3 = 4,5 – 3 = 1,5\)
\(n = 4\) : \(u_4 = \dfrac{4^2}{2} – 3 = \dfrac{16}{2} – 3 = 8 – 3 = 5\)
\(n = 5\) : \(u_5 = \dfrac{5^2}{2} – 3 = \dfrac{25}{2} – 3 = 12,5 – 3 = 9,5\)

Points à placer : \((0;-3), (1;-2,5), (2;-1), (3;1,5), (4;5), (5;9,5), …\)

Suites majorées, minorées, bornées

📌 Exemple : \(u_n = \dfrac{5n+2}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

1) Montrons que \((u_n)\) est majorée par 5 :
\(u_n – 5 = \dfrac{5n+2}{n+1} – 5 = \dfrac{5n+2}{n+1} – \dfrac{5(n+1)}{n+1} = \dfrac{5n+2 – (5n+5)}{n+1} = \dfrac{5n+2 – 5n – 5}{n+1} = \dfrac{-3}{n+1}\)
Comme \(n \ge 0\), on a \(n+1 > 0\), donc \(\dfrac{-3}{n+1} < 0\).
Donc \(u_n – 5 < 0\) ⇒ \(u_n < 5\). La suite est majorée par 5.

2) Montrons que \((u_n)\) est minorée par 2 :
\(u_n – 2 = \dfrac{5n+2}{n+1} – 2 = \dfrac{5n+2}{n+1} – \dfrac{2(n+1)}{n+1} = \dfrac{5n+2 – (2n+2)}{n+1} = \dfrac{5n+2 – 2n – 2}{n+1} = \dfrac{3n}{n+1}\)
Comme \(n \ge 0\), on a \(n \ge 0\) et \(n+1 > 0\), donc \(\dfrac{3n}{n+1} \ge 0\).
Donc \(u_n – 2 \ge 0\) ⇒ \(u_n \ge 2\). La suite est minorée par 2.

3) Conclusion : \(2 \le u_n < 5\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donc \((u_n)\) est bornée.

Sens de variation d’une suite

📌 Exemple 1  : \(u_n = 2n – 3\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Calcul de la différence :
\(u_{n+1} – u_n = [2(n+1) – 3] – (2n – 3)\)
\(= (2n + 2 – 3) – (2n – 3)\)
\(= (2n – 1) – (2n – 3)\)
\(= 2n – 1 – 2n + 3 = 2\)

Comme \(2 > 0\), on a \(u_{n+1} – u_n > 0\) ⇒ \(u_{n+1} > u_n\) pour tout \(n\).
Donc \((u_n)\) est strictement croissante.

📌 Exemple 2 : \(u_n = 5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Calcul de la différence :
\(u_{n+1} – u_n = 5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} – 5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)
\(= 5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \left(\dfrac{2}{3} – 1\right)\)
\(= 5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)\)
\(= -5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \dfrac{1}{3}\)

Comme \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n > 0\), on a \(u_{n+1} – u_n < 0\) ⇒ \(u_{n+1} < u_n\) pour tout \(n\).
Donc \((u_n)\) est strictement décroissante.

📌 Exemple 3  (suite récurrente) : \(\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{2}{3} \end{cases}\)

1) Montrons par récurrence que \(u_n < 1\) :
• Initialisation : \(n=0\) : \(u_0 = 0 < 1\) ⇒ vraie.
• Hérédité : Supposons que \(u_n < 1\) pour un certain \(n\).
Alors \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{2}{3} < \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1\).
Donc \(u_{n+1} < 1\). La propriété est héréditaire.
• Conclusion : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n < 1\).

2) Étudions la monotonie :
\(u_{n+1} – u_n = \left(\dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{2}{3}\right) – u_n = \dfrac{1}{3}u_n – u_n + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{2}{3}(u_n – 1)\)
Comme \(u_n < 1\), on a \(u_n – 1 < 0\), donc \(-\dfrac{2}{3}(u_n – 1) > 0\).
Donc \(u_{n+1} – u_n > 0\) ⇒ \(u_{n+1} > u_n\). La suite est croissante.

3) Déduction : Comme \((u_n)\) est croissante et \(u_0 = 0\), on a \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \ge u_0 = 0\).
Donc \(0 \le u_n < 1\) pour tout \(n\).

Suites arithmétiques

📌 Exemple 1  : Soit \((u_n)\) arithmétique de raison \(r = \dfrac{1}{2}\) et \(u_6 = 3\).

Calcul de \(u_{30}\) :
\(u_{30} = u_6 + (30 – 6) \times r = 3 + 24 \times \dfrac{1}{2} = 3 + 12 = 15\)

📌 Exemple 2 détaillé : Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_1 = 5\) et \(r = 2\).

Terme général :
\(u_n = u_1 + (n-1)r = 5 + (n-1) \times 2 = 5 + 2n – 2 = 2n + 3\)

Calcul de \(u_5\) : \(u_5 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13\)

Vérifions si 203 est un terme :
On résout \(u_n = 203\) ⇒ \(2n + 3 = 203\) ⇒ \(2n = 200\) ⇒ \(n = 100\)
Donc \(203 = u_{100}\). 203 est bien un terme de la suite.

3) Somme de termes consécutifs

📌 Exemple 3  : Soit \((v_n)\) arithmétique avec \(v_3 = 2\) et \(v_7 = 14\).

1) Détermination de la raison \(r\) :
\(v_7 = v_3 + (7-3)r\) ⇒ \(14 = 2 + 4r\) ⇒ \(4r = 14 – 2 = 12\) ⇒ \(r = 3\)

2) Détermination du premier terme \(v_0\) :
\(v_3 = v_0 + 3r\) ⇒ \(2 = v_0 + 3 \times 3 = v_0 + 9\) ⇒ \(v_0 = 2 – 9 = -7\)

3) Terme général : \(v_n = v_0 + nr = -7 + 3n\)

4) Calcul de la somme \(S = v_4 + v_5 + … + v_{25}\) :
• Nombre de termes : \(25 – 4 + 1 = 22\)
• Premier terme : \(v_4 = -7 + 3 \times 4 = -7 + 12 = 5\)
• Dernier terme : \(v_{25} = -7 + 3 \times 25 = -7 + 75 = 68\)
• Somme : \(S = 22 \times \dfrac{v_4 + v_{25}}{2} = 22 \times \dfrac{5 + 68}{2} = 22 \times \dfrac{73}{2} = 22 \times 36,5 = 803\)

Suites géométriques

📌 Exemple 1  : Soit \((u_n)\) géométrique de raison \(q = 2\) et \(u_1 = 5\).

Terme général : \(u_n = u_1 \times q^{n-1} = 5 \times 2^{n-1}\)
Calcul de \(u_4\) : \(u_4 = 5 \times 2^{4-1} = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40\)

📌 Exemple 2  : Soit \((u_n)\) géométrique avec \(u_2 = \dfrac{3}{16}\) et \(u_5 = \dfrac{3}{1024}\).

1) Détermination de la raison \(q\) :
\(u_5 = u_2 \times q^{5-2} = u_2 \times q^3\)
\(\dfrac{3}{1024} = \dfrac{3}{16} \times q^3\)
\(q^3 = \dfrac{3/1024}{3/16} = \dfrac{3}{1024} \times \dfrac{16}{3} = \dfrac{16}{1024} = \dfrac{1}{64}\)
\(q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}} = \dfrac{1}{4}\)

2) Terme général :
\(u_n = u_2 \times q^{n-2} = \dfrac{3}{16} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-2}\)
\(= \dfrac{3}{16} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-2} = 3 \times \dfrac{1}{4^2} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-2} = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\)
Donc \(u_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\).

📌 Exemple  (somme) : Soit \((u_n)\) géométrique de raison \(q = 3\) et \(u_4 = 12\).
Calculons \(S = u_4 + u_5 + … + u_{2006}\).

Nombre de termes : \(2006 – 4 + 1 = 2003\)
Premier terme : \(u_4 = 12\)
Raison : \(q = 3\)

Application de la formule :
\(S = u_4 \times \dfrac{1 – q^{2003}}{1 – q} = 12 \times \dfrac{1 – 3^{2003}}{1 – 3} = 12 \times \dfrac{1 – 3^{2003}}{-2} = 12 \times \dfrac{3^{2003} – 1}{2} = 6(3^{2003} – 1)\)

Transformation de suite (méthode)

📌 Exemple 1  (transformation en suite arithmétique) :
Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases} u_0 = 5 \\ u_{n+1} = 2u_n – 1 \end{cases}\).
On pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n – 1}\).

1) Montrons que \((v_n)\) est arithmétique :
\(v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1} – 1} = \dfrac{1}{(2u_n – 1) – 1} = \dfrac{1}{2u_n – 2} = \dfrac{1}{2(u_n – 1)}\)
\(v_n = \dfrac{1}{u_n – 1}\)
Donc \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{u_n – 1} = \dfrac{1}{2} v_n\) ???
Correction : \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2(u_n – 1)} = \dfrac{1}{2} v_n\)
Mais pour avoir une suite arithmétique, il faut une relation de la forme \(v_{n+1} = v_n + r\).
Ici, on obtient \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2} v_n\) → c’est une suite géométrique !

Autre transformation : posons \(w_n = u_n – 1\).
\(w_{n+1} = u_{n+1} – 1 = (2u_n – 1) – 1 = 2u_n – 2 = 2(u_n – 1) = 2w_n\)
Donc \((w_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(w_0 = u_0 – 1 = 5 – 1 = 4\).
Donc \(w_n = 4 \times 2^n\) ⇒ \(u_n – 1 = 4 \times 2^n\) ⇒ \(u_n = 1 + 4 \times 2^n\).

📌 Exemple 2  (transformation en suite géométrique) :
Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} \end{cases}\).
On pose \(v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3}\).

1) Montrons que \((v_n)\) est géométrique :
\(v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} – 1}{u_{n+1} + 3} = \dfrac{\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} – 1}{\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} + 3}\)
Numérateur : \(\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} – 1 = \dfrac{2u_n + 3 – (u_n + 4)}{u_n + 4} = \dfrac{2u_n + 3 – u_n – 4}{u_n + 4} = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 4}\)
Dénominateur : \(\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} + 3 = \dfrac{2u_n + 3 + 3(u_n + 4)}{u_n + 4} = \dfrac{2u_n + 3 + 3u_n + 12}{u_n + 4} = \dfrac{5u_n + 15}{u_n + 4} = \dfrac{5(u_n + 3)}{u_n + 4}\)
Donc \(v_{n+1} = \dfrac{\dfrac{u_n – 1}{u_n + 4}}{\dfrac{5(u_n + 3)}{u_n + 4}} = \dfrac{u_n – 1}{5(u_n + 3)} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3} = \dfrac{1}{5} v_n\)

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{5}\).

2) Expression de \(v_n\) :
\(v_0 = \dfrac{u_0 – 1}{u_0 + 3} = \dfrac{0 – 1}{0 + 3} = -\dfrac{1}{3}\)
\(v_n = v_0 \times q^n = -\dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n\)

3) Expression de \(u_n\) en fonction de \(v_n\) :
\(v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3}\) ⇒ \(v_n(u_n + 3) = u_n – 1\) ⇒ \(v_n u_n + 3v_n = u_n – 1\)
\(v_n u_n – u_n = -1 – 3v_n\) ⇒ \(u_n(v_n – 1) = -1 – 3v_n\)
\(u_n = \dfrac{-1 – 3v_n}{v_n – 1} = \dfrac{1 + 3v_n}{1 – v_n}\)
Donc \(u_n = \dfrac{1 + 3\left(-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\right)}{1 – \left(-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\right)} = \dfrac{1 – \left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{1 + \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}\)