Exercice 1 : Calcul de termes (3 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) par : \(u_n = 2n – \dfrac{3}{n}\).

1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). (1 pt)

2) Calculer \(u_{n+1} – u_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

3) Déterminer l’indice \(n\) tel que \(u_n = \dfrac{23}{5}\). (1 pt)

Exercice 2 : Majoration – Minoration – Bornée (3 points)

Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par : \(u_n = \dfrac{n+5}{n+2}\).

1) Montrer que \((u_n)\) est minorée par 1. (1 pt)

2) Montrer que \((u_n)\) est majorée par 3. (1 pt)

3) En déduire que \((u_n)\) est bornée. (1 pt)

Exercice 3 : Monotonie d’une suite (3 points)

Étudier la monotonie des suites suivantes :

1) \(u_n = 3n – 7\) pour \(n \in \mathbb{N}\). (1 pt)

2) \(v_n = \dfrac{1}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\). (1 pt)

3) \(w_n = (-1)^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\). (1 pt)

Exercice 4 : Suite arithmétique (4 points)

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_2 = 7\) et \(u_5 = 19\).

1) Déterminer la raison \(r\) et le premier terme \(u_0\). (1,5 pts)

2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

3) Calculer \(u_{20}\). (0,5 pt)

4) Calculer la somme \(S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{20}\). (1 pt)

Exercice 5 : Suite géométrique (4 points)

Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(v_0 = 8\).

1) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

2) Calculer \(v_4\) et \(v_7\). (1 pt)

3) Calculer la somme \(S = v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_{10}\). (2 pts)

Exercice 6 : Problème de synthèse (3 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\(\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} \end{cases}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (1 pt)

2) Montrer par récurrence que : \((\forall n \in \mathbb{N}) : 1 \le u_n \le 2\). (1 pt)

3) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). (1 pt)