Vocabulaire des opérations

📌 Les termes des opérations :

Opération	Résultat	Les nombres
Addition	Somme	Termes
Soustraction	Différence	Termes
Multiplication	Produit	Facteurs
Division	Quotient	Dividende / Diviseur

📌 Exemple : Dans \(15 + 7 = 22\) : 15 et 7 sont les termes, 22 est la somme. Dans \(15 \times 7 = 105\) : 15 et 7 sont les facteurs, 105 est le produit. Dans \(15 \div 3 = 5\) : 15 est le dividende, 3 est le diviseur, 5 est le quotient.

Suites d’opérations sans parenthèses

📌 Exemple détaillé :

\(A = 15 – 7 – 6 + 3\) \(A = 8 – 6 + 3\) (on calcule 15 – 7 = 8) \(A = 2 + 3\) (on calcule 8 – 6 = 2) \(A = 5\) (on calcule 2 + 3 = 5) Explication : On suit l’ordre de gauche à droite. On ne peut pas faire 7 – 6 d’abord car la soustraction n’est pas associative. \(B = 9 + 13 – 7,2\) \(B = 22 – 7,2\) (on calcule 9 + 13 = 22) \(B = 14,8\)

📌 Exemple détaillé :

\(A = 16 \div 5 \times 2\) \(A = 3,2 \times 2\) (on calcule 16 ÷ 5 = 3,2) \(A = 6,4\) \(B = 15 \div 3 \times 4 \div 2\) \(B = 5 \times 4 \div 2\) (on calcule 15 ÷ 3 = 5) \(B = 20 \div 2\) (on calcule 5 × 4 = 20) \(B = 10\) Explication : On suit l’ordre de gauche à droite. La multiplication et la division ont la même priorité, donc on les effectue dans l’ordre d’écriture.

📌 Exemple détaillé :

\(A = 25 + 3,5 \times 4\) \(A = 25 + 14\) (on calcule d’abord la multiplication : 3,5 × 4 = 14) \(A = 39\) (puis l’addition) \(B = 45 \div 10 + 3,7 – 5 \times 0,1\) \(B = 4,5 + 3,7 – 0,5\) (on calcule la division et la multiplication en premier) \(B = 8,2 – 0,5\) (on calcule 4,5 + 3,7 = 8,2) \(B = 7,7\) Explication : Les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions, mais entre elles, on les effectue de gauche à droite.

Suites d’opérations avec parenthèses

📌 Exemple simple :

\(A = (4 + 5) \times (10 – 7)\) \(A = 9 \times 3\) (on calcule les parenthèses : 4+5=9 et 10-7=3) \(A = 27\) (on effectue la multiplication) Explication : Les parenthèses sont toujours prioritaires sur tout le reste. \(B = 6 \div (6 + 2)\) \(B = 6 \div 8\) (on calcule d’abord la parenthèse : 6+2=8) \(B = 0,75\)

📌 Exemple détaillé :

\(A = 1,4 \times (38,5 – 25) + [0,8 + (5,3 – 2,3)]\) \(A = 1,4 \times 13,5 + [0,8 + 3]\) (on calcule 38,5-25=13,5 et 5,3-2,3=3) \(A = 18,9 + [3,8]\) (on calcule 1,4×13,5=18,9 et 0,8+3=3,8) \(A = 18,9 + 3,8\) \(A = 22,7\) Explication : On commence par la parenthèse intérieure (5,3-2,3), puis on calcule le crochet, puis on finit par la multiplication et l’addition.

La distributivité

\(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\)

\(k \times (a – b) = k \times a – k \times b\)

📌 Exemples détaillés :

Exemple 1 : Factorisation (mettre en facteur) \(C = 1,6 \times 17 – 1,6 \times 7\) \(C = 1,6 \times (17 – 7)\) (on met 1,6 en facteur commun) \(C = 1,6 \times 10\) \(C = 16\) Explication : On reconnaît un facteur commun \(1,6\) dans les deux termes. On le « sort » de la somme.

Exemple 2 : Factorisation avec addition \(D = 13 \times 7,2 + 13 \times 2,8\) \(D = 13 \times (7,2 + 2,8)\) (on met 13 en facteur commun) \(D = 13 \times 10\) \(D = 130\) Exemple 3 : Développement (distributivité simple) \(E = 5 \times (3,2 + 4,8)\) \(E = 5 \times 3,2 + 5 \times 4,8\) (on distribue 5) \(E = 16 + 24\) \(E = 40\)

📌 Astuce de calcul : La distributivité permet de calculer plus rapidement : \(17 \times 103 = 17 \times (100 + 3) = 17 \times 100 + 17 \times 3 = 1700 + 51 = 1751\) \(24 \times 98 = 24 \times (100 – 2) = 24 \times 100 – 24 \times 2 = 2400 – 48 = 2352\)

Récapitulatif des priorités

Priorité	Opérations	Exemple
1ère	Parenthèses (les plus intérieures d’abord)	\(2 \times (3 + 4) = 2 \times 7 = 14\)
2ème	Multiplications et Divisions (de gauche à droite)	\(5 + 3 \times 2 = 5 + 6 = 11\)
3ème	Additions et Soustractions (de gauche à droite)	\(10 – 3 + 2 = 7 + 2 = 9\)