Opérations sur les Nombres relatifs
📋Exercice : Questions de cours (Opérations sur les nombres relatifs)
Comment compare-t-on deux nombres positifs ? Et deux nombres négatifs ? Donner un exemple pour chaque cas.
Énoncer la règle d’addition de deux nombres relatifs de même signe. Donner deux exemples.
Énoncer la règle d’addition de deux nombres relatifs de signes contraires. Donner deux exemples.
Donner la règle de la soustraction de deux nombres relatifs. Que devient \( a – b \) ? Donner trois exemples.
Énoncer la règle des signes pour la multiplication et la division de deux nombres relatifs. Donner deux exemples pour chaque opération.
Quelles sont les priorités des opérations dans un calcul sans parenthèses ? Donner un exemple détaillé.
Quelles sont les priorités des opérations dans un calcul avec parenthèses ? Donner un exemple détaillé avec des parenthèses imbriquées.
Énoncer la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction. Donner les formules et un exemple pour chaque cas.
Comment utilise-t-on la factorisation (application inverse de la distributivité) ? Donner deux exemples.
Que vaut la somme d’un nombre et de son opposé ? Que se passe-t-il lorsqu’on ajoute zéro à un nombre relatif ? Donner des exemples.
- Nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Exemple : \(47,6 > 46\) car \(47,6 > 46\). - Nombres négatifs : le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Exemple : \(-37,7 > -40\) car \(37,7 < 40\). - Signes différents : le nombre positif est toujours plus grand.
Exemple : \(5,2 > -25,4\).
- On garde le signe commun.
- On additionne les parties numériques (distances à zéro).
\(5 + 10 = 15\) (deux positifs)
\(-1 + (-4) = -5\) (deux négatifs)
\(3,5 + 2,3 = 5,8\)
\(-4,7 + (-2,5) = -7,2\)
- On écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
- On écrit la différence des distances à zéro.
\(-2 + 6 = 4\)
\(2 + (-6) = -4\)
\(-8 + 3 = -5\)
\(12 + (-5) = 7\)
\(-3,6 + 5,2 = 1,6\)
\(-4,8 + 2,1 = -2,7\)
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé :
\(2 – 6 = 2 + (-6) = -4\)
\(-3 – 5 = -3 + (-5) = -8\)
\(7 – (-3) = 7 + 3 = 10\)
\(-4 – (-9) = -4 + 9 = 5\)
Règle :
- Même signe → résultat positif.
- Signes contraires → résultat négatif.
\((-3) \times 5 = -15\)
\((-4) \times (-7) = 28\)
\(6 \times (-2) = -12\)
\((-15) \div 3 = -5\)
\((-24) \div (-6) = 4\)
\(18 \div (-3) = -6\)
Dans un calcul sans parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
\(A = 32 – 2 \times 4 = 32 – 8 = 24\)
\(B = 3,5 \times 5 – 32 \div 4 – 2,1 = 17,5 – 8 – 2,1 = 7,4\)
On effectue d’abord les calculs à l’intérieur des parenthèses (en commençant par les plus intérieures).
\(F = 8 – [(14 – 2) \times 0,5 + 3]\)
\(F = 8 – [12 \times 0,5 + 3]\)
\(F = 8 – (6 + 3)\)
\(F = 8 – 9 = -1\)
\(k \times (a – b) = k \times a – k \times b\)
\(7 \times (-5 + 8) = 7 \times (-5) + 7 \times 8 = -35 + 56 = 21\)
\(4,5 \times (8 – 13) = 4,5 \times 8 – 4,5 \times 13 = 36 – 58,5 = -22,5\)
La factorisation consiste à mettre en évidence un facteur commun dans une somme ou une différence.
\(3x + 3y = 3(x + y)\)
\(5a – 5b = 5(a – b)\)
- La somme d’un nombre et de son opposé est toujours 0.
Exemple : \(7 + (-7) = 0\). - Ajouter zéro à un nombre relatif ne change rien.
Exemples : \(-5 + 0 = -5\) ; \(0 + 8,5 = 8,5\).
📝Exercice 1 : Comparaison de nombres relatifs
Comparer les nombres suivants en utilisant les symboles \( < \), \( > \) ou \( = \) :
\( 5 \;\; \ldots \;\; -3 \)
\( -7 \;\; \ldots \;\; -2 \)
\( -12 \;\; \ldots \;\; -15 \)
\( 0 \;\; \ldots \;\; -8 \)
\( -3,5 \;\; \ldots \;\; -3,7 \)
\( 4,8 \;\; \ldots \;\; 4,3 \)
\( -2,1 \;\; \ldots \;\; 0 \)
\( 0 \;\; \ldots \;\; -5,2 \)
\( -8 \;\; \ldots \;\; 5 \)
\( -25 \;\; \ldots \;\; -18 \)
\( 6,2 \;\; \ldots \;\; 6,20 \)
\( -9,5 \;\; \ldots \;\; -9,4 \)
\( -3 \;\; \ldots \;\; -3 \)
\( -100 \;\; \ldots \;\; 0 \)
\( 7,1 \;\; \ldots \;\; -7,1 \)
\( 5 > -3 \)
\( -7 < -2 \)
\( -12 > -15 \)
\( 0 > -8 \)
\( -3,5 > -3,7 \)
\( 4,8 > 4,3 \)
\( -2,1 < 0 \)
\( 0 > -5,2 \)
\( -8 < 5 \)
\( -25 < -18 \)
\( 6,2 = 6,20 \)
\( -9,5 < -9,4 \)
\( -3 = -3 \)
\( -100 < 0 \)
\( 7,1 > -7,1 \)
📝Exercice 2 : Opérations sur les nombres relatifs
Réécrire sans parenthèses puis calculer :
\( (-5) – (+2) \)
\( (+13) – (-18) \)
\( (+24) – (+32) \)
\( (-17) + (+4) \)
\( (-15,3) + (-7,2) \)
\( (+4,1) – (-5,3) \)
\( (-1,8) – (+6,7) \)
\( (-0,3) + (+9,4) \)
\( (-71) + (-71) \)
\( (-123) + (+456) \)
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📝Exercice 3 : Calcul mental
Calculer mentalement :
\( 8 – 6 = \)
\( -5 + 12 = \)
\( -13 – 19 = \)
\( 12 + 13 = \)
\( 9 – 13 = \)
\( -10 + 25 = \)
\( 63 – 71 = \)
\( -26 – 34 = \)
\( -71 + 71 = \)
\( 109 – 109 = \)
\( 0 – 23 = \)
\( 136 – 0 = \)
\( 0,6 – 1,3 = \)
\( -1,4 + 3,7 = \)
\( -3,1 – 9,4 = \)
\( 6,5 – 6,35 = \)
\( -7,3 – 9,1 = \)
\( 5,67 – 7,65 = \)
\( -3,14 – 3,14 = \)
\( 123 – 456 = \)
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📝Exercice 4 : Calculs avec plusieurs termes
Calculer :
\( 11-25-31+61-29 \)
\( -15+41-72-50+84 \)
\( 7,2-1,5+6,3-7,9-4,6 \)
\( -22-15+18-5+12-7 \)
\( 26-74-132+14+59 \)
\( -9,2-5,4+7,1-6,3-4,7 \)
\( 14-20+1,5-14-7 \)
\( -3,1+0,5-2,8-13,7-9 \)
\( -1+2-3+4-5+6-7+8 \)
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📝Exercice 5 : Calculs avec parenthèses et priorités
Recopier puis calculer en respectant les priorités :
\( 11-25-(31+61)-29 \)
\( -15+(41-72-50)+84 \)
\( -(1+2)-(3+4)-(5+6) \)
\( (-9,2-5,4)+7,1-(6,3-4,7) \)
\( (7-5)+(2-3)-(-7+5) \)
\( -10-(5-3+2)+(-13+12) \)
\( 12-(-8+4-7)-(9+3-4) \)
\( (7,2-1,5)+6,3-(7,9-4,6) \)
\( 5-[(12+5-11)-(7+1)] \)
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📝Exercice 6 : Calculs avec priorités et multiplications
Calculer en respectant les priorités :
\( -2 \times (-3) + 7 \times (-4) \)
\( -9 \times 2 + 5 \times (-6) – 3 \)
\( -6 + 7 \times (-3) – 6 \times (-1) \)
\( (-1) \times (-2) + (-3) – (-4) \times (-5) \)
\( [-3-5 \times (-2)] \times [8+(-1)] \)
\( [-2+(-9)] \times [7-(-6) \times (-4)] \)
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📝Exercice 7 : Calcul d’expressions avec valeurs numériques
Calculer les expressions suivantes pour :
\( A = a + b + c + d \)
\( B = a – b + c – d \)
\( C = -a + b – c – d \)
\( D = -(a+b) + (c+d) \)
\( E = -(a-b) – (c-d) \)
\( F = (a-b) + (c-d) \)
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📝Exercice 8 : Calcul d’expressions avec valeurs numériques
Calculer les expressions suivantes pour :
\( A = a + b + c + d \)
\( B = a – b + c – d \)
\( C = -a + b – c – d \)
\( D = -(a+b) + (c+d) \)
\( E = -(a-b) – (c-d) \)
\( F = (a-b) + (c-d) \)
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📝Exercice 9 : Problème – Températures et altitude
Un alpiniste part du sommet d’une montagne à une altitude de 3 200 m. Il descend jusqu’à un refuge situé à 1 800 m d’altitude, puis il remonte jusqu’à un deuxième sommet à 2 500 m.
La température diminue de 6,5 °C par tranche de 1 000 m d’altitude (lorsque l’on monte).
Quelle est la différence d’altitude entre le premier sommet (3 200 m) et le refuge (1 800 m) ?
Quelle est la différence d’altitude entre le refuge (1 800 m) et le deuxième sommet (2 500 m) ?
Si la température au sommet de départ (3 200 m) est de -8 °C, quelle est la température au refuge ?
Quelle est la température au deuxième sommet (2 500 m) ?
L’alpiniste a-t-il eu plus chaud ou plus froid au refuge ou au deuxième sommet ? Justifier par un calcul.
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📝Exercice 10 : Problème – Compte bancaire et gestion financière
M. El Amrani consulte son relevé bancaire pour le mois de janvier. Voici l’historique de ses opérations :
| Date | Opération | Montant (DH) |
|---|---|---|
| 1er janvier | Solde initial | + 2 500 |
| 5 janvier | Retrait | – 450 |
| 10 janvier | Virement reçu | + 1 200 |
| 15 janvier | Achat en ligne | – 785 |
| 20 janvier | Retrait | – 1 000 |
| 25 janvier | Dépôt de chèque | + 2 000 |
| 30 janvier | Abonnement | – 159 |
Calculer le solde de M. El Amrani après chaque opération. (Compléter le tableau)
Quel est le total des retraits effectués par M. El Amrani ?
Quel est le total des dépôts (virements reçus + dépôts de chèque) ?
Quel est le solde final de M. El Amrani à la fin du mois ?
Le solde de M. El Amrani est-il resté positif tout le mois ? Justifier.
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