Comparaison de deux nombres relatifs

📌 Règles de comparaison :

• Cas 1 : Les deux nombres sont positifs → le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
• Cas 2 : Les deux nombres sont négatifs → le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
• Cas 3 : Les deux nombres sont de signes différents → le plus grand est le nombre positif.

📌 Exemples détaillés :

• \(5,2 > -25,4\) (car le nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif)
• \(-1000 < 1\) (car 1 est positif)
• \(47,6 > 46\) (les deux sont positifs ; 47,6 a la plus grande distance à zéro)
• \(-37,7 > -40\) (les deux sont négatifs ; -37,7 a la plus petite distance à zéro car 37,7 < 40)

Opérations sur les nombres relatifs

Règle :

1. On garde le signe commun.
2. On additionne les parties numériques (distances à zéro).

📌 Exemples  :

Exemple 1 : Addition de deux nombres positifs
\(5 + 10 = +(5 + 10) = 15\)
Explication : Les deux nombres sont positifs, on garde le signe + et on additionne 5 + 10 = 15.

Exemple 2 : Addition de deux nombres négatifs
\(-1 + (-4) = -(1 + 4) = -5\)
Explication : Les deux nombres sont négatifs, on garde le signe – et on additionne 1 + 4 = 5.

Exemple 3 : Addition de deux nombres positifs (décimaux)
\(3,5 + 2,3 = +(3,5 + 2,3) = 5,8\)

Exemple 4 : Addition de deux nombres négatifs (décimaux)
\(-4,7 + (-2,5) = -(4,7 + 2,5) = -7,2\)

Règle :

1. On écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
2. On écrit la différence des distances à zéro.

📌 Exemples :

Exemple 1 : Négatif + Positif (le positif a la plus grande distance)
\(-2 + 6 = +(6 – 2) = 4\)
Explication : 6 a la plus grande distance à zéro (6 > 2), donc le résultat est positif. On soustrait les distances : 6 – 2 = 4.

Exemple 2 : Positif + Négatif (le négatif a la plus grande distance)
\(2 + (-6) = -(6 – 2) = -4\)
Explication : 6 a la plus grande distance à zéro (6 > 2), donc le résultat est négatif. On soustrait les distances : 6 – 2 = 4.

Exemple 3 : Négatif + Positif (le négatif a la plus grande distance)
\(-8 + 3 = -(8 – 3) = -5\)
Explication : 8 > 3, donc le résultat est négatif. 8 – 3 = 5.

Exemple 4 : Positif + Négatif (le positif a la plus grande distance)
\(12 + (-5) = +(12 – 5) = 7\)
Explication : 12 > 5, donc le résultat est positif. 12 – 5 = 7.

Exemple 5 : Addition de nombres décimaux de signes contraires
\(-3,6 + 5,2 = +(5,2 – 3,6) = 1,6\)
Explication : 5,2 > 3,6, donc résultat positif. 5,2 – 3,6 = 1,6.

Exemple 6 : \(-4,8 + 2,1 = -(4,8 – 2,1) = -2,7\)

📌 Exemples :

Exemple 1 : Addition d’un nombre et de son opposé
\(7 + (-7) = 0\) (la somme d’un nombre et de son opposé est toujours 0)

Exemple 2 : Addition avec zéro
\(-5 + 0 = -5\) (ajouter 0 ne change rien)
\(0 + 8,5 = 8,5\)

Exemple 3 : Addition de nombres de signes contraires avec des fractions
\(-\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Pour tous nombres \(a\) et \(b\) :
\[
a – b = a + (-b)
\]

📌 Exemples :

\(2 – 6 = 2 + (-6) = -(6 – 2) = -4\)
\(-3 – 5 = -3 + (-5) = -(3 + 5) = -8\)
\(7 – (-3) = 7 + 3 = 10\)
\(-4 – (-9) = -4 + 9 = +(9 – 4) = 5\)

Règle des signes :
• Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif.
• Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

📌 Exemples :

Multiplication :
\((-3) \times 5 = -15\) (signes contraires → négatif)
\((-4) \times (-7) = 28\) (même signe → positif)
\(6 \times (-2) = -12\)

Division :
\((-15) \div 3 = -5\) (signes contraires → négatif)
\((-24) \div (-6) = 4\) (même signe → positif)
\(18 \div (-3) = -6\)

Règle : Dans un calcul sans parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

📌 Exemples  :

\(A = 32 – 2 \times 4\)
\(A = 32 – 8\) (on effectue d’abord la multiplication)
\(A = 24\)

\(B = 3,5 \times 5 – 32 \div 4 – 2,1\)
\(B = 17,5 – 8 – 2,1\) (multiplication et division en premier)
\(B = 9,5 – 2,1\)
\(B = 7,4\)

Règle : Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs à l’intérieur des parenthèses (en commençant par les plus intérieures).

📌 Exemples :

\(E = 5 \times (9 – 3)\)
\(E = 5 \times 6\) (on calcule d’abord la parenthèse)
\(E = 30\)

\(F = 8 – [(14 – 2) \times 0,5 + 3]\)
\(F = 8 – [12 \times 0,5 + 3]\) (parenthèse intérieure)
\(F = 8 – (6 + 3)\) (multiplication prioritaire dans le crochet)
\(F = 8 – 9\) (addition dans le crochet)
\(F = -1\)

Distributivité de la multiplication

📌 Formules :

\(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\)

\(k \times (a – b) = k \times a – k \times b\)

où \(a\), \(b\) et \(k\) sont des nombres relatifs.

📌 Exemples  :

Exemple 1 : Distributivité avec addition
\(A = 7 \times (-5 + 8)\)
\(A = 7 \times (-5) + 7 \times 8\) (on distribue 7)
\(A = -35 + 56\)
\(A = 21\)

Exemple 2 : Distributivité avec soustraction
\(B = 4,5 \times (8 – 13)\)
\(B = 4,5 \times 8 – 4,5 \times 13\) (on distribue 4,5)
\(B = 36 – 58,5\)
\(B = -22,5\)

Exemple 3 : Distributivité avec factorisation (application inverse)
\(C = 3x + 3y = 3(x + y)\)
\(D = 5a – 5b = 5(a – b)\)