Exercice 1:
1) Comparons $a=\frac{4}{35}$ et $b=\frac{2}{15}$
On a : $a-b=\frac{4}{35}-\frac{2}{15}=\frac{12}{105}-\frac{14}{105}=\frac{12-14}{105}=\frac{-2}{105}$
Or : $\frac{-2}{105}<0$, donc $a-b<0$
Alors $a<b$
2) Comparons $2 \sqrt{3}-4$ et $\sqrt{3}-5$
On a : $(2 \sqrt{3}-4)-(\sqrt{3}-5)=2 \sqrt{3}-4-\sqrt{3}+5=\sqrt{3}+1$
Or : $\sqrt{3}+1>0$ donc $(2 \sqrt{3}-4)-(\sqrt{3}-5)>0$
Alors $2 \sqrt{3}-4>\sqrt{3}-5$
3) Comparons $x$ et $y$ tel que : $x=y-3$
On a : $x-y=(y-3)-y=y-3-y=-3$, donc $x-y<0$
Alors : $x<y$
Exercice 2:
On pose : $a=\sqrt{45}+2 \sqrt{5}$ et $b=3 \sqrt{20}$
1) On a : $a-b=\sqrt{45}+2 \sqrt{5}-3 \sqrt{20}=\sqrt{3^{2} \times 5}+2 \sqrt{5}-3 \sqrt{2^{2} \times 5}=3 \sqrt{5}+2 \sqrt{5}-3 \times 2 \sqrt{5}$
Donc: $a-b=(3+2-6) \sqrt{5}=-\sqrt{5}$
2) Puisque : $a-b=-\sqrt{5}<0$, alors : $a<b$.
Exercice 3:
On a $: \frac{15}{14}-\frac{12}{7}=\frac{15-24}{14}=\frac{-9}{14}$
Or $\frac{-9}{14}<0$ donc $\frac{15}{14}-\frac{12}{7}<0$
Alors : $\frac{15}{14}<\frac{12}{7}$
Or : $4 \sqrt{2}+8>0$ donc $(7+\sqrt{2})-(-3 \sqrt{2}-1)>0$
Alors: $7+\sqrt{2}>-3 \sqrt{2}-1$
On a: $(5 \sqrt{3}+4)-(\sqrt{3}-1)=5 \sqrt{3}+4-\sqrt{3}+1=4 \sqrt{3}+5$
Or : $4 \sqrt{3}+5>0$ donc $(5 \sqrt{3}+4)-(\sqrt{3}-1)>0$
Alors : $\sqrt{3}-1<5 \sqrt{3}+4$
Exercice 4:
Montrer que : $a+1 \leqslant b$
Déduire un ordre de $3 a$ et de $-2 b$
On a : $a+4 \leqslant b$, donc $a+4-3 \leqslant b-3$
Alors : $a+1 \leqslant b$
On a : $a+3 \leqslant 3$ et $b+4 \leqslant \sqrt{2}$, donc $a+3+b+4 \leqslant 3+\sqrt{2}$
Alors : $a+b+7 \leqslant \sqrt{2}+3$
On a : $a \geqslant \frac{4}{3}$ donc $3 \times a \geqslant 3 \times \frac{4}{3}$ donc $3 a \geqslant 4 \leftrightarrow$ Déduisons un ordre de $-2 b$
On a : $b \geqslant \sqrt{3}$ donc $-2 \times b \leqslant-2 \times \sqrt{3}$ donc $-2 b \leqslant-2 \sqrt{3}$
Exercice 5:
Montrer que : $x y<6 \sqrt{2}$
Montrer que : $(x-1)(y-2) \geqslant 0$
Montrer que : $\frac{-5}{x+2 \sqrt{3}} \geqslant \frac{-5}{1+2 \sqrt{3}}$
On a : $\left\{\begin{array}{l}x<\sqrt{3} \\ y<2 \sqrt{6}\end{array}\right.$
On a $x \geqslant 1$ donc $x-1 \geqslant 0$
Et on a $y \geqslant 2$ donc $y-2 \geqslant 0$
D’où $(x-1)(y-2) \geqslant 0$
Alors $\frac{1}{x+2 \sqrt{3}} \leqslant \frac{1}{1+2 \sqrt{3}}$
D’où $\frac{-5}{x+2 \sqrt{3}} \geqslant \frac{-5}{1+2 \sqrt{3}}$
Exercice 6:
1) $x$ et $y$ deux nombres réels tel que $x \leq y$. Comparer $x$ et $\frac{2 x+y}{3}$
2) $a$ un nombre réel tel que $a \geq 3$. Montrer que : $\frac{1-a}{2} \leq-1$
3) $m$ et $n$ deux nombres réels strictement positifs. Montrer que : $\frac{m+2 n}{4 n} \geq \frac{2 m}{m+2 n}$
1) Puisque : $x \leq y$, alors $x-y \leq 0$, et on a : $x-\frac{2 x+y}{3}=\frac{3 x-2 x-y}{3}=\frac{x-y}{3}<0$,
alors : $x \leq \frac{2 x+y}{3}$
2) Puisque : $a \geq 3$, alors $3-a \leq 0$, et on a : $\frac{1-a}{2}-(-1)=\frac{1-a+2}{2}=\frac{3-a}{2} \leq 0$,
alors : $\frac{1-a}{2} \leq-1$
3) $m$ et $n$ deux nombres réels strictement positifs. On a :
$\frac{m+2 n}{4 n}-\frac{2 m}{m+2 n} =\frac{(m+2 n)(m+2 n)-4 n \times 2 m}{4 n(m+2 n)}$
$=\frac{m^{2}+2 m n+2 m n+4 n^{2}-8 m n}{4 n(m+2 n)}$
$=\frac{m^{2}-4 m n+4 n^{2}}{4 n(m+2 n)}$
$=\frac{(m-2 n)^{2}}{4 n(m+2 n)}$
Puisque $m$ et $n$ sont deux nombres réels strictement positifs, alors $4 n(m+2 n)$ est positif.
Or $(m-2 n)^{2}$ est toujours positif.
Donc : $\frac{(m-2 n)^{2}}{4 n(m+2 n)} \geq 0$
D’où : $\frac{m+2 n}{4 n} \geq \frac{2 m}{m+2 n}$
Exercice 7:
1) Comparer 3 et $2 \sqrt{2}$
2) Comparer $-2 \sqrt{5}$ et $-3 \sqrt{2}$
3) Comparer $3 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{2}$
4) Comparer $-\sqrt{91}$ et $-6 \sqrt{3}$
5) Comparer les nombres $\sqrt{5}+4$ et $\sqrt{3}+4$
1) Comparons 3 et $2 \sqrt{2}$
On a $(2 \sqrt{2})^{2}=4 \times 2=8$ et $3^{2}=9$
Donc $3^{2}>(2 \sqrt{2})^{2}$, alors $3>2 \sqrt{2}$
2) Comparons $-2 \sqrt{5}$ et $-3 \sqrt{2}$
On a $(2 \sqrt{5})^{2}=4 \times 5=20$ et $(3 \sqrt{2})^{2}=9 \times 2=18$
Donc $(2 \sqrt{5})^{2}>(3 \sqrt{2})^{2}$, donc $2 \sqrt{5}>3 \sqrt{2}$, alors $-2 \sqrt{5}<-3 \sqrt{2}$
3) Comparons $3 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{2}$
On a $(3 \sqrt{3})^{2}=9 \times 3=27$ et $(4 \sqrt{2})^{2}=16 \times 2=32$
Or $27<32 \operatorname{donc}(3 \sqrt{3})^{2}<(4 \sqrt{2})^{2}$
Alors $3 \sqrt{3}<4 \sqrt{2}$
4) Comparons $-\sqrt{91}$ et $-6 \sqrt{3}$
On a $\sqrt{91}^{2}=91$ et $(6 \sqrt{3})^{2}=36 \times 3=108$
Or $91<108$ donc $\sqrt{91}^{2}<(6 \sqrt{3})^{2}$ donc $\sqrt{91}<6 \sqrt{3}$ Alors $-\sqrt{91}>-6 \sqrt{3}$
5) Comparons $\sqrt{5}+4$ et $\sqrt{3}+4$
On a $\sqrt{3}^{2}=3$ et $\sqrt{5}^{2}=5$
Or $3<5$ donc $\sqrt{3}^{2}<\sqrt{5}^{2}$ donc $\sqrt{3}<\sqrt{5}$
Alors $\sqrt{3}+4<\sqrt{5}+4$
Exercice 8:
1) Comparer : $2 \sqrt{3}$ et $\sqrt{13}$
2) En déduire la comparaison de ce qui suit :
• $-2 \sqrt{3}$ et $-\sqrt{13}$
• $2 \sqrt{3}-5$ et $\sqrt{13}-5$
• $1-6 \sqrt{3}$ et $1-3 \sqrt{13}$
• $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ et $\frac{5}{\sqrt{13}}$
• $\frac{1}{2 \sqrt{3}+3}$ et $\frac{1}{\sqrt{13}+3}$
• $\sqrt{3+2 \sqrt{3}}$ et $\sqrt{5+\sqrt{13}}$
3) a) Développer et réduire : $(2 \sqrt{3}-\sqrt{13})^{2}$
b) En déduire une simplification de : $\sqrt{25-4 \sqrt{39}}$
1) On a : $(2 \sqrt{3})^{2}=4 \times 3=12$ et $(\sqrt{13})^{2}=13$, comme $12<13$, alors $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$
2) En déduire la comparaison de ce qui suit:
• Puisque $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$, alors $-2 \sqrt{3}>-\sqrt{13}$.
• Puisque $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$, alors $2 \sqrt{3}-5<\sqrt{13}-5$
• Puisque $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$, alors $-6 \sqrt{3}>-3 \sqrt{13}$, alors $1-6 \sqrt{3}>1-3 \sqrt{13}$
• Puisque $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$, alors $\frac{1}{2 \sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{13}}$, alors $\frac{5}{2 \sqrt{3}}>\frac{5}{\sqrt{13}}$
• Puisque $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$, alors $2 \sqrt{3}+3<\sqrt{13}+3$, alors $\frac{1}{2 \sqrt{3}+3}>\frac{1}{\sqrt{13}+3}$.
• Puisque $2 \sqrt{3}<\sqrt{13}$ et $3<5$ alors $3+2 \sqrt{3}<5+\sqrt{13}$, d’où : $\sqrt{3+2 \sqrt{3}}<\sqrt{5+\sqrt{13}}$
3) a) Développer et réduire :
$(2 \sqrt{3}-\sqrt{13})^{2}=(2 \sqrt{3})^{2}-2 \times 2 \sqrt{3} \times \sqrt{13}+\sqrt{13}^{2}=12-4 \sqrt{39}+13=25-4 \sqrt{39}$
b) D’après la question (3.a), on a : $\sqrt{25-4 \sqrt{39}}=\sqrt{(2 \sqrt{3}-\sqrt{13})^{2}}$ et d’après la question (1), on a : $2 \sqrt{3}-\sqrt{13}<0$, alors $\sqrt{(2 \sqrt{3}-\sqrt{13})^{2}}=-(2 \sqrt{3}-\sqrt{13})=\sqrt{13}-2 \sqrt{3}$, d’où $: \sqrt{25-4 \sqrt{39}}=\sqrt{13}-2 \sqrt{3}$.
$\underline{\text { Rappel : Si } X>0 \text {, alors : } \sqrt{X^{2}}=X \text {, Si } X<0 \text {, alors : } \sqrt{X^{2}}=-X}$
Exercice 9:
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tel que : $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $-4 \leqslant b \leqslant-3$
Encadrer :
$\star a+b$
$\star a-b$
$\star a b$
$\star \frac{a}{b}$
* Encadrons $a + b$
On a $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $-4 \leqslant b \leqslant-3$
Donc $2+(-4) \leqslant a+b \leqslant 3+(-3)$
Alors $-2 \leqslant a-b \leqslant 0$
* Encadrons $a – b$
on a $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $-4 \leqslant b \leqslant-3$
Donc $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $3 \leqslant-b \leqslant 4$
Donc $2+3 \leqslant a+(-b) \leqslant 3+4$
Alors $5 \leqslant a-b \leqslant 7$
* Encadrons $a b$
on a $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $-4 \leqslant b \leqslant-3$
Donc $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $3 \leqslant-b \leqslant 4$
Donc $2 \times 3 \leqslant a \times(-b) \leqslant 3 \times 4$
Donc $6 \leqslant-a b \leqslant 12$
Alors $-12 \leqslant a b \leqslant-6$
* Encadrons $\frac{a}{b}$
on a $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $-4 \leqslant b \leqslant-3$
Donc $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $3 \leqslant-b \leqslant 4$
Donc $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $\frac{1}{4} \leqslant \frac{-1}{b} \leqslant \frac{1}{3}$
Donc $2 \times \frac{1}{4} \leqslant a \times \frac{-1}{b} \leqslant 3 \times \frac{1}{3}$
Donc $\frac{2}{4} \leqslant \frac{-a}{b} \leqslant \frac{3}{3}$
Donc $\frac{1}{2} \leqslant \frac{-a}{b} \leqslant 1$
Donc $-1 \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \frac{-1}{2}$
Exercice 10:
Soit $a, b$ et $c$ trois nombres réels tel que : $6 \leqslant a \leqslant 8,-4 \leqslant b \leqslant-2$ et $-3 \leqslant c \leqslant 5$
Encadrer :
$\star a^{2}$
$\star b^{2}$
$\star a+2 b-4 c$
$\star \frac{a+b}{b^{2}}$
* Encadrons $a^{2}$
On a $6 \leqslant a \leqslant8$
Donc $(6)^{2} \leqslant a^{2} \leqslant(8)^{2}$
Alors $36\leqslant a^{2} \leqslant 64$
* Encadrons $b^{2}$
On a $-4 \leqslant b \leqslant-2$
Donc $(-2)^{2} \leqslant b^{2} \leqslant(-4)^{2}$
Alors $4 \leqslant b^{2} \leqslant 16$
* Encadrons $\star a+2 b-4 c$
On a $-4 \leqslant b \leqslant-2$
Donc $-8 \leqslant 2b \leqslant-4$
On a $-3 \leqslant c \leqslant5$
Donc $-20 \leqslant -4b \leqslant12$
On a $\left\{\begin{array}{l}6 \leqslant a \leqslant 8 \\ -8 \leqslant 2b \leqslant-4\\ -20 \leqslant -4c \leqslant 12\end{array}\right.$
Donc $6-8-20 \leqslant a+2 b-4 c \leqslant 8-4+12$
Alors $-22 \leqslant a+2 b-4 c \leqslant 16$
* Encadrons $\frac{a+b}{b^{2}}$
On a $\left\{\begin{array}{l}6 \leqslant a \leqslant 8 \\ -4 \leqslant b \leqslant-2\end{array}\right.$
Donc $6-4 \leqslant a+b \leqslant 8-2$
Donc $2 \leqslant a+b \leqslant 6$
Et on a $4 \leqslant b^{2} \leqslant 16$ donc $\frac{1}{16} \leqslant \frac{1}{b^{2}} \leqslant \frac{1}{4}$
On a $\left\{\begin{array}{l}2 \leqslant a+b \leqslant 6 \\ \frac{1}{16} \leqslant \frac{1}{b^{2}} \leqslant \frac{1}{4}\end{array}\right.$
Donc $2 \times \frac{1}{16} \leqslant(a+b) \frac{1}{b^{2}} \leqslant 6 \times \frac{1}{4}$
Donc $\frac{2}{16} \leqslant \frac{a+b}{b^{2}} \leqslant \frac{6}{4}$
Alors $\frac{1}{8} \leqslant \frac{a+b}{b^{2}} \leqslant \frac{3}{2}$
Exercice 11:
$x, y$ et $z$ trois nombres réels tels que : $-4 \leq x \leq 5$ et $-5 \leq y \leq-3$ et $3 \leq z \leq 7$
1) Encadrer: $2 y-1 ; -x+5 ; z-y \quad ; \quad y z \quad ; \quad y^{2}+z^{2} ; \frac{x-3 y}{y^{2}+2}$
2) Simplifier : $U=\sqrt{(y+3)^{2}}+\sqrt{(y+5)^{2}}$ et $V=\sqrt{(x+4)^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}}+(1-2 x)$
$x, y$ et $z$ trois nombres réels tels que : $-4 \leq x \leq 5$ et $-5 \leq y \leq-3$ et $3 \leq z \leq 7$
1) On a : $-5 \leq y \leq-3$, alors : $2 \times(-5) \leq 2 \times y \leq 2 \times(-3)$, alors : $-10 \leq 2 y \leq-6$, alors : $-10-1 \leq 2 y-1 \leq-6-1$, d’où : $-11 \leq 2 y-1 \leq-7$
– On a : $-4 \leq x \leq 5$, alors : $4 \geq-x \geq-5$, alors: $4+5 \geq-x+5 \geq-5+5$, d’où : $9 \geq-x+5 \geq 0$
– On a : $\left\{\begin{array}{l}3 \leq z \leq 7 \\ -5 \leq y \leq-3\end{array}\right.$, alors: $\left\{\begin{array}{l}3 \leq z \leq 7 \\ 3 \leq-y \leq 5\end{array}\right.$, alors: $3+3 \leq z+(-y) \leq 7+5$, d’où : $6 \leq z-y \leq 12$.
– On a : $\left\{\begin{array}{l}3 \leq-y \leq 5 \\ 3 \leq z \leq 7\end{array}\right.$, alors $3 \times 3 \leq-y \times z \leq 5 \times 7$, alors : $9 \leq-y z \leq 35$, d’où : $-9 \geq y z \geq-35$
– On a : $\left\{\begin{array}{l}3 \leq-y \leq 5 \\ 3 \leq z \leq 7\end{array}\right.$, alors : $\left\{\begin{array}{l}3^{2} \leq(-y)^{2} \leq 5^{2} \\ 3^{2} \leq z^{2} \leq 7^{2}\end{array}\right.$, alors : $\left\{\begin{array}{l}9 \leq y^{2} \leq 25 \\ 9 \leq z^{2} \leq 49\end{array}\right.$, alors : $9+9 \leq y^{2}+z^{2} \leq 25+49$, d’où : $18 \leq y^{2}+z^{2} \leq 74$
– On a : $\left\{\begin{array}{l}-4 \leq x \leq 5 \\ 3 \leq-y \leq 5\end{array}\right.$, alors : $\left\{\begin{array}{l}-4 \leq x \leq 5 \\ 9 \leq-3 y \leq 15\end{array}\right.$, alors : $-4+9 \leq x+(-3 y) \leq 5+15$, alors : $5 \leq x-3 y \leq 20$.
On a : $9 \leq y^{2} \leq 25$, alors : $11 \leq y^{2}+2 \leq 27$, alors : $\frac{1}{27} \leq \frac{1}{y^{2}+2} \leq \frac{1}{11}$.
Donc : $\frac{5}{27} \leq \frac{x-3 y}{y^{2}+2} \leq \frac{20}{11}$
2) On a : $-5 \leq y \leq-3$, alors : $\left\{\begin{array}{l}-2 \leq y+3 \leq 0 \\ 0 \leq y+5 \leq 2\end{array}\right.$, alors : $\left\{\begin{array}{l}y+3 \text { est négatif. } \\ y+5 \text { est positif. }\end{array}\right.$
Donc $: U=\sqrt{(y+3)^{2}}+\sqrt{(y+5)^{2}}=-(y+3)+(y+5)=2$.
On a : $-4 \leq x \leq 5$, alors : $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x+4 \leq 9 \\ -9 \leq y-5 \leq 0\end{array}\right.$, alors : $\left\{\begin{array}{l}x+4 \text { est positif. } \\ x-5 \text { est négatif. }\end{array}\right.$
Donc $: V=\sqrt{(x+4)^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}}+(1-2 x)=(x+4)+(x-5)+(1-2 x)=0$
Exercice 12:
1) $x$ un nombre réel positif tel que : $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{x+3}} \leq \frac{1}{2}$. Montrer que : $1 \leq x \leq 6$
1) Soit $x \geq 0$, on a : $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{x+3}} \leq \frac{1}{2}$, alors : $2 \leq \sqrt{x+3} \leq 3$, alors : $2^{2} \leq \sqrt{x+3}^{2} \leq 3^{2}$,
alors : $4 \leq x+3 \leq 9$, alors : $4-3 \leq x+3-3 \leq 9-3$, d’où : $1 \leq x \leq 6$
Exercice 13:
2) Soient $x$ et $y$ deux nombres réels positifs tels que : $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ et $0 \leq y^{2}+2 y-x^{2} \leq 1$.
Montrer que : $0 \leq y \leq 1$
2) Soient $x$ et $y$ deux nombres réels positifs tels que : $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ et $0 \leq y^{2}+2 y-x^{2} \leq 1$.
Montrons que : $0 \leq y \leq 1$. On a : $0 \leq x \leq \sqrt{2}$, alors : $0 \leq x^{2} \leq 2$.
Comme : $0 \leq y^{2}+2 y-x^{2} \leq 1$, alors : $0+0 \leq y^{2}+2 y-x^{2}+x^{2} \leq 1+2$, alors : $0 \leq y^{2}+2 y \leq 3$, alors : $1 \leq y^{2}+2 y+1 \leq 4$, alors : $1 \leq(y+1)^{2} \leq 4$, alors : $\sqrt{1} \leq \sqrt{(y+1)^{2}} \leq \sqrt{4}$,
alors : $1 \leq y+1 \leq 2$, alors : $1-1 \leq y+1-1 \leq 2-1$, d’où : $0 \leq y \leq 1$