Ordre et Opérations exercices corrigés 3AC
Exercice 1:
1) Comparons $a=\frac{4}{35}$ et $b=\frac{2}{15}$
On a : $a-b=\frac{4}{35}-\frac{2}{15}=\frac{12}{105}-\frac{14}{105}=\frac{12-14}{105}=\frac{-2}{105}$
Or : $\frac{-2}{105}<0$, donc $a-b<0$
Alors $a<b$
2) Comparons $2 \sqrt{3}-4$ et $\sqrt{3}-5$
On a : $(2 \sqrt{3}-4)-(\sqrt{3}-5)=2 \sqrt{3}-4-\sqrt{3}+5=\sqrt{3}+1$
Or : $\sqrt{3}+1>0$ donc $(2 \sqrt{3}-4)-(\sqrt{3}-5)>0$
Alors $2 \sqrt{3}-4>\sqrt{3}-5$
3) Comparons $x$ et $y$ tel que : $x=y-3$
On a : $x-y=(y-3)-y=y-3-y=-3$, donc $x-y<0$
Alors : $x<y$
Exercice 2:
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Exercice 3:
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Exercice 4:
Montrer que : $a+1 \leqslant b$
Déduire un ordre de $3 a$ et de $-2 b$
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Exercice 5:
Montrer que : $x y<6 \sqrt{2}$
Montrer que : $(x-1)(y-2) \geqslant 0$
Montrer que : $\frac{-5}{x+2 \sqrt{3}} \geqslant \frac{-5}{1+2 \sqrt{3}}$
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Exercice 6:
1) $x$ et $y$ deux nombres réels tel que $x \leq y$. Comparer $x$ et $\frac{2 x+y}{3}$
2) $a$ un nombre réel tel que $a \geq 3$. Montrer que : $\frac{1-a}{2} \leq-1$
3) $m$ et $n$ deux nombres réels strictement positifs. Montrer que : $\frac{m+2 n}{4 n} \geq \frac{2 m}{m+2 n}$
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Exercice 7:
1) Comparer 3 et $2 \sqrt{2}$
2) Comparer $-2 \sqrt{5}$ et $-3 \sqrt{2}$
3) Comparer $3 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{2}$
4) Comparer $-\sqrt{91}$ et $-6 \sqrt{3}$
5) Comparer les nombres $\sqrt{5}+4$ et $\sqrt{3}+4$
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Exercice 8:
1) Comparer : $2 \sqrt{3}$ et $\sqrt{13}$
2) En déduire la comparaison de ce qui suit :
• $-2 \sqrt{3}$ et $-\sqrt{13}$
• $2 \sqrt{3}-5$ et $\sqrt{13}-5$
• $1-6 \sqrt{3}$ et $1-3 \sqrt{13}$
• $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ et $\frac{5}{\sqrt{13}}$
• $\frac{1}{2 \sqrt{3}+3}$ et $\frac{1}{\sqrt{13}+3}$
• $\sqrt{3+2 \sqrt{3}}$ et $\sqrt{5+\sqrt{13}}$
3) a) Développer et réduire : $(2 \sqrt{3}-\sqrt{13})^{2}$
b) En déduire une simplification de : $\sqrt{25-4 \sqrt{39}}$
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Exercice 9:
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tel que : $2 \leqslant a \leqslant 3$ et $-4 \leqslant b \leqslant-3$
Encadrer :
$\star a+b$
$\star a-b$
$\star a b$
$\star \frac{a}{b}$
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Exercice 10:
Soit $a, b$ et $c$ trois nombres réels tel que : $6 \leqslant a \leqslant 8,-4 \leqslant b \leqslant-2$ et $-3 \leqslant c \leqslant 5$
Encadrer :
$\star a^{2}$
$\star b^{2}$
$\star a+2 b-4 c$
$\star \frac{a+b}{b^{2}}$
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Exercice 11:
$x, y$ et $z$ trois nombres réels tels que : $-4 \leq x \leq 5$ et $-5 \leq y \leq-3$ et $3 \leq z \leq 7$
1) Encadrer: $2 y-1 ; -x+5 ; z-y \quad ; \quad y z \quad ; \quad y^{2}+z^{2} ; \frac{x-3 y}{y^{2}+2}$
2) Simplifier : $U=\sqrt{(y+3)^{2}}+\sqrt{(y+5)^{2}}$ et $V=\sqrt{(x+4)^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}}+(1-2 x)$
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Exercice 12:
$x$ un nombre réel positif tel que : $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{x+3}} \leq \frac{1}{2}$. Montrer que : $1 \leq x \leq 6$
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Exercice 13:
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels positifs tels que : $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ et $0 \leq y^{2}+2 y-x^{2} \leq 1$.
Montrer que : $0 \leq y \leq 1$
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