Ordre et Opérations – Évaluations corrigés

Évaluation de Mathématiques

Ordre et opérations

Matière :Mathématiques

Niveau :3^ème Année Collège

Durée :45 min

Barème :20 points

Exercice 1 : Questions de cours (4 points)

4 pts

1) Quelle est la règle fondamentale pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$ ? (1 pt)

2) Que devient l’ordre si on multiplie une inégalité par un nombre $c > 0$ ? (1 pt)

3) Que devient l’ordre si on multiplie une inégalité par un nombre $c < 0$ ? (1 pt)

4) Que devient l’ordre si on prend l’inverse de deux nombres strictement positifs ? (1 pt)

Exercice 2 : Comparaison par la différence (4 points)

4 pts

Comparer les nombres suivants en utilisant la méthode de la différence :

1) $\dfrac{4}{35}$ et $\dfrac{2}{15}$ (1 pt)

2) $2\sqrt{3} – 4$ et $\sqrt{3} – 5$ (1 pt)

3) $x$ et $y$ sachant que $x = y – 3$ (1 pt)

4) $3\sqrt{3}$ et $4\sqrt{2}$ (1 pt)

Exercice 3 : Ordre et opérations (4 points)

4 pts

1) Soient $a$ et $b$ tels que $a + 4 \leq b$. Montrer que $a + 1 \leq b$. (1 pt)

2) Soient $a$ et $b$ tels que $a + 3 \leq 3$ et $b + 4 \leq \sqrt{2}$. Montrer que $a + b + 7 \leq \sqrt{2} + 3$. (1 pt)

3) Soient $a$ et $b$ tels que $a \geq \dfrac{4}{3}$ et $b \geq \sqrt{3}$. Déduire un ordre de $3a$ et de $-2b$. (2 pts)

Exercice 4 : Encadrement (4 points)

4 pts

On donne : $2 \leq x \leq 5$ et $-3 \leq y \leq -1$.

1) Encadrer $x + y$. (1 pt)

2) Encadrer $-x$. (1 pt)

3) Encadrer $x – y$. (1 pt)

4) Encadrer $xy$ sachant que $x > 0$ et $y < 0$. (1 pt)

Exercice 5 : Synthèse (4 points)

4 pts

1) Soit $x$ tel que $x \geq 1$. Montrer que $\dfrac{-5}{x+2\sqrt{3}} \geq \dfrac{-5}{1+2\sqrt{3}}$. (2 pts)

2) Comparer $-\sqrt{91}$ et $-6\sqrt{3}$. (1 pt)

3) Soient $x$ et $y$ positifs tels que $x < \sqrt{3}$ et $y < 2\sqrt{6}$. Montrer que $xy < 6\sqrt{2}$. (1 pt)

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Modèle $N°1$

Exercice 1：$(4,5pts)$

$1)$ Comparer les nombres suivants :

$\quad-\sqrt{2}\quad$ et $\quad-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\quad ; \quad \frac{3}{7}+3^{2020}\quad$ et $\quad\frac{12}{5}+3^{2020}\quad ; \quad-\sqrt{3} \times \frac{5}{9}\quad$ et $\quad-\sqrt{3} \times \frac{7}{18}$

$2)$ Soit $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $x>0$ et $y<0$

Comparer les inégalités suivantes :

$ x+y \text { et } y-x \quad ; \quad 3 y+x \text { et } 4 y+x $

$3)$ Comparer les nombres réels a et b tels que :

$ a=\sqrt{12}+\sqrt{27} \quad \text { et } \quad b = \sqrt{48} $

Exercice 2：$(5pts)$

$1)$ Comparer les nombres suivants :

$3 \sqrt{3}\quad$ et $\quad2 \sqrt{7} \quad ; \quad-3 \sqrt{3}+1 \quad$ et $\quad-2 \sqrt{7}+1\quad ; \quad 3 \sqrt{5}\quad $ et $\quad\sqrt{3}-\sqrt{17}$

$\sqrt{7+2 \sqrt{11}}\quad$ et $\quad\sqrt{3}+2 \quad $

$2)$ Soit a et $b$ deux nombres réels positifs tels que : $\mathrm{a} \leq \mathrm{b}$

• Montrer que : $a+1 \leq \mathrm{b}+\frac{5}{4} \quad$ et $\quad b+\sqrt{7} \geq a-3 \sqrt{7}$

• Comparer les nombres suivants : $b^{2}\quad$ et $\quad\frac{a^{2}+3 b^{2}}{4}$

Exercice 3：$(2,5pts)$

On pose : $a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ et $b=\frac{\sqrt{3}+5}{2}$

$1)$ Montrer que : $a-b=\frac{\sqrt{3}-7}{2}$

$2)$ Compare ces nombres : 7 et $\sqrt{3}$

$3)$ Déduire une comparaison des nombres : a et b

Exercice 4：$(8pts)$

Soit $a$ et $b$ et $c$ trois nombres réels tels que :

$9 \leq a \leq 16 \quad$ et $\quad 6 \leq b \leq 7 \quad$ et $\quad \frac{1}{2} \leq \frac{3 c-1}{2} \leq 1$

$1)$ Montrer que : $\frac{2}{3} \leq c \leq 1$

$2)$ donner un encadrement de $: a+b\quad ;\quad a-b \quad ;\quad-3 a+2 b-15$

$3)$ donner un encadrement de : $\quad a b \quad; \quad\frac{a}{b}\quad ;\quad \frac{2 a-b}{a+b}\quad ; \quad\sqrt{a}$

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