Comparaison de deux nombres réels

Règle : Pour comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\), on étudie le signe de leur différence \(a – b\).

\(\star\) Si \(a – b \leq 0\), alors \(a \leq b\)

\(\star\) Si \(a – b \geq 0\), alors \(a \geq b\)

📌 Exemple 1 : Comparer \(a = \frac{4}{35}\) et \(b = \frac{2}{15}\)

Étape 1 : On calcule la différence \(a – b\).
\(a – b = \frac{4}{35} – \frac{2}{15}\)
Étape 2 : On réduit au même dénominateur. Le PPCM de 35 et 15 est 105.
\(\frac{4}{35} = \frac{4 \times 3}{35 \times 3} = \frac{12}{105}\) et \(\frac{2}{15} = \frac{2 \times 7}{15 \times 7} = \frac{14}{105}\)
Étape 3 : On soustrait les numérateurs.
\(a – b = \frac{12}{105} – \frac{14}{105} = \frac{12 – 14}{105} = \frac{-2}{105}\)
Étape 4 : On étudie le signe. \(\frac{-2}{105} < 0\), donc \(a – b < 0\).
Conclusion : \(a < b\), c’est-à-dire \(\frac{4}{35} < \frac{2}{15}\).

📌 Exemple 2 : Comparer \(2\sqrt{3} – 4\) et \(\sqrt{3} – 5\)

Étape 1 : On calcule la différence.
\((2\sqrt{3} – 4) – (\sqrt{3} – 5)\)
Étape 2 : On développe en distribuant le signe moins.
\(= 2\sqrt{3} – 4 – \sqrt{3} + 5\)
Étape 3 : On regroupe les termes semblables.
\(= (2\sqrt{3} – \sqrt{3}) + (-4 + 5)\)
\(= \sqrt{3} + 1\)
Étape 4 : On étudie le signe. \(\sqrt{3} + 1 > 0\) (car \(\sqrt{3} \approx 1,73\) et \(1,73 + 1 = 2,73 > 0\)).
Donc la différence est positive.
Conclusion : \(2\sqrt{3} – 4 > \sqrt{3} – 5\).

📌 Exemple 3 : Comparer \(x\) et \(y\) sachant que \(x = y – 3\)

Étape 1 : On calcule la différence \(x – y\).
\(x – y = (y – 3) – y\)
Étape 2 : On simplifie.
\(= y – 3 – y = -3\)
Étape 3 : On étudie le signe. \(-3 < 0\), donc \(x – y < 0\).
Conclusion : \(x < y\).

📌 Application 1 : Comparer \(\frac{12}{7}\) et \(\frac{15}{14}\)

On calcule \(\frac{15}{14} – \frac{12}{7} = \frac{15}{14} – \frac{24}{14} = \frac{-9}{14} < 0\)
Donc \(\frac{15}{14} < \frac{12}{7}\).

📌 Application 2 : Comparer \(7 + \sqrt{2}\) et \(-3\sqrt{2} – 1\)

\((7 + \sqrt{2}) – (-3\sqrt{2} – 1) = 7 + \sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 8 > 0\)
Donc \(7 + \sqrt{2} > -3\sqrt{2} – 1\).

📌 Application 3 : Comparer \(\sqrt{3} – 1\) et \(5\sqrt{3} + 4\)

\((5\sqrt{3} + 4) – (\sqrt{3} – 1) = 5\sqrt{3} + 4 – \sqrt{3} + 1 = 4\sqrt{3} + 5 > 0\)
Donc \(\sqrt{3} – 1 < 5\sqrt{3} + 4\).

Ordre et opérations

Proposition : Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.

\(\star\) Si \(a \leq b\) alors \(a + c \leq b + c\)

\(\star\) Si \(a + c \leq b + c\) alors \(a \leq b\)

📌 Exemple : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a + 4 \leq b\). Montrer que \(a + 1 \leq b\).

Étape 1 : On a \(a + 4 \leq b\).
Étape 2 : On soustrait 3 aux deux membres de l’inégalité (c’est comme ajouter \(-3\)).
\(a + 4 – 3 \leq b – 3\)
Étape 3 : On simplifie.
\(a + 1 \leq b – 3\)
Conclusion : On a montré que \(a + 1 \leq b – 3\). Mais l’énoncé demandait \(a + 1 \leq b\).
Remarque : Puisque \(b – 3 < b\), on a bien \(a + 1 \leq b – 3 < b\), donc \(a + 1 < b\).
Donc : \(a + 1 \leq b\).

Proposition : Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels.

\(\star\) Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(a + c \leq b + d\)

📌 Exemple : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a + 3 \leq 3\) et \(b + 4 \leq \sqrt{2}\). Montrer que \(a + b + 7 \leq \sqrt{2} + 3\).

Étape 1 : On additionne les deux inégalités membre à membre.
\((a + 3) + (b + 4) \leq 3 + \sqrt{2}\)
Étape 2 : On regroupe les termes.
\(a + b + 7 \leq \sqrt{2} + 3\)
Conclusion : \(a + b + 7 \leq \sqrt{2} + 3\).

Proposition : Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.

\(\star\) Si \(a \leq b\) et \(c > 0\) alors \(a \times c \leq b \times c\)

\(\star\) Si \(a \leq b\) et \(c < 0\) alors \(a \times c \geq b \times c\)

📌 Exemple : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a \geq \frac{4}{3}\) et \(b \geq \sqrt{3}\). Déduire un ordre de \(3a\) et de \(-2b\).

Pour \(3a\) :
\(a \geq \frac{4}{3}\)
On multiplie par \(3 > 0\) (l’ordre ne change pas).
\(3 \times a \geq 3 \times \frac{4}{3}\)
\(3a \geq 4\)

Pour \(-2b\) :
\(b \geq \sqrt{3}\)
On multiplie par \(-2 < 0\) (l’ordre change).
\(-2 \times b \leq -2 \times \sqrt{3}\)
\(-2b \leq -2\sqrt{3}\)

Proposition : Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels positifs.

\(\star\) Si \(\begin{cases} a \leq b \\ c \leq d \end{cases}\) alors \(a \times c \leq b \times d\)

📌 Exemple : Soient \(x\) et \(y\) positifs tels que \(x < \sqrt{3}\) et \(y < 2\sqrt{6}\). Montrer que \(xy < 6\sqrt{2}\).

Étape 1 : On multiplie les deux inégalités (tous les nombres sont positifs).
\(x \times y < \sqrt{3} \times 2\sqrt{6}\)
Étape 2 : On simplifie le membre de droite.
\(\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 2\sqrt{3 \times 6} = 2\sqrt{18}\)
Étape 3 : On simplifie \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\).
\(2\sqrt{18} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
Conclusion : \(xy < 6\sqrt{2}\).

📌 Application : Soient \(x\) et \(y\) tels que \(x \geq 1\) et \(y \geq 2\). Montrer que \((x-1)(y-2) \geq 0\).

Étape 1 : \(x \geq 1\) donc \(x – 1 \geq 0\).
Étape 2 : \(y \geq 2\) donc \(y – 2 \geq 0\).
Étape 3 : Le produit de deux nombres positifs est positif.
\((x-1)(y-2) \geq 0\).

Proposition : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs.

\(\star\) Si \(a \leq b\) alors \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\) (la réciproque est vraie)

Remarque : L’inverse change l’ordre.
Exemples :
• \(2 \leq 4\) donc \(\frac{1}{2} \geq \frac{1}{4}\)
• \(11 > 5\) donc \(\frac{1}{11} < \frac{1}{5}\)

📌 Application : Soit \(x\) tel que \(x \geq 1\). Montrer que \(\frac{-5}{x+2\sqrt{3}} \geq \frac{-5}{1+2\sqrt{3}}\).

Étape 1 : \(x \geq 1\) donc \(x + 2\sqrt{3} \geq 1 + 2\sqrt{3}\).
Étape 2 : On prend l’inverse (l’ordre change car les nombres sont positifs).
\(\frac{1}{x+2\sqrt{3}} \leq \frac{1}{1+2\sqrt{3}}\)
Étape 3 : On multiplie par \(-5 < 0\) (l’ordre change à nouveau).
\(\frac{-5}{x+2\sqrt{3}} \geq \frac{-5}{1+2\sqrt{3}}\).

Proposition (Carré) : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs.

\(a \leq b \iff a^2 \leq b^2\)

Remarque : Si \(a\) et \(b\) sont négatifs, alors \(a \leq b \iff a^2 \geq b^2\).
L’ordre change dans les cas suivants :

• On multiplie par un nombre négatif
• On fait l’inverse
• On prend le carré de deux nombres négatifs

📌 Exemple 1 : Comparer 3 et \(2\sqrt{2}\).

Étape 1 : On compare les carrés (les deux nombres sont positifs).
\(3^2 = 9\) et \((2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8\)
Étape 2 : \(9 > 8\), donc \(3^2 > (2\sqrt{2})^2\).
Conclusion : \(3 > 2\sqrt{2}\).

📌 Exemple 2 : Comparer \(-2\sqrt{5}\) et \(-3\sqrt{2}\).

Étape 1 : On compare les carrés des valeurs absolues (les nombres sont négatifs).
\((2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20\) et \((3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\)
Étape 2 : \(20 > 18\), donc \(2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}\).
Étape 3 : Comme les nombres sont négatifs, l’ordre s’inverse.
\(-2\sqrt{5} < -3\sqrt{2}\).

Proposition (Racine carrée) : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs.

\(\star\) Si \(a \leq b\) alors \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\)

\(\star\) Si \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\) alors \(a \leq b\)

📌 Application 1 : Comparer \(3\sqrt{3}\) et \(4\sqrt{2}\).

\((3\sqrt{3})^2 = 27\) et \((4\sqrt{2})^2 = 32\)
\(27 < 32\), donc \(3\sqrt{3} < 4\sqrt{2}\).

📌 Application 2 : Comparer \(-\sqrt{91}\) et \(-6\sqrt{3}\).

\(\sqrt{91}^2 = 91\) et \((6\sqrt{3})^2 = 108\)
\(91 < 108\), donc \(\sqrt{91} < 6\sqrt{3}\)
Comme les nombres sont négatifs, \(-\sqrt{91} > -6\sqrt{3}\).

📌 Application 3 : Comparer \(\sqrt{5}+4\) et \(\sqrt{3}+4\).

\(\sqrt{3}^2 = 3\) et \(\sqrt{5}^2 = 5\)
\(3 < 5\), donc \(\sqrt{3} < \sqrt{5}\)
Alors \(\sqrt{3}+4 < \sqrt{5}+4\).

Encadrement

Proposition : Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\), alors \(a + c \leq x + y \leq b + d\).

📌 Exemple : \(2 \leq x \leq 5\) et \(-3 \leq y \leq -1\). Encadrer \(x + y\).

\(2 + (-3) \leq x + y \leq 5 + (-1)\)
\(-1 \leq x + y \leq 4\)

Proposition : Si \(a \leq x \leq b\), alors \(-b \leq -x \leq -a\).

📌 Exemple : \(-4 \leq x \leq 3\). Encadrer \(-x\).

\(-3 \leq -x \leq 4\)

Proposition : Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\), alors \(a – d \leq x – y \leq b – c\).

📌 Exemple : \(3 \leq x \leq 8\) et \(-4 \leq y \leq 2\). Encadrer \(x – y\).

Méthode 1 : \(3 – 2 \leq x – y \leq 8 – (-4)\)
\(1 \leq x – y \leq 12\)

Méthode 2 (avec l’opposé) :
\(-4 \leq y \leq 2\) donc \(-2 \leq -y \leq 4\)
\(3 + (-2) \leq x + (-y) \leq 8 + 4\)
\(1 \leq x – y \leq 12\)

Proposition (cas positif) : Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\) avec \(a, b, c, d > 0\), alors \(a \times c \leq x \times y \leq b \times d\).

📌 Cas 1 : Tous positifs \(3 \leq x \leq 7\) et \(1 \leq y \leq 4\).

\(3 \times 1 \leq xy \leq 7 \times 4\)
\(3 \leq xy \leq 28\)

📌 Cas 2 : x positif, y négatif \(4 \leq x \leq 8\) et \(-5 \leq y \leq -2\).

Étape 1 : On rend y positif en prenant \(-y\).
\(-5 \leq y \leq -2\) donc \(2 \leq -y \leq 5\)
Étape 2 : On encadre \(x \times (-y)\) (tous positifs).
\(4 \times 2 \leq x \times (-y) \leq 8 \times 5\)
\(8 \leq -xy \leq 40\)
Étape 3 : On en déduit l’encadrement de \(xy\).
\(-40 \leq xy \leq -8\)

Proposition : Si \(a \leq x \leq b\) avec \(a > 0\), alors \(\frac{1}{b} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a}\).

📌 Exemple : \(2 \leq x \leq 4\).

\(\frac{1}{4} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}\)

Proposition : Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\) avec \(a, b, c, d > 0\), alors \(\frac{a}{d} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{b}{c}\).

📌 Cas 1 : Tous positifs \(6 \leq x \leq 10\) et \(2 \leq y \leq 3\).

Étape 1 : On encadre \(\frac{1}{y}\).
\(2 \leq y \leq 3\) donc \(\frac{1}{3} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}\)
Étape 2 : On multiplie les encadrements.
\(6 \times \frac{1}{3} \leq x \times \frac{1}{y} \leq 10 \times \frac{1}{2}\)
\(2 \leq \frac{x}{y} \leq 5\)

📌 Cas 2 : x positif, y négatif \(2 \leq x \leq 5\) et \(-4 \leq y \leq -2\).

Étape 1 : On rend y positif.
\(-4 \leq y \leq -2\) donc \(2 \leq -y \leq 4\)
Étape 2 : On encadre \(\frac{1}{-y}\).
\(\frac{1}{4} \leq \frac{-1}{y} \leq \frac{1}{2}\)
Étape 3 : On multiplie par x (positif).
\(2 \times \frac{1}{4} \leq x \times \frac{-1}{y} \leq 5 \times \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2} \leq \frac{-x}{y} \leq \frac{5}{2}\)
Étape 4 : On en déduit l’encadrement de \(\frac{x}{y}\).
\(\frac{-5}{2} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{-1}{2}\)

Tableau récapitulatif