Ordre et Opérations exercices corrigés 3AC
📋Exercice : Questions de cours (Ordre et opérations)
Quelle est la règle fondamentale pour comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\) ?
Énoncer la propriété de l’ordre et de l’addition. Que peut-on dire si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) ?
Énoncer les propriétés de l’ordre et de la multiplication. Que se passe-t-il si on multiplie par un nombre positif ? Par un nombre négatif ?
Comment se comporte l’inverse d’un nombre par rapport à l’ordre ? Donner un exemple.
Énoncer la propriété de l’ordre et du carré pour les nombres positifs. Et pour les nombres négatifs ?
Comment se comporte la racine carrée par rapport à l’ordre ? Donner un exemple.
Comment encadre-t-on la somme \(x + y\) si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) ? Donner la formule.
Comment encadre-t-on la différence \(x – y\) si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) ? Donner la formule.
Comment encadre-t-on le produit \(x \times y\) si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) avec tous les nombres positifs ? Donner la formule.
Écrire le tableau récapitulatif des propriétés de l’ordre (addition, multiplication, inverse, carré, racine carrée).
Pour comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\), on étudie le signe de leur différence \(a – b\).
- Si \(a – b \leq 0\), alors \(a \leq b\).
- Si \(a – b \geq 0\), alors \(a \geq b\).
- Si \(a \leq b\), alors \(a + c \leq b + c\) pour tout réel \(c\).
- Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\), alors \(a + c \leq b + d\).
- Si \(a \leq b\) et \(c > 0\), alors \(a \times c \leq b \times c\) (l’ordre est conservé).
- Si \(a \leq b\) et \(c < 0\), alors \(a \times c \geq b \times c\) (l’ordre est inversé).
Pour \(a\) et \(b\) strictement positifs :
- Si \(a \leq b\), alors \(\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\) (l’ordre est inversé).
- Pour des nombres positifs : \(0 \leq a \leq b \Rightarrow a^2 \leq b^2\) (l’ordre est conservé).
- Pour des nombres négatifs : \(a \leq b \leq 0 \Rightarrow a^2 \geq b^2\) (l’ordre est inversé).
Pour \(a\) et \(b\) positifs :
- Si \(a \leq b\), alors \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\) (l’ordre est conservé).
Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\), alors :
Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\), alors :
Si \(\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}\) avec \(a, b, c, d > 0\), alors :
| Opération | Condition | Règle | Exemple |
|---|---|---|---|
| Addition | \(a \leq b\) | \(a + c \leq b + c\) | \(2 \leq 3 \Rightarrow 5 \leq 6\) |
| Multiplication | \(a \leq b\), \(c > 0\) | \(ac \leq bc\) | \(2 \leq 3 \Rightarrow 6 \leq 9\) |
| Multiplication | \(a \leq b\), \(c < 0\) | \(ac \geq bc\) | \(2 \leq 3 \Rightarrow -6 \geq -9\) |
| Inverse | \(0 < a \leq b\) | \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\) | \(\frac{1}{2} \geq \frac{1}{4}\) |
| Carré (positifs) | \(0 \leq a \leq b\) | \(a^2 \leq b^2\) | \(3 \leq 4 \Rightarrow 9 \leq 16\) |
| Carré (négatifs) | \(a \leq b \leq 0\) | \(a^2 \geq b^2\) | \(-4 \leq -3 \Rightarrow 16 \geq 9\) |
| Racine carrée | \(0 \leq a \leq b\) | \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\) | \(\sqrt{2} \leq \sqrt{3}\) |
📐Exercice 1 : Comparaison de nombres réels
Comparer les nombres suivants :
Comparer les nombres \(a = \dfrac{4}{35}\) et \(b = \dfrac{2}{15}\).
Comparer les nombres \(2\sqrt{3} – 4\) et \(\sqrt{3} – 5\).
Comparer \(x\) et \(y\) sachant que : \(x = y – 3\).
Rappel :
• Pour comparer deux nombres \(a\) et \(b\), on étudie le signe de la différence \(a – b\).
• Si \(a – b > 0\), alors \(a > b\). Si \(a – b < 0\), alors \(a < b\). Si \(a – b = 0\), alors \(a = b\).
Étape 1 : On calcule la différence \(a – b\).
Étape 2 : On réduit au même dénominateur (PPCM de 35 et 15 = 105).
Étape 3 : On soustrait les numérateurs.
Étape 4 : On étudie le signe de la différence.
Étape 1 : On calcule la différence.
Étape 2 : On développe en distribuant le signe moins.
Étape 3 : On regroupe les termes semblables.
Étape 4 : On étudie le signe de la différence.
Étape 1 : On calcule la différence \(x – y\).
Étape 2 : On simplifie.
Étape 3 : On étudie le signe de la différence.
📐Exercice 2 : Comparaison de nombres avec racines carrées
On pose : \(a = \sqrt{45} + 2\sqrt{5}\) et \(b = 3\sqrt{20}\).
Montrer que : \(a – b = -\sqrt{5}\).
En déduire une comparaison de \(a\) et \(b\).
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📐Exercice 3 : Comparaison de nombres réels
Comparer les deux nombres dans chaque cas :
Comparer \(\dfrac{12}{7}\) et \(\dfrac{15}{14}\).
Comparer \(7 + \sqrt{2}\) et \(-3\sqrt{2} – 1\).
Comparer \(\sqrt{3} – 1\) et \(5\sqrt{3} + 4\).
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📐Exercice 4 : Ordre et opérations
Répondre aux questions suivantes :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que : \(a + 4 \leqslant b\).
Montrer que : \(a + 1 \leqslant b\).
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que :
\(a + 3 \leqslant 3\) et \(b + 4 \leqslant \sqrt{2}\).
Montrer que : \(a + b + 7 \leqslant \sqrt{2} + 3\).
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que :
\(a \geqslant \dfrac{4}{3}\) et \(b \geqslant \sqrt{3}\).
Déduire un ordre de \(3a\) et de \(-2b\).
Rappel :
• Si \(a \leqslant b\), alors \(a + c \leqslant b + c\) pour tout réel \(c\).
• Si \(a \leqslant b\) et \(c \leqslant d\), alors \(a + c \leqslant b + d\).
• Si \(a \geqslant b\) et \(c > 0\), alors \(ac \geqslant bc\).
• Si \(a \geqslant b\) et \(c < 0\), alors \(ac \leqslant bc\).
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📐Exercice 5 : Ordre et opérations (produit, inverse)
Répondre aux questions suivantes :
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels positifs tels que :
\(x < \sqrt{3}\) et \(y < 2\sqrt{6}\).
Montrer que : \(xy < 6\sqrt{2}\).
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que :
\(x \geqslant 1\) et \(y \geqslant 2\).
Montrer que : \((x-1)(y-2) \geqslant 0\).
Soit \(x\) un nombre réel tel que \(x \geqslant 1\).
Montrer que : \(\dfrac{-5}{x+2\sqrt{3}} \geqslant \dfrac{-5}{1+2\sqrt{3}}\).
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📐Exercice 6 : Ordre et comparaisons
Répondre aux questions suivantes :
\(x\) et \(y\) sont deux nombres réels tels que \(x \leqslant y\).
Comparer \(x\) et \(\dfrac{2x+y}{3}\).
\(a\) est un nombre réel tel que \(a \geqslant 3\).
Montrer que : \(\dfrac{1-a}{2} \leqslant -1\).
\(m\) et \(n\) sont deux nombres réels strictement positifs.
Montrer que : \(\dfrac{m+2n}{4n} \geqslant \dfrac{2m}{m+2n}\).
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📐Exercice 7 : Comparaison avec des racines carrées
Comparer les nombres suivants :
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📐Exercice 8 : Comparaison avec des racines carrées
Comparer : \(2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{13}\).
En déduire la comparaison de ce qui suit :
- \(-2\sqrt{3}\) et \(-\sqrt{13}\)
- \(2\sqrt{3}-5\) et \(\sqrt{13}-5\)
- \(1-6\sqrt{3}\) et \(1-3\sqrt{13}\)
- \(\dfrac{5}{2\sqrt{3}}\) et \(\dfrac{5}{\sqrt{13}}\)
- \(\dfrac{1}{2\sqrt{3}+3}\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{13}+3}\)
- \(\sqrt{3+2\sqrt{3}}\) et \(\sqrt{5+\sqrt{13}}\)
.
a) Développer et réduire : \((2\sqrt{3}-\sqrt{13})^2\).
b) En déduire une simplification de : \(\sqrt{25-4\sqrt{39}}\).
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📐Exercice 9 : Encadrement de nombres réels
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que :
Encadrer :
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📐Exercice 10 : Encadrement de nombres réels
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels tels que :
Encadrer :
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📐Exercice 11 : Encadrement et simplification
\(x\), \(y\) et \(z\) sont trois nombres réels tels que :
Encadrer :
\(2y – 1\) ; \(-x + 5\) ; \(z – y\) ; \(y \times z\) ; \(y^2 + z^2\) ; \(\dfrac{x – 3y}{y^2 + 2}\)
Simplifier :
\(U = \sqrt{(y+3)^2} + \sqrt{(y+5)^2}\) et \(V = \sqrt{(x+4)^2} – \sqrt{(x-5)^2} + (1 – 2x)\)
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📐Exercice 12 : Encadrement avec racine carrée
\(x\) est un nombre réel positif tel que :
Montrer que \(1 \leqslant x \leqslant 6\).
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📐Exercice 13 : Encadrement
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels positifs tels que :
Montrer que \(0 \leqslant y \leqslant 1\).
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📐Exercice 14 : Encadrement de nombres réels
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que :
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📐Exercice 15 : Comparaison de nombres rationnels
Soit \(x \in \mathbb{R}^+\). On pose :
Montrer que :
\(b = 2 – \dfrac{1}{x+2}\) et \(a = 2 – \dfrac{1}{x+3}\)
En déduire que : \(b < a\).
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📐Exercice 16 : Encadrement de nombres réels
Soit \(a = x + \dfrac{1}{x}\).
On donne : \(-2 \leqslant y \leqslant -1\) et \(\dfrac{1}{3} \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{2}\).
Donner un encadrement de \(a^2\).
Encadrer \(\dfrac{x}{y}\).
Montrer que : \(\dfrac{\sqrt{55}}{3} \leqslant a \leqslant \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\).
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