Produit et quotient des nombres rationnels exercices corrigés 2AC

📋Exercice : Questions de cours (Produit et quotient des nombres rationnels)

Énoncer la règle de multiplication de deux nombres rationnels \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\). Donner la formule générale.

Comment simplifier une fraction avant de la multiplier avec une autre ? Donner un exemple.

Que donne le produit d’un nombre rationnel par 1 ? Par 0 ? Par -1 ? Donner un exemple pour chaque cas.

Définir l’inverse d’un nombre rationnel non nul. Comment note-t-on l’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) ? Donner deux exemples.

Énoncer la règle de la division de deux nombres rationnels. Donner la formule générale.

Comment multiplier un nombre entier par une fraction ? Donner un exemple.

Énoncer la propriété d’associativité du produit de trois nombres rationnels. Donner un exemple.

Donner un exemple complet de division de deux fractions en détaillant toutes les étapes (avec simplification).

Quelle est la différence entre multiplier et diviser deux fractions ? Donner un exemple illustratif.

Écrire le tableau récapitulatif des opérations de multiplication, division et inverse des nombres rationnels (formules et exemples).

📝 Correction

1) Multiplication de deux nombres rationnels

Pour multiplier deux nombres rationnels \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\), on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

2) Simplification avant multiplication

Avant de multiplier, on peut simplifier les fractions verticalement (à l’intérieur d’une fraction) ou diagonalement (entre les deux fractions) en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple : \(\frac{35}{18} \times \frac{-9}{15} = \frac{7}{18} \times \frac{-9}{3} = \frac{7}{2} \times \frac{-1}{3} = -\frac{7}{6}\)

On a simplifié 35 et 15 par 5, puis 18 et -9 par 9.

3) Multiplication par 1, 0 et -1

\(\frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}\) → L’élément neutre de la multiplication est 1.
Exemple : \(\frac{-13}{27} \times 1 = \frac{-13}{27}\)
\(\frac{a}{b} \times 0 = 0\) → Tout nombre multiplié par 0 donne 0.
Exemple : \(\frac{127}{141} \times 0 = 0\)
\(\frac{a}{b} \times (-1) = -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b}\)
Exemple : \(\frac{19}{110} \times (-1) = -\frac{19}{110}\)

4) Inverse d’un nombre rationnel

L’inverse d’un nombre rationnel non nul \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre \(\dfrac{b}{a}\). On le note \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}\).

Le produit d’un nombre par son inverse est égal à 1.

Exemples :

• Inverse de \(\frac{-11}{5}\) est \(-\frac{5}{11}\) car \(\frac{-11}{5} \times \frac{5}{-11} = 1\).

• Inverse de \(-17\) est \(-\frac{1}{17}\).

5) Division de deux nombres rationnels

Pour diviser deux nombres rationnels, on multiplie le premier par l’inverse du second.

\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}\)

6) Multiplication d’un entier par une fraction

On transforme le nombre entier en fraction en l’écrivant avec un dénominateur égal à 1.

Exemple : \(5 \times \frac{3}{4} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\)

7) Associativité du produit

Le produit de trois nombres rationnels est associatif :

\(x \times y \times z = (x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Exemple : \(\frac{25}{6} \times \frac{24}{15} \times \frac{9}{8} = \frac{15}{2}\)

On peut regrouper les fractions comme on veut pour faciliter les calculs.

8) Exemple complet de division

Calculer : \(\frac{12}{8} \div \frac{25}{15}\)

Étape 1 : Transformer la division en multiplication par l’inverse.

\(\frac{12}{8} \div \frac{25}{15} = \frac{12}{8} \times \frac{15}{25}\)

Étape 2 : Simplifier les fractions.

\(\frac{12}{8} = \frac{3}{2}\) (division par 4) et \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\) (division par 5)

Étape 3 : Multiplier les fractions simplifiées.

\(\frac{3}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{10}\)

Résultat : \(\frac{9}{10}\)

9) Différence entre multiplication et division

Multiplication : On multiplie directement les numérateurs et les dénominateurs.

Division : On multiplie par l’inverse de la deuxième fraction.

Exemple avec \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{4}{5}\) :

Multiplication : \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\)

Division : \(\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)

10) Tableau récapitulatif

<td

Opération	Formule	Exemple
Multiplication	\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)	\(\frac{-3}{7} \times \frac{-11}{2} = \frac{33}{14}\)
Multiplication par 1	\(\frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}\)	\(\frac{-13}{27} \times 1 = \frac{-13}{27}\)
Multiplication par 0	\(\frac{a}{b} \times 0 = 0\)	\(\frac{127}{141} \times 0 = 0\)
Multiplication par -1	\(\frac{a}{b} \times (-1) = -\frac{a}{b}\)	\(\frac{19}{110} \times (-1) = -\frac{19}{110}\)
Inverse

🔢Exercice 1 : Produit de nombres rationnels

Calculer en donnant le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{4}{3}\)

\(B = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{2}{3}\)

\(C = 7 \times \dfrac{4}{11}\)

\(D = \dfrac{7}{11} \times 4\)

\(E = 9 \times \dfrac{-4}{5}\)

\(F = \dfrac{-2}{5} \times \dfrac{9}{5}\)

\(G = \dfrac{-7}{6} \times \dfrac{5}{-9}\)

\(H = \dfrac{7}{-10} \times \dfrac{-11}{-3}\)

\(I = \dfrac{-11}{-4} \times \dfrac{-9}{-13}\)

\(J = -\dfrac{-5}{-7} \times \left(-\dfrac{15}{-2}\right)\)

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

🔢Exercice 2 : Produit de nombres rationnels (avec simplification)

Calculer en prenant le soin de simplifier avant de calculer :

Questions

\(A = \dfrac{2}{-3} \times \dfrac{-11}{5} \times \dfrac{-5}{7}\)

\(B = \dfrac{-3}{-4} \times \dfrac{-5}{-2} \times \dfrac{4}{3}\)

\(C = \dfrac{-2}{-11} \times \dfrac{-5}{-6} \times \dfrac{-3}{35}\)

\(D = \dfrac{-4}{15} \times \left(-\dfrac{-21}{-6}\right) \times \dfrac{-10}{14}\)

\(E = \dfrac{8}{25} \times \dfrac{77}{6} \times \left(-\dfrac{20}{88}\right)\)

\(F = \dfrac{23}{51} \times \dfrac{-13}{-19} \times \dfrac{-7}{9} \times \dfrac{0}{34}\)

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🔢Exercice 3 : Inverse d’un nombre rationnel

Compléter les pointillés par le nombre qui convient :

Questions

a. \(\dfrac{-4}{5} \times \dfrac{5}{-4} = \ldots\)

b. \(\dfrac{-7}{3} \times \dfrac{-3}{7} = \ldots\)

c. \(\dfrac{5}{2} \times \dfrac{\ldots}{\ldots} = 1\)

d. \(\ldots \times \dfrac{1}{-3} = 1\)

e. \(-\dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{-8} = \ldots\)

f. \(\dfrac{-4}{-5} \times \dfrac{5}{4} = \ldots\)

g. \(\dfrac{-7}{13} \times \dfrac{13}{7} = \ldots\)

h. \(\dfrac{\ldots}{\ldots} \times 5 = 1\)

i. \(\dfrac{\ldots}{\ldots} \times (-3) = -1\)

j. \(\dfrac{-2}{5} \times \dfrac{\ldots}{\ldots} = -1\)

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🔢Exercice 4 : Inverse d’un nombre rationnel

Donner l’inverse de chacun de ces nombres en écriture fractionnaire :

Questions

a) Inverse de \(\dfrac{2}{3}\)

b) Inverse de \(\dfrac{7}{4}\)

c) Inverse de \(\dfrac{8}{-5}\)

d) Inverse de \(\dfrac{-6}{7}\)

e) Inverse de \(\dfrac{-11}{-9}\)

f) Inverse de \(-\dfrac{2}{3}\)

g) Inverse de \(\dfrac{-5}{-2}\)

h) Inverse de \(-\left(\dfrac{-2}{-5}\right)\)

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🔢Exercice 5 : Quotient de nombres rationnels

Calculer en donnant le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{2}{3} : \dfrac{5}{7}\)

\(B = \dfrac{7}{11} : \dfrac{4}{5}\)

\(C = \dfrac{-2}{7} : \dfrac{3}{4}\)

\(D = \dfrac{-2}{3} : \dfrac{14}{-5}\)

\(E = \dfrac{-4}{-5} : \dfrac{6}{-15}\)

\(F = \dfrac{8}{-5} : \dfrac{4}{-3}\)

\(G = \dfrac{-10}{-9} : \dfrac{5}{-3}\)

\(H = -\dfrac{-2}{-11} : \dfrac{-6}{-7}\)

\(I = -7 : \dfrac{10}{-21}\)

\(J = \dfrac{-8}{-7} : (-6)\)

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🧮Exercice 6 : Problème – L’argent de poche

Amal a dépensé les \(\dfrac{4}{7}\) de son argent de poche pour acheter un cadeau à sa sœur. Elle avait \(210\text{ DH}\).

Question

Combien coûte le cadeau ?

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🧮Exercice 7 : Problème – L’eau et les verres

Asmae verse \(\dfrac{2}{3}\text{ L}\) d’eau dans des verres qui peuvent contenir chacun \(\dfrac{1}{9}\text{ L}\).

Question

Combien de verres peut-elle remplir entièrement ?

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🐿️Exercice 8 : Problème – L’écureuil et ses noisettes

Avant le début de l’hiver, un écureuil a constitué une provision de noisettes. Il en a mangé les \(\dfrac{2}{7}\) le 1er mois d’hiver, puis un quart du reste le 2ème mois. Le 3ème mois, il mange les \(\dfrac{4}{5}\) de ce qu’il lui reste.

Questions

Quelle fraction de sa réserve lui reste-t-il pour finir l’hiver (après les deux premiers mois) ?

Lui reste-t-il des noisettes à la fin de l’hiver (après le 3ème mois) ?

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.

Je m’abonne maintenant

🔢Exercice 9 : Calcul d’expressions avec \(x\) et \(y\)

\(x\) et \(y\) sont deux nombres rationnels tels que :

\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{4}\) et \(x \times y = -\dfrac{2}{3}\)

Calculer les expressions suivantes en détaillant les étapes :

Questions

A) \(\dfrac{x}{-7} \times \dfrac{2y}{-3} \times \dfrac{x}{y}\)

B) \(\dfrac{3x}{-11} \times \dfrac{-4y}{5}\)

C) \(\dfrac{-2x}{3} \times \dfrac{6}{4y}\)

D) \(\dfrac{2x}{y} \times \left(-\dfrac{7}{5}\right)\)

E) \(\dfrac{1}{3x \times \dfrac{1}{2}y}\)

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .

Je m’abonne maintenant

Produit et quotient des nombres rationnels exercices corrigés 2AC