Produit de deux nombres rationnels

Règle : Soient \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) deux nombres rationnels.

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

📌 Exemple 1 : \(A = \frac{-3}{7} \times \frac{-11}{2}\)

Étape 1 : On applique la formule du produit de deux fractions.
\(A = \frac{-3}{7} \times \frac{-11}{2}\)
Étape 2 : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
\(A = \frac{(-3) \times (-11)}{7 \times 2}\)
Étape 3 : On calcule le produit : \((-3) \times (-11) = 33\) (règle des signes : négatif × négatif = positif)
\(A = \frac{33}{14}\)
Résultat : \(\frac{33}{14}\) est une fraction irréductible.

📌 Exemple 2 : \(B = \frac{-7}{13} \times \frac{2}{3}\)

\(B = \frac{-7}{13} \times \frac{2}{3}\)
\(B = \frac{(-7) \times 2}{13 \times 3}\)
\(B = \frac{-14}{39}\)
Résultat : \(\frac{-14}{39}\) est irréductible (14 et 39 n’ont pas de diviseur commun).

📌 Exemple 3 : \(C = \frac{5}{19} \times (-7)\)

Étape 1 : On transforme l’entier -7 en fraction : \(-7 = \frac{-7}{1}\)
\(C = \frac{5}{19} \times \frac{-7}{1}\)
Étape 2 : On multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
\(C = \frac{5 \times (-7)}{19 \times 1}\)
\(C = \frac{-35}{19}\)
Résultat : \(\frac{-35}{19}\) (5 × -7 = -35).

📌 Exemple 4 : \(D = (-3) \times \frac{2}{-7}\)

Étape 1 : On transforme -3 en fraction : \(-3 = \frac{-3}{1}\)
\(D = \frac{-3}{1} \times \frac{2}{-7}\)
Étape 2 : On multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
\(D = \frac{(-3) \times 2}{1 \times (-7)}\)
Étape 3 : On calcule : \((-3) \times 2 = -6\) et \(1 \times (-7) = -7\)
\(D = \frac{-6}{-7}\)
Étape 4 : On simplifie le signe : \( \frac{-6}{-7} = \frac{6}{7}\)
Résultat : \(\frac{6}{7}\) (car -6 ÷ -7 = 6/7).

(1) Avant de calculer le produit de deux nombres rationnels, il faut d’abord les rendre irréductibles (simplifier).
(2) Dans un produit, pour rendre les nombres rationnels irréductibles, on le fait verticalement ou diagonalement.

📌 Exemple 5 : \(A = \frac{22}{16} \times \frac{7}{3}\)

Étape 1 : On décompose en facteurs premiers.
\(\frac{22}{16} = \frac{2 \times 11}{2 \times 8}\)
Étape 2 : On simplifie en barrant le facteur commun 2.
\(A = \frac{2 \times 11}{2 \times 8} \times \frac{7}{3} = \frac{11}{8} \times \frac{7}{3}\)
Étape 3 : On multiplie les fractions.
\(A = \frac{11 \times 7}{8 \times 3} = \frac{77}{24}\)
Résultat : \(\frac{77}{24}\).

📌 Exemple 6 : \(B = \frac{36}{24} \times \frac{-21}{14}\)

Étape 1 : On simplifie \(\frac{36}{24}\) par 12.
\(\frac{36}{24} = \frac{36 \div 12}{24 \div 12} = \frac{3}{2}\)
Étape 2 : On simplifie \(\frac{-21}{14}\) par 7.
\(\frac{-21}{14} = \frac{-21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{-3}{2}\)
Étape 3 : On multiplie les fractions simplifiées.
\(B = \frac{3}{2} \times \frac{-3}{2} = \frac{3 \times (-3)}{2 \times 2} = \frac{-9}{4}\)
Résultat : \(\frac{-9}{4}\).

📌 Exemple 7 : \(C = \frac{35}{18} \times \frac{-9}{15}\)

Étape 1 : On simplifie diagonalement : 35 et 15 ont un facteur commun 5.
\(\frac{35}{18} \times \frac{-9}{15} = \frac{7}{18} \times \frac{-9}{3}\)
Étape 2 : On simplifie diagonalement : 18 et -9 ont un facteur commun 9.
\(C = \frac{7}{2} \times \frac{-1}{3}\)
Étape 3 : On multiplie.
\(C = \frac{7 \times (-1)}{2 \times 3} = \frac{-7}{6}\)
Résultat : \(\frac{-7}{6}\).

📌 Exemple 8 : \(D = \frac{27}{36} \times \frac{20}{7}\)

Étape 1 : On simplifie \(\frac{27}{36}\) par 9.
\(\frac{27}{36} = \frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}\)
Étape 2 : On multiplie.
\(D = \frac{3}{4} \times \frac{20}{7}\)
Étape 3 : On simplifie 4 et 20 par 4.
\(D = \frac{3}{1} \times \frac{5}{7}\)
Étape 4 : On multiplie.
\(D = \frac{3 \times 5}{1 \times 7} = \frac{15}{7}\)
Résultat : \(\frac{15}{7}\).

Propriété : Soit \(\frac{a}{b}\) un nombre rationnel.

\(\frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}\)   |   \(\frac{a}{b} \times 0 = 0\)   |   \(\frac{a}{b} \times (-1) = -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b}\)

📌 Exemples :

\(\frac{127}{141} \times 0 = 0\) (tout nombre × 0 = 0)
\(\frac{-13}{27} \times 1 = \frac{-13}{27}\) (multiplication par 1 ne change rien)
\(\frac{19}{110} \times (-1) = -\frac{19}{110} = \frac{-19}{110}\)
\((-1) \times \frac{-65}{14} = -\left(\frac{-65}{14}\right) = \frac{65}{14}\)

Produit de trois nombres rationnels

Propriété : Soient \(x\), \(y\) et \(z\) trois nombres rationnels.

\(x \times y \times z = (x \times y) \times z = x \times (y \times z) = (x \times z) \times y\)

📌 Exemple 1 : \(A = \frac{-15}{8} \times \frac{-4}{3} \times \frac{12}{10}\)

Étape 1 : On regroupe les deux premières fractions.
\(A = \left(\frac{-15}{8} \times \frac{-4}{3}\right) \times \frac{12}{10}\)
Étape 2 : On calcule le produit des deux premières.
\(A = \frac{(-15) \times (-4)}{8 \times 3} \times \frac{12}{10} = \frac{60}{24} \times \frac{12}{10}\)
Étape 3 : On simplifie \(\frac{60}{24}\) par 12 : \(\frac{60}{24} = \frac{5}{2}\)
\(A = \frac{5}{2} \times \frac{12}{10}\)
Étape 4 : On simplifie : 2 et 12 par 2 ; 10 et 5 par 5.
\(A = \frac{5}{2} \times \frac{12}{10} = \frac{5 \times 12}{2 \times 10} = \frac{60}{20} = 3\)
Résultat : \(A = 3\).

📌 Exemple 2 : \(B = \frac{25}{6} \times \frac{24}{15} \times \frac{9}{8}\)

Étape 1 : On regroupe les deux dernières fractions.
\(B = \frac{25}{6} \times \left(\frac{24}{15} \times \frac{9}{8}\right)\)
Étape 2 : On calcule le produit des deux dernières.
\(B = \frac{25}{6} \times \frac{24 \times 9}{15 \times 8} = \frac{25}{6} \times \frac{216}{120}\)
Étape 3 : On simplifie : \(\frac{216}{120} = \frac{9}{5}\) (division par 24)
\(B = \frac{25}{6} \times \frac{9}{5}\)
Étape 4 : On simplifie : 25 et 5 par 5 ; 9 et 6 par 3.
\(B = \frac{5}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{15}{2}\)
Résultat : \(B = \frac{15}{2}\).

📌 Exemple 3 : \(C = \frac{15}{-4} \times 3 \times \frac{8}{5}\)

Étape 1 : On transforme 3 en fraction et on regroupe.
\(C = \frac{15}{-4} \times \frac{3}{1} \times \frac{8}{5}\)
Étape 2 : On multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
\(C = \frac{15 \times 3 \times 8}{(-4) \times 1 \times 5}\)
Étape 3 : On simplifie : 15 et 5 par 5 ; 8 et 4 par 4.
\(C = \frac{3 \times 3 \times 2}{(-1) \times 1 \times 1} = \frac{18}{-1} = -18\)
Résultat : \(C = -18\).

Quotient de deux nombres rationnels

Définition : Soit \(\frac{a}{b}\) un nombre rationnel non nul.
L’inverse du nombre \(\frac{a}{b}\) est \(\frac{b}{a}\) et on le note \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\).
On a : \(\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1\).

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}\)   et   \(x^{-1} = \frac{1}{x}\)

📌 Exemples d’inverses :

L’inverse de \(\frac{-11}{5}\) est \(\left(\frac{-11}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{-11} = -\frac{5}{11}\).
Vérification : \(\frac{-11}{5} \times \frac{5}{-11} = \frac{-55}{-55} = 1\)

L’inverse de \(\frac{1}{7}\) est \(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = \frac{7}{1} = 7\).
Vérification : \(\frac{1}{7} \times 7 = 1\)

L’inverse de \(-17\) est \((-17)^{-1} = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17}\).
Vérification : \(-17 \times \frac{-1}{17} = 1\)

L’inverse de \(\frac{3}{-7}\) est \(\left(\frac{3}{-7}\right)^{-1} = \frac{-7}{3} = -\frac{7}{3}\).
Vérification : \(\frac{3}{-7} \times \frac{-7}{3} = 1\)

Règle : Soient \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) deux nombres rationnels avec \(c \neq 0\).

\(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\)

📌 Exemple 1 : \(A = \frac{12}{8} \div \frac{25}{15}\)

Étape 1 : On transforme la division en multiplication par l’inverse.
\(A = \frac{12}{8} \times \frac{15}{25}\)
Étape 2 : On simplifie les fractions.
\(\frac{12}{8} = \frac{3}{2}\) (division par 4) et \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\) (division par 5)
Étape 3 : On multiplie les fractions simplifiées.
\(A = \frac{3}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{2 \times 5} = \frac{9}{10}\)
Résultat : \(\frac{9}{10}\).

📌 Exemple 2 : \(B = \frac{\frac{-14}{16}}{\frac{21}{-12}}\)

Étape 1 : On transforme la division en multiplication par l’inverse.
\(B = \frac{-14}{16} \times \frac{-12}{21}\)
Étape 2 : On multiplie les numérateurs et dénominateurs.
\(B = \frac{(-14) \times (-12)}{16 \times 21} = \frac{168}{336}\)
Étape 3 : On simplifie par 168 : \(\frac{168}{336} = \frac{1}{2}\)
Résultat : \(\frac{1}{2}\).

📌 Exemple 3 : \(C = \frac{6}{5} \div 3\)

Étape 1 : On transforme 3 en fraction : \(3 = \frac{3}{1}\)
\(C = \frac{6}{5} \div \frac{3}{1}\)
Étape 2 : On multiplie par l’inverse de \(\frac{3}{1}\) qui est \(\frac{1}{3}\).
\(C = \frac{6}{5} \times \frac{1}{3}\)
Étape 3 : On simplifie 6 et 3 par 3.
\(C = \frac{2}{5} \times \frac{1}{1} = \frac{2}{5}\)
Résultat : \(\frac{2}{5}\).

📌 Exemple 4 : \(D = \frac{-32}{\frac{18}{12}}\)

Étape 1 : On transforme -32 en fraction : \(-32 = \frac{-32}{1}\)
\(D = \frac{-32}{1} \div \frac{18}{12}\)
Étape 2 : On multiplie par l’inverse de \(\frac{18}{12}\) qui est \(\frac{12}{18}\).
\(D = \frac{-32}{1} \times \frac{12}{18}\)
Étape 3 : On simplifie 12 et 18 par 6.
\(D = \frac{-32}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{-64}{3}\)
Résultat : \(\frac{-64}{3}\).

📌 Exemple 5 : \(E = \frac{\frac{10}{45}}{-20}\)

Étape 1 : On transforme -20 en fraction : \(-20 = \frac{-20}{1}\)
\(E = \frac{10}{45} \div \frac{-20}{1}\)
Étape 2 : On multiplie par l’inverse de \(\frac{-20}{1}\) qui est \(\frac{1}{-20}\).
\(E = \frac{10}{45} \times \frac{1}{-20}\)
Étape 3 : On simplifie 10 et 20 par 10.
\(E = \frac{1}{45} \times \frac{1}{-2} = \frac{-1}{90}\)
Résultat : \(\frac{-1}{90}\).

Tableau récapitulatif