Puissances exercices corrigés 3AC

📋Exercice : Questions de cours (Puissances et écriture scientifique)

Définir ce qu’est une puissance \(x^n\) d’un nombre réel \(x\). Donner les cas particuliers pour \(n = 1\), \(n = 0\) et \(n\) négatif.

Énoncer la propriété du produit de puissances de même base et donner un exemple numérique.

Énoncer la propriété du quotient de puissances de même base et donner un exemple numérique.

Énoncer la propriété de la puissance d’une puissance et donner un exemple numérique.

Énoncer les propriétés de la puissance d’un produit et de la puissance d’un quotient. Donner un exemple pour chacune.

Donner la règle pour écrire \(10^n\) et \(10^{-n}\) sous forme décimale. Donner des exemples pour \(n = 4\) et \(n = 6\).

Définir ce qu’est l’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal. Préciser la condition sur la mantisse.

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : \(12\,345\,678\), \(0,000456\) et \(987,6\).

Comment effectuer un produit de deux nombres en écriture scientifique ? Donner un exemple détaillé.

Écrire un tableau récapitulatif des cinq propriétés fondamentales des puissances (avec les formules générales).

📝 Correction

1) Définition d’une puissance \(x^n\)

Soit \(x\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel. La puissance \(x^n\) est définie par :

\(x^n = \underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ facteurs}}\)

Cas \(n = 1\) : \(x^1 = x\)
Cas \(n = 0\) : \(x^0 = 1\) (pour \(x \neq 0\))
Cas \(n\) négatif : \(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\) (pour \(x \neq 0\))

Exemples :
\(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)
\((-3)^0 = 1\)
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)

2) Produit de puissances de même base

Pour multiplier deux puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.

\(a^n \times a^m = a^{n+m}\)

Exemple : \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

3) Quotient de puissances de même base

Pour diviser deux puissances de même base, on conserve la base et on soustrait les exposants.

\(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)

Exemple : \(\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625\)

4) Puissance d’une puissance

Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.

\((a^n)^m = a^{n \times m}\)

Exemple : \((3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561\)

5) Puissance d’un produit et d’un quotient

Puissance d’un produit : La puissance d’un produit est égale au produit des puissances.

\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)

Exemple : \((2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000\)

Puissance d’un quotient : La puissance d’un quotient est égale au quotient des puissances.

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)

Exemple : \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}\)

6) Puissances de 10

Règle :

\(10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n \text{ zéros}}\)
\(10^{-n} = 0,\underbrace{00\ldots0}_{n-1 \text{ zéros}}1\)

Exemples :
\(10^4 = 10\,000\)
\(10^{-4} = 0,0001\)
\(10^6 = 1\,000\,000\)
\(10^{-6} = 0,000001\)

7) Écriture scientifique (définition)

L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal \(A\) est de la forme :

\(A = a \times 10^n\)

Mantisse : \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leq a < 10\)
Exposant : \(n\) est un entier relatif

Exemple : \(3,14 \times 10^5\) est en écriture scientifique car \(3,14\) est compris entre 1 et 10.

8) Écriture scientifique d’un nombre

Règle : On place la virgule après le premier chiffre non nul, puis on compte le nombre de déplacements.

Exemples :
\(12\,345\,678 = 1,2345678 \times 10^7\)
\(0,000456 = 4,56 \times 10^{-4}\)
\(987,6 = 9,876 \times 10^2\)

9) Produit de deux nombres en écriture scientifique

Pour multiplier deux nombres en écriture scientifique, on multiplie les mantisses et on additionne les exposants.

Exemple détaillé :
\(A = (3,2 \times 10^5) \times (2,5 \times 10^{-3})\)
\(A = (3,2 \times 2,5) \times (10^5 \times 10^{-3})\)
\(A = 8 \times 10^{5+(-3)}\)
\(A = 8 \times 10^2\)

10) Tableau récapitulatif des propriétés des puissances

Propriété	Formule	Exemple
Produit (même base)	\(a^n \times a^m = a^{n+m}\)	\(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\)
Quotient (même base)	\(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)	\(\dfrac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625\)
Puissance d’une puissance	\((a^n)^m = a^{n \times m}\)	\((3^2)^4 = 3^8 = 6561\)
Puissance d’un produit	\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)	\((2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 1000\)
Puissance d’un quotient	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)	\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81}\)
Puissance négative	\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)	\(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)
Puissance nulle	\(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\))	\((-5)^0 = 1\)

🔢Exercice 1 : Calculs avec les puissances de 10

Écrire chaque résultat sous la forme \(10^{a}\) où \(a\) est un nombre entier relatif.

Questions

\(10^{-2} \times 10^{-9} \)

\(10^{4} \times 10^{-5} \)

\(\dfrac{10^{-8}}{10^{2}} \)

\(\dfrac{10^{5}}{10^{-4}} \)

\(\left(10^{-4}\right)^{2} \)

\(\left(10^{-9}\right)^{-1} \)

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

🔢Exercice 2 : Calculs avec les puissances de 10

Écrire chaque résultat sous la forme \(10^{a}\) où \(a\) est un nombre entier relatif.

Questions

\(A = 10^{4} \times 10^{-8} \times 10^{5}\)

\(B = \left(10^{-2}\right)^{3} \times \left(10^{3}\right)^{4}\)

\(C = \dfrac{10^{4} \times 10^{-1} \times 10^{-5}}{10^{-7} \times 10^{6} \times 10^{-3}}\)

\(D = \dfrac{\left(10^{-5}\right)^{6}}{\left(10^{4}\right)^{-8}}\)

\(E = \dfrac{\dfrac{10^{4}}{10^{-5}}}{\dfrac{10^{-3}}{10^{2}}}\)

\(F = \left(\left(\left(10^{-2}\right)^{3}\right)^{-4}\right)^{-1}\)

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🔢Exercice 3 : Calculs avec les puissances de 10

Écrire chaque résultat sous la forme \(10^{a}\) où \(a\) est un nombre entier relatif.

Questions

\(A = 10^{-2} \times 10^{9} \times 10 \times 10^{2} \times 10^{-5}\)

\(B = \dfrac{10^{6}}{10^{-2}} \times \dfrac{10^{-2}}{10^{-5}} \times \dfrac{10^{-5}}{10^{4}}\)

\(C = 10^{4} \times \dfrac{10^{6}}{10^{9}} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{0}} \times \dfrac{1}{10^{5}}\)

\(D = \dfrac{\left(10^{-2}\right)^{3}}{\left(10^{-1}\right)^{4}} \times \dfrac{\left(10^{-8}\right)^{-2}}{\left(10^{-5}\right)^{3}}\)

\(E = \left(10^{-9} \times 10^{-3} \times 10^{14} \times 10 \times 0,1\right)^{-2}\)

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🔢Exercice 4 : Compléter les pointillés (Puissances de 10)

Compléter les pointillés par l’entier relatif manquant.

Questions

\(10^{4} \times 10^{\cdots} = 10^{-1}\)

\(10^{-5} \times 10^{\cdots} \times 10^{-2} = 10^{3}\)

\(\dfrac{1}{10^{\cdots}} = 10^{6}\)

\(\dfrac{10^{-3}}{10^{\cdots}} = 10^{-5}\)

\(\dfrac{10^{-4} \times 10^{9}}{10^{\cdots} \times 10^{-2}} = 10^{8}\)

\(\dfrac{10^{-1} \times 10^{5} \times 10^{\cdots}}{10^{-3} \times 10^{7} \times 10^{2}} = 10^{-3}\)

\(\left(10^{3}\right)^{\cdots} = 10^{-6}\)

\(\left(10^{\cdots}\right)^{-4} = 10^{12}\)

\(\left[\left(10^{-1}\right)^{-3}\right]^{\cdots} = 10^{-9}\)

\(10^{11} \times 10^{\cdots} = 10^{-5} \times 10^{9}\)

\(\dfrac{1}{\left(10^{-5}\right)^{\cdots}} = 10^{15}\)

\(\dfrac{10^{-3}}{10^{\cdots}} = \dfrac{10^{-5}}{10^{-9}}\)

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🔢Exercice 5 : Calculs avec les puissances (forme \(n^{a}\))

Donner le résultat des calculs suivants sous la forme \(n^{a}\) où \(n\) est un nombre réel non nul et \(a\) un entier relatif.

Questions

A. Produits de puissances

\(5^{2} \times 5^{4} = 5^{6}\) (exemple)

\(4^{-3} \times 4^{8} =\)

\((-6)^{-7} \times (-6)^{2} =\)

\((-3)^{7} \times (-3)^{-4} =\)

\(5^{-3} \times 5^{-1} \times 5^{8} =\)

\(7^{9} \times 7^{-8} \times 7^{-3} =\)

\((-8)^{2} \times (-8)^{-5} \times (-8)^{-1} =\)

\(9^{2} \times 9^{-1} \times 9^{-7} \times 9^{-4} =\)

B. Quotients de puissances

\(\dfrac{5^{7}}{5^{3}} =\)

\(\dfrac{7^{-4}}{7^{3}} =\)

\(\dfrac{(-6)^{-6}}{(-6)^{-1}} =\)

\(\dfrac{(-5)^{6}}{(-5)^{-16}} =\)

\(\dfrac{(-1)^{-12}}{(-1)^{-8}} =\)

\(\dfrac{23^{-14}}{23^{-21}} =\)

\(\dfrac{(-3)^{-9}}{(-3)^{6}} =\)

\(\dfrac{2^{-3}}{2^{3}} =\)

C. Puissances de puissances

\(\left(3^{-2}\right)^{7} =\)

\(\left((-5)^{-7}\right)^{-1} =\)

\(\left((-2)^{4}\right)^{-3} =\)

\(\left(12^{7}\right)^{3} =\)

\(\left(8^{-8}\right)^{8} =\)

\(\left((-9)^{-7}\right)^{-2} =\)

\(\left((-0,6)^{-11}\right)^{-3} =\)

\(\left(7^{-8}\right)^{0} =\)

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🔢Exercice 6 : Calculs avec fractions et puissances

Calculer en respectant les priorités opératoires. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Questions

\(A = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)

\(B = 5\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{2}\)

\(C = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\)

\(D = -\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2}\)

\(E = -\dfrac{7}{3}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\)

\(F = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{3}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{2}\)

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🔢Exercice 7 : Calculs avec fractions et puissances

Calculer en respectant les priorités opératoires. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Questions

\(A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} – \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}\)

\(B = \dfrac{5}{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} – \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}\)

\(C = -\dfrac{4}{5}\left(\dfrac{10}{3}\right)^{2} – \dfrac{7}{3}\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{3}\)

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🧠Exercice 8 : Distributivité des puissances

Calculer mentalement en utilisant astucieusement la « distributivité des puissances » :

Règle : \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\)

Questions

\(A = 2^{7} \times 5^{7}\)

\(B = 4^{3} \times 5^{3}\)

\(C = 5^{-3} \times 2^{-3}\)

\(D = 0,5^{-13} \times 2^{-13}\)

\(E = 2^{-6} \times 10^{6} \times (-5)^{-6}\)

\(F = (-20)^{3} \times 100^{-3} \times 5^{3}\)

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🧠Exercice 9 : Distributivité des puissances (quotients)

Calculer mentalement en utilisant astucieusement la « distributivité des puissances » :

Règles :
\(a^n \times b^n = (a \times b)^n\) et
\(\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n\)

Questions

\(A = \dfrac{4^{7}}{8^{7}}\)

\(B = \dfrac{(-15)^{-3}}{5^{-3}}\)

\(C = 6^{3} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)

\(D = \left(-\dfrac{7}{3}\right)^{-9} \times \left(\dfrac{6}{14}\right)^{-9}\)

\(E = \dfrac{4^{4} \times 3^{4}}{2^{4} \times 12^{4}} \times 6^{4}\)

\(F = \dfrac{7^{-3} \times 10^{3} \times 14^{3} \times 2^{-3}}{3^{3} \times 5^{3} \times 6^{-3}}\)

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📝Exercice 10 : Écriture scientifique

Parmi les nombres suivants, entourer ceux qui sont en écriture scientifique.

Questions

a.
\( 9,45 \times 10^{12} \)

b.
\( 457 \times 10^{-9} \)

c.
\( -6,023 \times 10^{-27} \)

d.
\( 6,67 \times 10^{18} \)

e.
\( 0,981 \times 10^{-3} \)

f.
\( -63,657 \times 10^{17} \)

g.
\( 4,012 \times 10^{-9} \)

h.
\( 10,31 \times 10^{12} \)

i.
\( 9,99 \times 10^{-16} \)

j.
\( 0,999 \times 10^{-4} \)

k.
\( -11,9 \times 10^{7} \)

l.
\( 1,003 \times 10^{11} \)

m.
\( 10,3 \times 10^{45} \)

n.
\( -6 \times 10^{-23} \)

o.
\( 9 \times 10^{12} \)

p.
\( 0,95 \times 10^{-67} \)

q.
\( -1,02 \times 10^{-3} \)

r.
\( 100,9 \times 10^{8} \)

Rappel : Un nombre est en écriture scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme
\( a \times 10^n \), où \( 1 \leq |a| < 10 \) et \( n \) est un entier relatif.

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📊Exercice 11 : Conversion écriture décimale ↔ écriture scientifique

Complétez le tableau en convertissant les nombres entre l’écriture décimale et l’écriture scientifique.

Tableau à compléter

Écriture décimale	Écriture scientifique
54 000 000 000
650 000 000
0,000000006
104 800 000 000
0,00000264
20 300 000
673,185
807 000 000
4 000,007
0,700600000

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⚖️Exercice 12 : Comparaison de nombres en écriture scientifique

1. Comparer ces nombres en écriture scientifique :

Comparaisons

a. \( 9,45 \times 10^8 \)

?

\( 8,31 \times 10^9 \)

b. \( 9 \times 10^3 \)

?

\( 9 \times 10^2 \)

c. \( 3,5 \times 10^{13} \)

?

\( 2,65 \times 10^{13} \)

d. \( 7,2 \times 10^{-15} \)

?

\( 7,2 \times 10^{13} \)

e. \( 1,6 \times 10^{-9} \)

?

\( 1,5 \times 10^{-10} \)

2. Donner l’écriture scientifique des nombres puis les comparer :

Nombre

a. \( 64,5 \times 10^8 \)
vs
\( 631 \times 10^7 \)

b. \( 8\,200 \times 10^3 \)
vs
\( 0,82 \times 10^6 \)

c. \( 0,04 \times 10^{-7} \)
vs
\( 400 \times 10^{-10} \)

Écriture scientifique

Réponse

Comparaison

< , > ou =

Rappel : Pour comparer deux nombres en écriture scientifique \(a \times 10^n\) et \(b \times 10^m\) :

• Si \(n > m\), alors \(a \times 10^n > b \times 10^m\) (quel que soit \(a\) et \(b\)).

• Si \(n = m\), on compare les mantisses \(a\) et \(b\).

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📐Exercice 13 : Simplification d’expressions avec puissances

\(a, b\) sont deux nombres réels non nuls.

On considère l’expression de \(H\) tel que :

\(H = \dfrac{b a^{-4} \times \left(a^{-3} \times b\right)^{-5}}{a^{11} \times \left(a \times b^{2}\right)^{4} \times b^{2}}\)

Questions

Montrer que : \(H = a^{-4} \times b^{-14}\)

Calculer la valeur de \(H\) pour \(a = 2\) et \(b = 10^{-2}\).

Écrire le résultat trouvé sous forme d’écriture scientifique.

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📐Exercice 14 : Simplification d’expressions avec puissances

\(a, b\) sont deux nombres réels non nuls.

On considère l’expression de \(A\) tel que :

\(A = \dfrac{b^{-2} \times a^{3} \times \left(a^{-3} \times b^{0}\right)^{-5} \times a^{-4} \times b^{-3}}{a^{-2} \times b \times \left(a \times b^{-3}\right)^{-4} \times a^{-3} \times b^{-3}}\)

Questions

Simplifier \(A\).

Calculer la valeur de \(A\) pour \(a = 10^{-3}\) et \(b = 10^{2}\).

Donner l’écriture scientifique de \(A\).

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Puissances exercices corrigés 3AC