Puissances 3AC
PUISSANCES ET ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
3ème Année Collège
Puissances
1) Définition
Soit \(x\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel. La puissance \(x^n\) est définie par :
• Si \(n > 1\) : \(x^n = \underbrace{x \times x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ facteurs } x}\)
• Si \(n = 1\) : \(x^1 = x\)
• Si \(n = 0\) et \(x \neq 0\) : \(x^0 = 1\)
• Si \(x \neq 0\) : \(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\)
📌 Exemples :
Exemple 1 : Puissance positive
\(5^6 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 15625\)
Explication : Il y a 6 facteurs de 5.
Exemple 2 : Cas particuliers
\(2020^1 = 2020\) (tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même)
\((-0,23)^0 = 1\) (tout nombre non nul à la puissance 0 est égal à 1)
Exemple 3 : Puissance négative
\(5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125} = 0,008\)
Explication : Une puissance négative correspond à l’inverse de la puissance positive.
2) Propriétés des puissances
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels non nuls, et \(m\) et \(n\) deux entiers relatifs :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit de puissances (même base) | \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) |
| Quotient de puissances (même base) | \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^n)^m = a^{n \times m}\) |
| Puissance d’un produit | \((a \times b)^n = a^n \times b^n\) |
| Puissance d’un quotient | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) |
📌 Exemple :
\((3\sqrt{5})^2 \times (3\sqrt{5})^4 = (3\sqrt{5})^{2+4} = (3\sqrt{5})^6\)
\(= ((3\sqrt{5})^2)^3 = (9 \times 5)^3 = 45^3 = 91125\)
Explication : On utilise la propriété du produit de puissances de même base, puis la puissance d’une puissance.
3) Puissances de 10
📌 Règles :
\(10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n \text{ zéros}}\)
\(10^{-n} = 0,\underbrace{00\ldots0}_{n-1 \text{ zéros}}1\)
Exemples :
\(10^5 = 100000\) (5 zéros après 1)
\(10^{-9} = 0,000000001\) (8 zéros entre 1 et la virgule)
\(10^{-3} = 0,001\)
\(10^0 = 1\)
Écriture scientifique
1) Définition
L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal positif \(A\) est de la forme :
\(A = a \times 10^n\)
où :
- \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leq a < 10\) (appelé la mantisse)
- \(n\) est un entier relatif (appelé l’exposant)
📌 Exemples :
Exemple 1 : Nombre grand
La distance moyenne Terre-Lune est \(D = 384400\) km.
\(D = 3,844 \times 10^5\) km
Explication : On place la virgule après le premier chiffre (3), et on compte le nombre de déplacements (5).
Exemple 2 : Nombre petit
\(0,0000012345 = 1,2345 \times 10^{-6}\)
Explication : On décale la virgule de 6 positions vers la droite.
Exemple 3 :
\(1234567 = 1,234567 \times 10^6\)
\(0,0000456 = 4,56 \times 10^{-5}\)
\(2500 = 2,5 \times 10^3\)
2) Application : Calculs avec l’écriture scientifique
📌 Exemple :
Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :
\(A = 3,2 \times 10^5 \times 2,5 \times 10^{-3}\)
\(A = (3,2 \times 2,5) \times (10^5 \times 10^{-3})\)
\(A = 8 \times 10^2\)
Explication : On regroupe les mantisses et les puissances de 10 séparément, puis on applique les règles des puissances.
\(B = \dfrac{9 \times 10^{-7} \times 4 \times 10^3}{6 \times 10^{-2}}\)
\(B = \dfrac{9 \times 4}{6} \times \dfrac{10^{-7} \times 10^3}{10^{-2}}\)
\(B = 6 \times 10^{-7+3-(-2)} = 6 \times 10^{-2}\)
Explication : Pour l’exposant : \(-7 + 3 – (-2) = -7 + 3 + 2 = -2\).
Tableau récapitulatif des puissances
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit (même base) | \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) | \(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\) |
| Quotient (même base) | \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) | \(\dfrac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^n)^m = a^{n \times m}\) | \((3^2)^4 = 3^8\) |
| Puissance d’un produit | \((a \times b)^n = a^n \times b^n\) | \((2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 1000\) |
| Puissance d’un quotient | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81}\) |
| Puissance négative | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) |
| Puissance nulle | \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)) | \((-5)^0 = 1\) |
📌 À retenir
- \(x^n = x \times x \times \cdots \times x\) (\(n\) facteurs)
- \(x^0 = 1\) (pour \(x \neq 0\)) ; \(x^1 = x\)
- \(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\) (pour \(x \neq 0\))
- \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) ; \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)
- \((a^n)^m = a^{n \times m}\) ; \((ab)^n = a^n b^n\)
- \(10^n = 1\) suivi de \(n\) zéros ; \(10^{-n} = 0,00…01\) (\(n\) décimales)
- Écriture scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\)
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