Exercice 1 : Définition et calculs avancés (4 points)

1) Calculer et donner le résultat sous forme d’une puissance :

a) \((-2)^3 \times (-2)^5 \times (-2)^{-2}\) (1 pt)

b) \(\dfrac{7^8 \times 7^{-3}}{7^4 \times 7^{-2}}\) (1 pt)

2) Déterminer la valeur de \(x\) dans les égalités suivantes :

a) \(5^x = \dfrac{1}{125}\) (1 pt)

b) \(3^{x+2} = 9^4\) (1 pt)

Exercice 2 : Propriétés des puissances – Expressions complexes (4 points)

Simplifier les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme \(a^n\) avec \(a\) un nombre entier :

1) \(A = \dfrac{(2^3 \times 2^{-5})^2}{2^{-3} \times 2^4}\) (1,5 pts)

2) \(B = \left(\dfrac{3^2 \times 5^{-1}}{3^{-1} \times 5^2}\right)^{-2}\) (1,5 pts)

3) \(C = \dfrac{4^3 \times 8^2 \times 16^{-1}}{2^5 \times 32^2}\) (1 pt)

Exercice 3 : Écriture scientifique et comparaison (4 points)

1) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

a) \(45,6 \times 10^{-7}\) (1 pt)

b) \(0,003 \times 10^{12}\) (1 pt)

2) Comparer les nombres suivants (sans utiliser la calculatrice) :

a) \(3,2 \times 10^8\) et \(32 \times 10^7\) (1 pt)

b) \(5,6 \times 10^{-4}\) et \(0,56 \times 10^{-3}\) (1 pt)

Exercice 4 : Calculs avec écriture scientifique (4 points)

Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :

1) \(A = \dfrac{12 \times 10^6 \times 5 \times 10^{-8}}{3 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3}}\) (2 pts)

2) \(B = \dfrac{(2,5 \times 10^3) \times (4 \times 10^{-7})}{5 \times 10^{-2} \times 10^{-1}}\) (2 pts)

Exercice 5 : Synthèse et problèmes (4 points)

1) Montrer que : \(\dfrac{2^n \times 2^{n+1}}{2^{n-1}} = 2^{n+2}\). (1 pt)

2) La masse de la Terre est environ \(5,97 \times 10^{24}\) kg, et celle du Soleil est environ \(1,989 \times 10^{30}\) kg.

a) Combien de fois la masse du Soleil est-elle plus grande que celle de la Terre ? (1,5 pts)

b) Si on considère que la Terre est une sphère de rayon \(6,4 \times 10^6\) m, exprimer son volume \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\) en notation scientifique (prendre \(\pi \approx 3,14\)). (1,5 pts)