Racine Carrée: exercices corrigés 3AC

Exercice 1:

Compléter les pointillés :

a. $3^{2}=9 \quad$ donc $\quad \sqrt{9}=3$

b. $17^{2}=289 \quad$ donc $\quad \sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots$

c. $4^{2}=\ldots \ldots . \quad$ donc $\sqrt{\ldots \ldots .}=4$

d. $12^{2}=144 \quad$ donc $\quad \sqrt{\ldots \ldots .}=\ldots \ldots$

e. $6^{2}=\ldots \ldots$. donc $\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots$

f. $\quad \ldots .^{2}=16 \quad$ donc $\quad \sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots$

g. $\quad \ldots .^{2}=\ldots .$. donc $\quad \sqrt{25}=\ldots \ldots$

h. $7^{2}=\ldots \ldots . \quad$ donc $\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots$

i. $\quad \ldots .^{2}=81 \quad$ donc $\quad \sqrt{\ldots \ldots .}=\ldots \ldots$

j. $\quad \ldots .^{2}=\ldots . . \quad$ donc $\quad \sqrt{64}=\ldots \ldots$

Correction de l’exercice 1

b. $17^{2}=289$ donc $\sqrt{289}=17$

c. $4^{2}=16$ donc $\sqrt{16}=4$

d. $12^{2}=144$ donc $\sqrt{144}=12$

e. $6^{2}=36$ donc $\sqrt{36}=6$

f. $4^{2}=16$ donc $\sqrt{16}=4$

g. $5^{2}=\mathbf{2 5}$ donc $\sqrt{25}=5$

h. $7^{2}=49$ donc $\sqrt{49}=7$

i. $9^{2}=81$ donc $\sqrt{81}=9$

j. $8^{2}=64$ donc $\sqrt{64}=8$

Exercice 2:

Calculer mentalement :

a. $\sqrt{4}=2$

b. $\sqrt{100}=$

c. $\sqrt{900}=$

d. $\sqrt{0,01}=$

e. $\sqrt{(3,14)^{2}}=$

f. $\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}}=$

g. $\sqrt{\frac{9}{25}}=$

h. $\sqrt{\frac{49}{36}}=$

i. $\sqrt{\frac{1}{81}}=$

j. $\sqrt{\frac{121}{100}}=$

Correction de l’exercice 2

b. $\sqrt{100}=10$

c. $\sqrt{900}=30$

d. $\sqrt{0,01}=0,1$

e. $\sqrt{(3,14)^{2}}=3,14$

f. $\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}}=\frac{2}{5}$

g. $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

h. $\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{7}{6}$

i. $\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}$

j. $\sqrt{\frac{121}{100}}=\frac{11}{10}$

Exercice 3:

Réduire les expressions :

$3 \sqrt{2}+5 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=(3+5-7+2) \sqrt{2}=3 \sqrt{2}$

$ 5 \sqrt{5}-6 \sqrt{3}-8 \sqrt{3}+\sqrt{5}=$

$-4 \sqrt{11}+11 \sqrt{11}+13 \sqrt{11}= $

$ 3 \sqrt{7}-3 \sqrt{5}-5 \sqrt{7}+7 \sqrt{5}= $

$-8 \sqrt{2}-2 \sqrt{11}+3 \sqrt{11}-7 \sqrt{2}=$

Correction de l’exercice 3

$ 5 \sqrt{5}-6 \sqrt{3}-8 \sqrt{3}+\sqrt{5}=6 \sqrt{5}-14 \sqrt{3} $

$-4 \sqrt{11}+11 \sqrt{11}+13 \sqrt{11}=(-4+11+13) \sqrt{11}=20 \sqrt{11} $

$ 3 \sqrt{7}-3 \sqrt{5}-5 \sqrt{7}+7 \sqrt{5}=-2 \sqrt{7}+4 \sqrt{5} $

$-8 \sqrt{2}-2 \sqrt{11}+3 \sqrt{11}-7 \sqrt{2}=-15 \sqrt{2}+\sqrt{11}$

Exercice 4:

Calculer les produits :

$\sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}=3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=3 \times 2=6$

$2 \sqrt{7} \times 5 \sqrt{7}=$

$3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}=$

$-\sqrt{2} \times \sqrt{2}=$

$-3 \sqrt{2} \times(-5 \sqrt{2})=$

$7 \sqrt{3} \times(-2 \sqrt{3})=$

$5 \sqrt{5} \times(-2 \sqrt{5})=$

$\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=$

Correction de l’exercice 4

$2 \sqrt{7} \times 5 \sqrt{7}=2 \times 5 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7}=10 \times 7=70$

$3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}=3 \times 4 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}=12 \times 5=60$

$-\sqrt{2} \times \sqrt{2}=-2$

$-3 \sqrt{2} \times(-5 \sqrt{2})=(-3) \times(-5) \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=15 \times 2=30$

$7 \sqrt{3} \times(-2 \sqrt{3})=7 \times(-2) \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}=-14 \times 3=-42$

$5 \sqrt{5} \times(-2 \sqrt{5})=5 \times(-2) \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}=-10 \times 5=-50$

$\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=2 \sqrt{2}$

Exercice 5:

Calculer les carrés :

$\sqrt{5^{2}}=5$

$(3 \sqrt{2})^{2}=$

$(-2 \sqrt{3})^{2}=$

$(2 \sqrt{11})^{2}=$

$(5 \sqrt{2})^{2}=$

$(6 \sqrt{3})^{2}=$

$(-2 \sqrt{7})^{2}=$

$(-9 \sqrt{11})^{2}=$

Correction de l’exercice 5

$\sqrt{5^{2}}=5$

$(3 \sqrt{2})^{2} =3 \times 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} =9 \times 2=18$

$(-2 \sqrt{3})^{2} =2 \times 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}= 4 \times 3=12$

$(2 \sqrt{11})^{2} =2 \times 2 \times \sqrt{11} \times \sqrt{11} =4 \times 11=44$

$(5 \sqrt{2})^{2} =5 \times 5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} =25 \times 2=50$

$(6 \sqrt{3})^{2} =6 \times 6 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} =36 \times 3=108$

$(-2 \sqrt{7})^{2} =2 \times 2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7} =4 \times 7=28$

$(-9 \sqrt{11})^{2} =9 \times 9 \times \sqrt{11} \times \sqrt{11} =81 \times 11=891$

Exercice 6:

a. Écrire sous la forme $a \sqrt{2}$ avec $a$ entier :

$\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}$

$\sqrt{50}=$

$\sqrt{98}=$

$\sqrt{162}=$

b. Écrire sous la forme $a \sqrt{3}$ avec $a$ entier :

$\sqrt{12}=$

$\sqrt{27}=$

$\sqrt{300}=$

$\sqrt{192}=$

c. Écrire sous la forme $a \sqrt{5}$ avec $a$ entier :

$\sqrt{20}=$

$\sqrt{45}=$

$\sqrt{80}=$

$\sqrt{245}=$

d. Écrire sous la forme $a \sqrt{6}$ avec $a$ entier :

$\sqrt{96}=$

$\sqrt{150}=$

$\sqrt{216}=$

$\sqrt{384}=$

Correction de l’exercice 6

a. $\sqrt{18}=\sqrt{3^{2} \times 2}=3 \sqrt{2}$

$\sqrt{50} =\sqrt{25 \times 2} =\sqrt{25} \times \sqrt{2}=5 \sqrt{2}$

$\sqrt{98} =\sqrt{49 \times 2} =\sqrt{49} \times \sqrt{2}=7 \sqrt{2}$

$\sqrt{162} =\sqrt{81 \times 2} =\sqrt{81} \times \sqrt{2}=9 \sqrt{2}$

b. $\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=\sqrt{4} \times \sqrt{3}=2 \sqrt{3}$

$\sqrt{27}=\sqrt{9 \times 3}=\sqrt{9} \times \sqrt{3}=3 \sqrt{3}$

$\sqrt{300} =\sqrt{100 \times 3} =\sqrt{100} \times \sqrt{3}=10 \sqrt{3}$

$\sqrt{192} =\sqrt{64 \times 3} =\sqrt{64} \times \sqrt{3}=8 \sqrt{3}$

c. $\sqrt{20}=\sqrt{4} \times \sqrt{5}=2 \sqrt{5}$

$\sqrt{45}=\sqrt{9} \times \sqrt{5}=3 \sqrt{5}$

$\sqrt{9} \times \sqrt{5}=3 \sqrt{5}$

$\sqrt{80}=\sqrt{16} \times \sqrt{5}=4 \sqrt{5}$

$\sqrt{245}=\sqrt{49} \times \sqrt{5}=7 \sqrt{5}$

d. $\sqrt{96}=\sqrt{16} \times \sqrt{6}=4 \sqrt{6}$

$\sqrt{150}=\sqrt{25} \times \sqrt{6}=5 \sqrt{6}$

$\sqrt{216}=\sqrt{36} \times \sqrt{6}=6 \sqrt{6}$

$\sqrt{384}=\sqrt{64} \times \sqrt{6}=8 \sqrt{6}$

Exercice 7:

Écrire sous la forme a√b avec a et b entiers, b étant le plus petit possible :

a. $\sqrt{40}=\sqrt{4 \times 10}=\sqrt{2^{2} \times 10}=2 \sqrt{10}$

b. $\sqrt{99}=$

c. $\sqrt{54}=$

d. $\sqrt{63}=$

e. $\sqrt{32}=$

f. $\sqrt{288}=$

g. $\sqrt{675}=$

h. $\sqrt{72}=$

i. $\sqrt{845}=$

j. $\sqrt{847}=$

Correction de l’exercice 7

b. $\sqrt{99}=\sqrt{9} \times \sqrt{11}=3 \sqrt{11}$

c. $\sqrt{54}=\sqrt{9} \times \sqrt{6}=3 \sqrt{6}$

d. $\sqrt{63}=\sqrt{9} \times \sqrt{7}=3 \sqrt{7}$

e. $\sqrt{32}=\sqrt{16} \times \sqrt{2}=4 \sqrt{2}$

f. $\sqrt{288}=\sqrt{144} \times \sqrt{2}=12 \sqrt{2}$

g. $\sqrt{675}=\sqrt{225} \times \sqrt{3}=15 \sqrt{3}$

h. $\sqrt{72}=\sqrt{36} \times \sqrt{2}=6 \sqrt{2}$

i. $\sqrt{845}=\sqrt{169} \times \sqrt{5}=13 \sqrt{5}$

j. $\sqrt{847}=\sqrt{121} \times \sqrt{7}=11 \sqrt{7}$

Exercice 8:

$1)$ Rendre rationnel les dénominateurs suivants :

$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}=$

$\frac{4}{\sqrt{7}}=$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}=$

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}}=$

$\sqrt{\frac{4}{5}}=$

$\sqrt{\frac{7}{2}}=$

$\sqrt{\frac{1}{3}}=$

$2)$ Rendre rationnel les dénominateurs suivants :

$\frac{3}{\sqrt{5}+4}$

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}-3}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+4}$

Correction de l’exercice 8

$1)$

$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 ×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{\mathbf{3}}$

$\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{4 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}=\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{35}}{7}$

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}}=\frac{2 \times \sqrt{11}}{\sqrt{11} \times \sqrt{11}}=\frac{2 \sqrt{11}}{11}$

$\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$

$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$2)$

$\frac{3}{\sqrt{5}+4}=\frac{3 \times(\sqrt{5}-4)}{(\sqrt{5}+4) \times(\sqrt{5}-4)}=\frac{3 \times \sqrt{5}-3 \times 4}{(\sqrt{5})^{2}-4^{2}}= \frac{3 \sqrt{5}-12}{5-16}=\frac{3 \sqrt{5}-12}{-11}=\frac{-3 \sqrt{5}+12}{11}$

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}-3}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}-3} \times \frac{\sqrt{8}+3}{\sqrt{8}+3}=\frac{\sqrt{8} \times(\sqrt{8}+3)}{8-9}=\frac{8+3 \sqrt{8}}{-1}=-8-3 \sqrt{8}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+4}=\frac{\sqrt{3} \times(\sqrt{5}-4)}{(\sqrt{5}+4) \times(\sqrt{5}-4)}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}-\sqrt{3} \times 4}{(\sqrt{5})^{2}-4^{2}}=\frac{\sqrt{15}-4 \sqrt{3}}{5-16}=\frac{\sqrt{15}-4 \sqrt{3}}{-11}=\frac{-\sqrt{15}+4 \sqrt{3}}{11}$