Racine Carrée : Cours
RACINE CARRÉE
3ème Année Collège
Racine carrée d’un nombre réel
Définition
La racine carrée d’un nombre positif \(b\) est le seul nombre positif \(d\) dont le carré est égal à \(b\).
\(d^2 = b\) et on note : \(d = \sqrt{b}\)
📌 Exemples :
• \(4\) est la racine carrée de \(16\), car \(4^2 = 16\). On écrit : \(4 = \sqrt{16}\). • \(\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6\) • \(\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4\)
Remarque : \(a = \sqrt{a^2} = \sqrt{a}^{2}\) (avec \(a\) positif).Les opérations sur les racines carrées
Propriété 1 : Produit et quotient
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs (non nuls pour le quotient) :
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
📌 Exemples :
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}\)
⚠️ Attention : \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) et \(\sqrt{a – b} \neq \sqrt{a} – \sqrt{b}\) Exemple : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) mais \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) → \(5 \neq 7\)
Éliminer la racine carrée au dénominateur
Propriété 2 : Cas d’une racine seule
Soit \(a\) un nombre réel positif non nul :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{1×\sqrt{a}}{\sqrt{a}×\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}\)
📌 Exemple détaillé :
\(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) Explication : On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{3}\) pour que le dénominateur devienne \(3\).
Propriété 3 : Cas d’une différence de racines
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs (non nuls, avec \(a \neq b\)) :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} =\dfrac{1×(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} – \sqrt{b})×(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a – b}\)
📌 Exemple détaillé :
\(\frac{2}{1-\sqrt{5}} = \frac{2 \times (1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5}) \times (1+\sqrt{5})} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{1 – (\sqrt{5})^2} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{1-5} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{-4} = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Explication : On multiplie par le conjugué du dénominateur : \((1+\sqrt{5})\) est le conjugué de \((1-\sqrt{5})\). Remarque : Le conjugué de \((1+\sqrt{5})\) est \((1-\sqrt{5})\). Le produit d’un nombre par son conjugué donne une différence de carrés.Tableau récapitulatif
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Définition | \(d = \sqrt{b} \iff d^2 = b\) | \(\sqrt{25} = 5\) |
| Produit | \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) | \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) |
| Quotient | \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) | \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\) |
| Rendre rationnel (cas simple) | \(\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\) | \(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) |
| Rendre rationnel (différence) | \(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\) | \(\frac{2}{1-\sqrt{5}} = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) |
| Conjugué | \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b\) | \((1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = -4\) |
📌 À retenir
- \(\sqrt{b}\) est le nombre positif dont le carré est \(b\)
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) (pour \(a, b \ge 0\))
- \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (pour \(a \ge 0, b > 0\))
- \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) et \(\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} – \sqrt{b}\)
- Pour rendre un dénominateur rationnel : multiplier par \(\sqrt{a}\) ou par le conjugué
- Le conjugué de \((\sqrt{a} – \sqrt{b})\) est \((\sqrt{a} + \sqrt{b})\)
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