Exercice 1 : Questions de cours (4 points)

1) Donner la définition de la racine carrée d’un nombre réel positif \(b\). (1 pt)

2) Écrire les formules du produit et du quotient de deux racines carrées. (1 pt)

3) La formule \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) est-elle vraie ? Justifier par un exemple. (1 pt)

4) Comment élimine-t-on une racine carrée au dénominateur dans le cas \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\) ? Donner un exemple. (1 pt)

Exercice 2 : Simplification de racines (4 points)

Simplifier au maximum les expressions suivantes (écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(a\) et \(b\) des entiers, \(b\) le plus petit possible) :

1) \(\sqrt{12}\) (1 pt)

2) \(\sqrt{18} + \sqrt{50} – \sqrt{32}\) (1,5 pts)

3) \(\sqrt{75} – \sqrt{27} + \sqrt{12}\) (1,5 pts)

Exercice 3 : Produit, quotient et développement (4 points)

1) Calculer et simplifier :

a) \(\sqrt{8} \times \sqrt{2}\) (0,5 pt)

b) \(\dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}\) (0,5 pt)

2) Développer et simplifier :

a) \((\sqrt{3} + 2)^2\) (1 pt)

b) \((\sqrt{5} – \sqrt{2})^2\) (1 pt)

c) \((\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} – \sqrt{3})\) (1 pt)

Exercice 4 : Rendre rationnel et factorisation (4 points)

1) Écrire les expressions suivantes avec un dénominateur rationnel :

a) \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\) (1 pt)

b) \(\dfrac{2}{1 – \sqrt{5}}\) (1 pt)

2) Factoriser les expressions suivantes :

a) \(x^2 – 3\) (1 pt)

b) \(x^2 – 4x\sqrt{2} + 8\) (1 pt)

Exercice 5 : Synthèse (4 points)

1) Simplifier l’expression : \(A = \dfrac{3}{\sqrt{2}} + \dfrac{5}{\sqrt{8}} – \dfrac{2}{\sqrt{18}}\) (2 pts)

2) Soit \(B = \dfrac{1}{\sqrt{3} – \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\). Calculer \(B\). (1 pt)

3) Factoriser l’expression : \(C = (\sqrt{2} – 1)x^2 – (\sqrt{2} – 1)\) (1 pt)