Racine Carrée: exercices corrigés 3AC

📋Exercice : Questions de cours (Racine carrée)

Définir la racine carrée d’un nombre positif \(b\). Quel est le signe de \(\sqrt{b}\) ?

Pourquoi \(\sqrt{a+b}\) n’est-il pas égal à \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) ? Donner un contre-exemple.

Énoncer la règle du produit des racines carrées. Donner un exemple.

Énoncer la règle du quotient des racines carrées. Donner un exemple.

Comment simplifier une expression comme \(\sqrt{12}\) ? Justifier en utilisant la règle du produit.

Définir ce qu’est « rendre rationnel le dénominateur » dans une fraction. Donner un exemple simple.

Comment rendre rationnel le dénominateur d’une fraction de la forme \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\) ? Donner un exemple.

Qu’est-ce que le conjugué d’une expression de la forme \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\) ? À quoi sert-il ?

Détailler les étapes pour simplifier \(\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\) en rendant le dénominateur rationnel.

Écrire le tableau récapitulatif des propriétés des racines carrées (définition, produit, quotient, rendre rationnel cas simple et cas avec conjugué).

📝 Correction

1) Définition de la racine carrée

La racine carrée d’un nombre positif \(b\) est le seul nombre positif \(d\) dont le carré est égal à \(b\).

\(d^2 = b\) et on note : \(d = \sqrt{b}\)

Signe : \(\sqrt{b}\) est toujours positif ou nul (pour \(b \ge 0\)).

2) \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

La racine carrée d’une somme n’est pas égale à la somme des racines carrées.

Contre-exemple :
\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\)
Donc \(5 \neq 7\) → \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

3) Produit des racines carrées

Pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\) :

\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)

Exemple : \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)

4) Quotient des racines carrées

Pour \(a \ge 0\) et \(b > 0\) :

\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Exemple : \(\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}\)

5) Simplification de \(\sqrt{12}\)

On décompose \(12\) en un produit de carrés parfaits :

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)

6) Rendre rationnel le dénominateur

« Rendre rationnel le dénominateur » signifie supprimer la racine carrée qui se trouve au dénominateur d’une fraction, en multipliant le numérateur et le dénominateur par un nombre judicieusement choisi.

Exemple : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

7) Rendre rationnel \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)

On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{a}\) :

\(\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{1 \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}\)

Exemple : \(\dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)

8) Conjugué d’une expression

Le conjugué de \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\) est \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Utilité : Le produit d’une expression par son conjugué donne une différence de carrés qui élimine les racines.

\((\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 – (\sqrt{b})^2 = a – b\)

9) Simplification de \(\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\)

Étape 1 : On multiplie par le conjugué du dénominateur \((1+\sqrt{5})\).

\(\dfrac{2}{1-\sqrt{5}} = \dfrac{2 \times (1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5}) \times (1+\sqrt{5})}\)

Étape 2 : On calcule le dénominateur avec l’identité remarquable.

\((1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2 – (\sqrt{5})^2 = 1 – 5 = -4\)

Étape 3 : On simplifie.

\(\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{-4} = -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Résultat : \(\boxed{-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

10) Tableau récapitulatif des propriétés

Propriété	Formule	Exemple
Définition	\(d = \sqrt{b} \iff d^2 = b\)	\(\sqrt{25} = 5\)
Produit	\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)	\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
Quotient	\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)	\(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)
Rendre rationnel (cas simple)	\(\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\)	\(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Rendre rationnel (conjugué)	\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\)	\(\frac{2}{1-\sqrt{5}} = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

🔢Exercice 1 : Racine carrée – Compléter les pointillés

Compléter les pointillés :

Questions

a) \(3^{2}=9\) donc \(\sqrt{9}=3\) (exemple)

b) \(17^{2}=289\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots\)

c) \(4^{2}=\ldots \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=4\)

d) \(12^{2}=144\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots\)

e) \(6^{2}=\ldots \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots\)

f) \(\ldots \ldots^{2}=16\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots\)

g) \(\ldots \ldots^{2}=\ldots \ldots\) donc \(\sqrt{25}=\ldots \ldots\)

h) \(7^{2}=\ldots \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots\)

i) \(\ldots \ldots^{2}=81\) donc \(\sqrt{\ldots \ldots}=\ldots \ldots\)

j) \(\ldots \ldots^{2}=\ldots \ldots\) donc \(\sqrt{64}=\ldots \ldots\)

Rappel :

\(\sqrt{b} = a\) signifie que \(a^2 = b\) avec \(a \ge 0\).

La racine carrée d’un nombre est toujours positive.

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

🧮Exercice 2 : Calcul mental – Racines carrées

Calculer mentalement :

Questions

a) \(\sqrt{4} =\)

b) \(\sqrt{100} =\)

c) \(\sqrt{900} =\)

d) \(\sqrt{0,01} =\)

e) \(\sqrt{(3,14)^{2}} =\)

f) \(\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}} =\)

g) \(\sqrt{\frac{9}{25}} =\)

h) \(\sqrt{\frac{49}{36}} =\)

i) \(\sqrt{\frac{1}{81}} =\)

j) \(\sqrt{\frac{121}{100}} =\)

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🧮Exercice 3 : Réduire des expressions avec racines carrées

Réduire les expressions suivantes :

Questions

Exemple :
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 7\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+5-7+2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)

1) \(5\sqrt{5} – 6\sqrt{3} – 8\sqrt{3} + \sqrt{5} =\)

2) \(-4\sqrt{11} + 11\sqrt{11} + 13\sqrt{11} =\)

3) \(3\sqrt{7} – 3\sqrt{5} – 5\sqrt{7} + 7\sqrt{5} =\)

4) \(-8\sqrt{2} – 2\sqrt{11} + 3\sqrt{11} – 7\sqrt{2} =\)

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🧮Exercice 4 : Calcul de produits avec racines carrées

Calculer les produits suivants :

Questions

1) \(\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} =\)

2) \(2\sqrt{7} \times 5\sqrt{7} =\)

3) \(3\sqrt{5} \times 4\sqrt{5} =\)

4) \(-\sqrt{2} \times \sqrt{2} =\)

5) \(-3\sqrt{2} \times (-5\sqrt{2}) =\)

6) \(7\sqrt{3} \times (-2\sqrt{3}) =\)

7) \(5\sqrt{5} \times (-2\sqrt{5}) =\)

8) \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} =\)

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🧮Exercice 5 : Calcul des carrés avec racines carrées

Calculer les carrés suivants :

Questions

1) \(\sqrt{5^{2}} =\)

2) \((3\sqrt{2})^{2} =\)

3) \((-2\sqrt{3})^{2} =\)

4) \((2\sqrt{11})^{2} =\)

5) \((5\sqrt{2})^{2} =\)

6) \((6\sqrt{3})^{2} =\)

7) \((-2\sqrt{7})^{2} =\)

8) \((-9\sqrt{11})^{2} =\)

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🧮Exercice 6 : Écrire sous la forme \(a\sqrt{n}\)

Écrire sous la forme \(a\sqrt{n}\) avec \(a\) entier :

a) Forme \(a\sqrt{2}\)

\(\sqrt{18} =\)

\(\sqrt{50} =\)

\(\sqrt{98} =\)

\(\sqrt{162} =\)

b) Forme \(a\sqrt{3}\)

\(\sqrt{12} =\)

\(\sqrt{27} =\)

\(\sqrt{300} =\)

\(\sqrt{192} =\)

c) Forme \(a\sqrt{5}\)

\(\sqrt{20} =\)

\(\sqrt{45} =\)

\(\sqrt{80} =\)

\(\sqrt{245} =\)

d) Forme \(a\sqrt{6}\)

\(\sqrt{96} =\)

\(\sqrt{150} =\)

\(\sqrt{216} =\)

\(\sqrt{384} =\)

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🧮Exercice 7 : Écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible

Écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers, \(b\) étant le plus petit possible :

Questions

a) \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}\) (exemple)

b) \(\sqrt{99} =\)

c) \(\sqrt{54} =\)

d) \(\sqrt{63} =\)

e) \(\sqrt{32} =\)

f) \(\sqrt{288} =\)

g) \(\sqrt{675} =\)

h) \(\sqrt{72} =\)

i) \(\sqrt{845} =\)

j) \(\sqrt{847} =\)

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🧮Exercice 8 : Rendre rationnel les dénominateurs

1) Rendre rationnel les dénominateurs suivants :

\(\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) (exemple)

\(\dfrac{2}{\sqrt{3}} =\)

\(\dfrac{4}{\sqrt{7}} =\)

\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} =\)

\(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} =\)

\(\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}} =\)

\(\sqrt{\dfrac{4}{5}} =\)

\(\sqrt{\dfrac{7}{2}} =\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{3}} =\)

2) Rendre rationnel les dénominateurs suivants :

\(\dfrac{3}{\sqrt{5}+4} =\)

\(\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}-3} =\)

\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+4} =\)

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🧮Exercice 9 : Résoudre les équations \(x^2 = a\)

Retrouver toutes les solutions de ces équations :

Questions

a) \(x^{2} = 5\) donc \(x = \sqrt{5}\) ou \(x = -\sqrt{5}\) (exemple)

b) \(x^{2} = 3\)

c) \(x^{2} = 16\)

d) \(x^{2} = 0\)

e) \(x^{2} = 1\)

f) \(x^{2} = -2\)

g) \(x^{2} – 2 = 3\)

h) \(x^{2} + 6 = 8\)

i) \(17 – 7x^{2} = 3\)

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🧮Exercice 10 : Développer avec des racines carrées

Calculer en développant les expressions suivantes :

📌 Exemple :

\(A = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+3)\)

\(A = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times 3 + 1 \times \sqrt{2} + 1 \times 3\)

\(A = 2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{2} + 3\)

\(A = 4\sqrt{2} + 5\)

Questions

\(B = (\sqrt{5}+2)(1+\sqrt{5})\)

\(C = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-3)\)

\(D = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\)

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🧮Exercice 11 : Calculer les carrés avec racines carrées

Calculer :

Questions

\(A = (\sqrt{2}+1)^2\)

\(B = (\sqrt{3}+2)^2\)

\(C = (\sqrt{5}-2)^2\)

\(D = (5+\sqrt{7})^2\)

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🧮Exercice 12 : Développer avec des racines carrées

Calculer en développant les expressions suivantes :

Questions

\(A = 3\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)\)

\(B = (2\sqrt{5}+2)(1-3\sqrt{5})\)

\(C = 7\sqrt{3}(3-5\sqrt{3})\)

\(D = (5\sqrt{2}-4)(3-8\sqrt{2})\)

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🧮Exercice 13 : Calculer les carrés avec racines carrées

Calculer :

Questions

\(A = (3\sqrt{2}+1)^2\)

\(B = (2\sqrt{3}+1)^2\)

\(C = (2\sqrt{5}+3)^2\)

\(D = \sqrt{2}(5+3\sqrt{2})^2\)

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🧮Exercice 14 : Calculer avec des racines carrées

Calculer :

Questions

\(A = 2\sqrt{3}(7\sqrt{3})^2\)

\(B = 3\sqrt{7}(2-11\sqrt{7})^2\)

\(C = 2\sqrt{7}(1-3\sqrt{7})(2\sqrt{7}-3)\)

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