Rotation d’un solide indéformable autour d’un axe fixe – exercices corrigés
📐Exercice : Questions de cours (Rotation)
Définir le mouvement de translation d’un corps solide. Donner un exemple tiré du cours.
Quand dit-on qu’un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe ? Donner un exemple du cours.
Qu’appelle-t-on abscisse angulaire d’un point ? Quelle est son unité ?
Quelle est la relation entre l’abscisse curviligne \( S \) et l’abscisse angulaire \( \theta \) ? Définir chaque terme.
Définir la vitesse angulaire moyenne \( \omega_m \) et la vitesse angulaire instantanée \( \omega(t_i) \) d’un solide en rotation.
Établir la relation liant la vitesse linéaire \( V \) d’un point et la vitesse angulaire \( \omega \) du solide.
Définir un mouvement de rotation uniforme. Donner l’expression de sa période \( T \) et de sa fréquence \( f \).
Écrire l’équation horaire du mouvement de rotation uniforme pour l’abscisse angulaire \( \theta(t) \) et pour l’abscisse curviligne \( S(t) \).
Un corps solide est en mouvement de translation si tout vecteur liant deux points quelconques du solide garde les mêmes caractéristiques (direction, sens et norme) au cours du mouvement.
Exemples du cours : Les nacelles d’une grande roue (mouvement de translation curviligne) ou les nacelles d’une roue de manège (mouvement de translation circulaire).
Un solide possède un mouvement de rotation autour d’un axe fixe \( (\Delta) \) si tous ses points décrivent des trajectoires circulaires centrées sur l’axe de rotation. Les points situés sur l’axe sont immobiles.
Exemples du cours : La rotation d’une roue de vélo, la rotation d’une porte autour de ses gonds, ou la rotation d’un disque homogène autour d’un axe passant par son centre.
L’abscisse angulaire \( \theta(t) \) d’un point A à un instant \( t \) est la valeur de l’angle \( \widehat{A_2OA} \), où \( A_2 \) est l’origine des abscisses angulaires.
Unité : Le radian (noté rad). C’est une grandeur algébrique.
• \( S(t) \) : abscisse curviligne en mètres (m).
• \( R \) : rayon de la trajectoire circulaire en mètres (m).
• \( \theta(t) \) : abscisse angulaire en radians (rad).
• Tous les points du solide ont la même abscisse angulaire, mais des abscisses curvilignes différentes.
La vitesse angulaire moyenne entre deux instants \( t_i \) et \( t_f \) est définie par :
La vitesse angulaire instantanée à la date \( t_i \) est la vitesse angulaire moyenne calculée sur un intervalle de temps très court autour de \( t_i \) :
La vitesse angulaire instantanée est la même pour tous les points du solide en rotation.
La vitesse linéaire \( V(t) \) d’un point situé à une distance \( R \) de l’axe de rotation est liée à la vitesse angulaire \( \omega(t) \) du solide par la relation :
Démonstration : \( V_A(t_i) = \dfrac{S_{i+1} – S_{i-1}}{2\tau} = R \cdot \dfrac{\theta_{i+1} – \theta_{i-1}}{2\tau} = R \cdot \omega(t_i) \)
Le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe est dit uniforme si sa vitesse angulaire \( \omega \) reste constante au cours du temps :
• La période \( T \) est la durée d’un tour complet : \( T = \dfrac{2\pi}{\omega} \) (en secondes).
• La fréquence \( f \) est le nombre de tours par seconde : \( f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi} \) (en Hertz).
Les équations horaires du mouvement de rotation uniforme sont :
\( S(t) = V \cdot t + S_0 \)
• \( \theta_0 \) : abscisse angulaire à l’origine des dates \( t=0 \).
• \( S_0 \) : abscisse curviligne à l’origine des dates \( t=0 \).
• \( \omega \) : vitesse angulaire constante.
• \( V = R \cdot \omega \) : vitesse linéaire constante.
⚙️Exercice 1 : Mouvement de rotation d’un disque
Un disque de diamètre 5 cm est en rotation autour d’un axe fixe. Il effectue 200 tours par minute.
Calculer la vitesse angulaire \( \omega \) de ce disque en \( \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \).
Déterminer la période \( T \) et la fréquence \( f \) du mouvement de ce disque.
En déduire la norme du vecteur vitesse \( V \) d’un point \( M \) appartenant au périmètre de ce disque.
Le disque effectue \( N = 200 \) tours en \( \Delta t = 1 \text{ min} = 60 \text{ s} \).
Un tour correspond à un angle de \( 2\pi \) radians, donc :
La période \( T \) est la durée d’un tour complet :
La fréquence \( f \) est le nombre de tours par seconde :
On vérifie bien que \( f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{20\pi/3}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \approx 3,33 \text{ Hz} \).
Le rayon du disque est \( R = \dfrac{\text{diamètre}}{2} = \dfrac{5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm} = 2,5 \times 10^{-2} \text{ m} \).
La vitesse linéaire d’un point situé à la distance \( R \) de l’axe est donnée par :
🚲Exercice 2 : Chronophotographie d’une roue de bicyclette
Le document ci-contre est une chronophotographie d’une roue de bicyclette dont le cadre est maintenu immobile. On a collé une pastille blanche sur un rayon. L’intervalle de temps entre deux prises de vue consécutives est égale à \( \tau = 40 \, \text{ms} \).
Donnée : diamètre de la roue \( D = 50 \, \text{cm} \)
Caractériser le mouvement de la roue.
Déterminer la vitesse angulaire \( \omega \) de la roue.
Calculer la valeur \( v \) de la vitesse d’un point situé à sa périphérie.
Déterminer la période \( T \) de rotation de la roue. En déduire sa fréquence \( f \).
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🧺Exercice 3 : Tambour d’une machine à laver
Le tambour d’une machine à laver le linge est un cylindre de diamètre 46 cm. Au moment de l’essorage, il tourne autour de son axe à 800 tr/min.
Calculer sa vitesse angulaire \( \omega \) de rotation en \( \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \).
Calculer la vitesse \( v \) du point \( H \) de la périphérie du tambour.
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🕐Exercice 4 : Mouvement des aiguilles d’une montre
On s’intéresse au mouvement de rotation des aiguilles d’une montre.
Déterminer la vitesse angulaire de la grande aiguille (celle des minutes) d’une montre.
Déterminer la vitesse angulaire de la petite aiguille (celle des heures) d’une montre.
On choisit l’origine des dates à midi (\( t_0 = 0 \)). À quel instant les deux aiguilles se superposent-elles à nouveau ?
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🌀Exercice 5 : Mouvement circulaire uniforme d’un autoporteur
On accroche un autoporteur à l’aide d’un fil inextensible avec une pièce métallique. On le lance de façon qu’il tourne autour d’un axe fixe centré sur cette pièce et qui passe par le point \( O \). On enregistre le mouvement d’un point \( M \) de l’autoporteur pendant des intervalles de temps égaux et successifs \( \tau = 40 \, \text{ms} \), et on obtient l’enregistrement ci-dessous à l’échelle \( \frac{1}{4} \).
On choisit la direction référentiel \( Ox \) passant par le point \( M_0 \) et le point \( M_2 \) comme origine des temps (\( t = 0 \)).
Montrer que le mouvement du point \( M \) est circulaire uniforme.
Remplir un tableau contenant les valeurs des abscisses curvilignes \( S(t) \) et des abscisses angulaires \( \theta(t) \).
Représenter avec une échelle convenable les courbes des deux fonctions \( S(t) \) et \( \theta(t) \).
Trouver les valeurs de la vitesse angulaire \( \omega \) et de la vitesse linéaire \( v \).
Est-ce que la relation \( v = R \cdot \omega \) est vérifiée dans ce cas ?
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🎠Exercice 6 : Mouvement d’un chariot sur un manège
Un chariot sur un manège est décrit ci-dessous. Les différentes positions occupées par le chariot seront notées de \( M_0 \) à \( M_{26} \).
Données : Sur le schéma la flèche a une longueur de 10 cm. 1 cm représente 2 m dans la réalité. Deux positions successives sont séparées par un intervalle de temps \( \Delta t = 0,50 \, \text{s} \).
Calculer les vitesses instantanées réelles \( V_2 \) et \( V_8 \) aux positions 2 et 8.
Représenter les vecteurs vitesses correspondants, en prenant comme échelle \( 1 \, \text{cm} \) pour \( 2 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \). Donner les caractéristiques du vecteur vitesse \( \vec{V}_8 \).
Calculer la vitesse angulaire moyenne \( \omega \) de la nacelle entre les instants \( t_6 \) et \( t_{20} \).
Calculer cette vitesse moyenne \( N \) en \( \text{tr} \cdot \text{min}^{-1} \).
Décrire le mouvement du chariot au cours du temps.
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🌍Exercice 7 : Rotation de la Terre autour de son axe
La période de la rotation de la Terre autour de l’axe des deux pôles (Nord et Sud) est de 24 heures.
Donnée : rayon de la Terre \( R = 6400 \, \text{km} \)
Déterminer la valeur de la vitesse angulaire de rotation \( \omega \) de la Terre.
Trouver l’expression de la vitesse linéaire \( v \) d’un point \( M \) appartenant à la surface de la Terre, se trouvant à la latitude \( \lambda = 30^\circ \) (Rabat).
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🛰️Exercice 8 : Satellite en orbite autour de la Terre
On considère un satellite \( S \) qui se trouve dans le plan équateur et qui tourne autour de la Terre dans le même sens de rotation de la Terre autour d’elle-même. Le satellite fait un tour complet pendant 1 h 30 min.
Quelle est la durée nécessaire qui sépare deux passages consécutifs de ce satellite sur la même place ?
Même question si le satellite tourne dans le sens contraire de celui de la Terre.
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📈Exercice 9 : Étude graphique du mouvement de rotation
Le document ci-contre donne les variations de l’abscisse curviligne \( s \) d’un point \( M \) d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe en fonction du temps \( t \).
\( R_M = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m} \)
Quelle est la nature du mouvement du point \( M \) ?
Déterminer l’équation horaire \( s(t) \) du mouvement.
Calculer la vitesse linéaire d’un point \( N \) distant de \( d = 25 \, \text{cm} \) de l’axe de rotation.
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📏Exercice 10 : Rotation d’une barre homogène
Une barre AB homogène de longueur \( L = 0,5 \, \text{m} \) et de masse \( M = 1 \, \text{kg} \) tourne autour d’un axe fixe \( \Delta \) passant par son centre d’inertie \( O \) et perpendiculaire au plan contenant la barre (Figure 1).
Soit un point \( M \) appartenant à la barre \( AB \) tel que \( OM = \dfrac{AB}{4} \).
La courbe de la figure (2) représente la variation de l’abscisse angulaire \( \theta \) des positions occupées par le point \( M \) à chaque instant \( t \).
Donner la définition de la rotation uniforme d’un corps solide autour d’un axe fixe.
Quelle est la nature du mouvement de la barre \( AB \) ? Justifier.
Écrire l’équation horaire \( \theta(t) \) du mouvement de la barre autour de \( \Delta \).
En déduire la vitesse linéaire \( V_M \) du point \( M \).
Pendant la durée \( \Delta t \), la barre effectue 20 tours autour de \( \Delta \). Calculer \( \Delta t \).
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🔄Exercice 11 : Solide en rotation uniforme
On considère un solide en rotation autour d’un axe fixe, sa vitesse de rotation constante de valeur \( \omega_0 = 2 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \).
Soit un point \( M \) du solide qui décrit une trajectoire circulaire de rayon \( R = 2 \, \text{m} \) et de centre \( O \) qui appartient à l’axe de rotation \( \Delta \).
À \( t = 1 \, \text{s} \), l’abscisse angulaire du point \( M \) est \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \, \text{rad} \).
Écrire l’équation horaire du mouvement du point \( M \).
Quelle est la vitesse linéaire du point \( M \) ?
Quel temps met-il pour effectuer un tour ?
À quelle date le point \( M \) fait le premier passage par l’origine d’espace ?
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🚲Exercice 12 : Transmission d’une bicyclette
Une bicyclette a des roues de diamètre 69 cm. Le pignon arrière a 12 dents et le plateau du pédalier a 40 dents. L’entraxe de la manivelle du pédalier mesure 17 cm.
La vitesse de la bicyclette est de \( 20 \, \text{km} \cdot \text{h}^{-1} \).
En mouvement, les deux roues de la bicyclette ne glissent pas sur le sol. Quelle est alors la conséquence sur la vitesse :
a) angulaire des roues arrière et avant ?
b) linéaire d’un point de la circonférence des deux roues ?
Calculer la vitesse angulaire \( \omega_R \) de la roue arrière.
Déterminer la vitesse linéaire \( v_R \) d’un point situé sur la circonférence du pignon de diamètre 6 cm de la roue arrière.
Quelle est la vitesse linéaire \( v_P \) d’un point de la circonférence du plateau du pédalier ?
Quelle est la vitesse linéaire \( v_A \) de l’axe de la pédale ?
a) Déterminer le diamètre \( D_P \) du plateau en considérant que le diamètre est proportionnel au nombre de dents.
b) Calculer la vitesse angulaire \( \omega_P \) du plateau de diamètre 20 cm.
c) Quelle est la vitesse angulaire \( \omega_A \) de la manivelle du pédalier ?
d) En déduire la vitesse linéaire \( v_A \) de l’axe de la pédale.
Conclure.
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⚡Exercice 13 : Transmission par courroie (Machine à laver)
Le tambour d’une machine à laver est entraîné par un moteur électrique. La transmission du mouvement est assurée par une courroie tournant sans glissement.
La fréquence de rotation du moteur est \( N_A = 3000 \, \text{tr/min} \).
La poulie du moteur a un diamètre \( D_A = 10 \, \text{cm} \) et la poulie du tambour \( D_B = 40 \, \text{cm} \).
Convertir la fréquence de rotation du moteur en tours par seconde.
Déterminer la vitesse angulaire \( \omega_A \) du moteur en \( \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \).
Calculer la vitesse linéaire d’un point de la courroie en \( \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \) et en \( \text{km} \cdot \text{h}^{-1} \).
Déterminer la vitesse angulaire \( \omega_B \) du tambour.
En déduire la fréquence de rotation \( N_B \) du tambour exprimée en \( \text{tr} \cdot \text{min}^{-1} \).
Quelle est la relation littérale entre les fréquences de rotation \( N_A \) et \( N_B \) du moteur et du tambour ?
Calculer la vitesse d’un point de la circonférence du tambour de diamètre \( D_T = 100 \, \text{cm} \).
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🛰️Exercice 14 : Satellite en orbite circulaire
Un satellite de masse \( M \) décrit autour de la Terre, d’un mouvement uniforme, une orbite circulaire à une altitude \( h \).
Données :
• Rayon de la Terre : \( R = 6,4 \times 10^6 \, \text{m} \)
• Intensité de pesanteur à \( h = 0 \) : \( g_0 = 9,81 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
• À l’altitude \( h \) : \( g = g_0 \left( \dfrac{R}{R + h} \right)^2 \)
• Vitesse du satellite : \( v^2 = g \cdot (R + h) \)
On suppose que \( h = 300 \, \text{km} \).
a) Calculer la vitesse du satellite sur son orbite.
b) Calculer la période de révolution.
a) Quelle devrait être l’altitude \( h \) du satellite pour qu’il soit géostationnaire, c’est-à-dire qu’il apparaisse immobile à un observateur terrestre ?
b) Calculer alors sa vitesse.
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Rotation d’un solide indéformable autour d’un axe fixe – exercices corrigés