Somme et différence des nombres rationnels exercices corrigés 2AC

📋Exercice : Questions de cours (Addition et soustraction de nombres rationnels)

Énoncer la règle pour additionner deux nombres rationnels ayant le même dénominateur. Donner la formule générale.

Comment additionner deux nombres rationnels qui ont des dénominateurs différents ? Décrire la méthode.

Énoncer la règle pour soustraire deux nombres rationnels ayant le même dénominateur. Donner la formule générale.

Comment soustraire deux nombres rationnels qui ont des dénominateurs différents ? Décrire la méthode.

Comment additionner un nombre entier avec une fraction ? Donner un exemple.

Que signifie réduire au même dénominateur ? Expliquer avec un exemple.

Comment additionner ou soustraire des nombres négatifs avec des fractions ? Donner un exemple pour l’addition et un pour la soustraction.

Que signifie la règle \(a – (-b) = a + b\) ? Donner un exemple avec des fractions.

Donner un exemple complet d’addition de deux fractions avec des dénominateurs différents, en détaillant toutes les étapes.

Écrire le tableau récapitulatif des opérations d’addition et soustraction de nombres rationnels (condition, formule, exemple).

📝 Correction

1) Addition de fractions (même dénominateur)

Pour additionner deux nombres rationnels de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}\)

2) Addition de fractions (dénominateurs différents)

Pour additionner deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur (en utilisant le PPCM ou un multiple commun), puis on applique la règle d’addition des fractions de même dénominateur.

Exemple : \(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}\)

3) Soustraction de fractions (même dénominateur)

Pour soustraire deux nombres rationnels de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{b} = \dfrac{a – c}{b}\)

4) Soustraction de fractions (dénominateurs différents)

Pour soustraire deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur, puis on applique la règle de soustraction des fractions de même dénominateur.

Exemple : \(\frac{5}{6} – \frac{3}{4} = \frac{10}{12} – \frac{9}{12} = \frac{1}{12}\)

5) Addition d’un entier et d’une fraction

Pour additionner un nombre entier avec une fraction, on transforme l’entier en fraction avec le même dénominateur.

Exemple : \(3 + \frac{2}{5} = \frac{3}{1} + \frac{2}{5} = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}\)

6) Réduire au même dénominateur

Réduire au même dénominateur signifie transformer deux (ou plusieurs) fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.

Exemple : \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{5}{6}\) → dénominateur commun 12 → \(\frac{9}{12}\) et \(\frac{10}{12}\)

On utilise la propriété : \(\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}\) pour tout \(k \neq 0\).

7) Addition et soustraction avec des nombres négatifs

On applique les mêmes règles qu’avec les nombres positifs. Les règles de calcul avec les relatifs s’appliquent aux numérateurs.

Addition : \(\frac{-3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{-3+2}{7} = \frac{-1}{7}\)

Soustraction : \(\frac{-2}{5} – \frac{3}{5} = \frac{-2-3}{5} = \frac{-5}{5} = -1\)

8) Règle \(a – (-b) = a + b\)

La règle \(a – (-b) = a + b\) signifie que soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé.

Exemple : \(\frac{4}{3} – \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\)

9) Exemple complet d’addition avec dénominateurs différents

Calculer : \(\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\)

Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. PPCM de 4 et 6 = 12.

Étape 2 : Réduire les fractions au dénominateur 12.

\(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\) et \(\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}\)

Étape 3 : Additionner les numérateurs.

\(\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}\)

Résultat : \(\frac{19}{12}\)

10) Tableau récapitulatif

Opération	Condition	Formule	Exemple
Addition	Même dénominateur	\(\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}\)	\(\frac{2}{5} + \frac{-11}{5} = \frac{-9}{5}\)
Addition	Dénominateurs différents	Réduire au même dénominateur	\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{19}{12}\)
Soustraction	Même dénominateur	\(\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}\)	\(\frac{7}{3} – \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\)
Soustraction	Dénominateurs différents	Réduire au même dénominateur	\(\frac{5}{6} – \frac{3}{4} = \frac{1}{12}\)
Avec nombres négatifs	Soustraire un négatif	\(a – (-b) = a + b\)	\(\frac{4}{3} – \frac{-1}{3} = \frac{5}{3}\)

🔢Exercice 1 : Addition et soustraction de nombres rationnels

Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :

Questions

\(A = \dfrac{11}{24} + \dfrac{13}{8}\)

\(B = \dfrac{5}{12} – \dfrac{10}{3}\)

\(C = \dfrac{11}{2} – \dfrac{3}{7}\)

\(D = \dfrac{16}{5} + \dfrac{11}{2}\)

\(E = \dfrac{-4}{7} + \dfrac{13}{2}\)

\(F = \dfrac{12}{7} – \dfrac{-15}{2}\)

\(G = \dfrac{11}{10} – \dfrac{-13}{4}\)

\(H = \dfrac{6}{35} + \dfrac{-5}{21}\)

\(I = -\dfrac{6}{7} + 3\)

\(J = 5 – \dfrac{14}{24}\)

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

🔢Exercice 2 : L’opposé d’un nombre rationnel

Complète les égalités suivantes dans chaque cas :

Questions

1) \(\dfrac{-3}{5} + \ldots = 0\)

2) \(\left(\dfrac{2}{-7}\right) + \ldots = 0\)

3) \(\ldots + \dfrac{7}{-8} = 0\)

4) \(\ldots + \dfrac{-7}{-8} = 0\)

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🔢Exercice 3 : Compléter les égalités

Recopie et complète :

Questions

1) \(\dfrac{9}{5} + \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{15}{5}\)

2) \(\dfrac{\ldots}{\ldots} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{23}{15}\)

3) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{23}{24}\)

4) \(\dfrac{-3}{4} + \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{2}{8}\)

5) \(\dfrac{9}{5} – \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{1}{5}\)

6) \(\dfrac{5}{8} – \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{3}{40}\)

7) \(\dfrac{14}{4} \ldots \dfrac{5}{2} = 1\) (compléter avec \(+\) ou \(-\))

8) \(0,75 + \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{3}{12}\)

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🔢Exercice 4 : Suites de calculs avec des nombres rationnels

Compléter les suites de calculs suivantes :

Questions

a) \(a = 3 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4}\)

b) \(b = 2 – \dfrac{1}{5} – \dfrac{3}{15}\)

c) \(c = \dfrac{15}{16} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{11}{9}\)

d) \(d = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{12}\)

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🔢Exercice 5 : Calculs avec priorités opératoires

Calculer en respectant les priorités et en donnant le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{4}{7} – \left(\dfrac{6}{7} – \dfrac{5}{7}\right) + \dfrac{1}{7}\)

\(B = \dfrac{19}{4} – \left[\dfrac{1}{2} – \left(\dfrac{3}{8} – \dfrac{1}{4}\right)\right]\)

\(C = \left(\dfrac{7}{12} – \dfrac{1}{6}\right) – \left(\dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{3}\right)\)

\(D = \dfrac{3}{10} – \left(\dfrac{97}{100} – 0,8\right)\)

\(E = -\dfrac{14}{30} – \left(\dfrac{-1}{6} – \dfrac{1}{-5}\right)\)

\(F = \dfrac{24}{15} – \left[-\dfrac{-2}{3} – \left(\dfrac{11}{-5} – 2\right)\right]\)

\(G = \left(-\dfrac{-75}{10} – 3\right) – \left(5 – \dfrac{43}{-10}\right)\)

\(H = -\left(\dfrac{-25}{42} – \dfrac{2}{-7}\right) – \dfrac{5}{3}\)

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🧮Exercice 6 : Problème – Le primeur

Un primeur a vendu les \(\dfrac{2}{3}\) de ses salades le matin et les \(\dfrac{7}{8}\) du reste l’après-midi.

Questions

Quelle fraction de ses salades lui reste-t-il à midi ?

Quelle fraction de ses salades le primeur a-t-il vendue l’après-midi ?

Rappel :

• La totalité des salades représente la fraction 1 (ou \(\dfrac{1}{1}\)).

• Pour trouver le reste après une vente, on soustrait la fraction vendue de 1.

• Pour trouver une fraction d’une fraction, on multiplie les deux fractions.

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🧮Exercice 7 : Problème – Le partage du gâteau

Karim a mangé \(\dfrac{1}{4}\) d’un gâteau. Malika a mangé \(\dfrac{3}{8}\) du même gâteau.

Questions

Quelle part du gâteau ont-ils mangée à eux deux ?

Quelle part du gâteau reste-t-il ?

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🧮Exercice 8 : Problème – L’héritage

Après de longues négociations, il a été convenu que Hanane héritera de deux quinzièmes de la fortune de son oncle du bout du monde, Ali d’un neuvième de cette fortune, Driss et Younes se partageront équitablement le reste.

Question

Quelles seront les parts respectives de Driss et Younes ?

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🧮Exercice 9 : Problème – Le terrain agricole

Monsieur Abdellah possède un terrain agricole à Béni Mellal. Il décide de le partager pour différentes cultures.

📌 Le partage du terrain :

Il consacre \(\dfrac{2}{5}\) du terrain pour planter des oliviers.
Il consacre \(\dfrac{1}{4}\) du terrain pour planter des amandiers.
Il consacre \(\dfrac{1}{6}\) du terrain pour planter des figuiers.
Le reste du terrain est réservé à la culture des légumes.

Questions

Quelle fraction du terrain est consacrée aux oliviers, amandiers et figuiers ?

Quelle fraction du terrain est réservée aux légumes ?

Sachant que le terrain a une superficie totale de 7 200 m², calculer la surface (en m²) consacrée à chaque type de culture.

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🔢Exercice 11 : Addition et soustraction de fractions

Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction simplifiée :

Questions

A) \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18} – \dfrac{2}{9}\)

B) \(\dfrac{11}{15} – \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{30}\)

C) \(\left(\dfrac{8}{9} – \dfrac{5}{6}\right) + \left(\dfrac{7}{18} – \dfrac{1}{3}\right)\)

D) \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{7} – \dfrac{11}{42} – \dfrac{3}{14}\)

E) \(\dfrac{17}{20} – \left(\dfrac{3}{5} – \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{7}{10}\)

F) \(\left(\dfrac{19}{24} – \dfrac{5}{16}\right) – \left(\dfrac{11}{12} – \dfrac{3}{8}\right)\)

G) \(\dfrac{13}{21} + \dfrac{5}{14} – \dfrac{17}{42} – \dfrac{2}{7}\)

H) \(\left(5 – \dfrac{7}{8}\right) – \left(3 – \dfrac{5}{6}\right) + \dfrac{13}{24}\)

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