Addition de deux nombres rationnels

Règle : Pour additionner deux nombres rationnels de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}\)

📌 Exemple détaillé :

\(A = \frac{2}{5} + \frac{-11}{5} = \frac{2 + (-11)}{5} = \frac{-9}{5}\)

Explication : Les deux fractions ont le même dénominateur (5). On additionne les numérateurs : \(2 + (-11) = -9\). On garde le dénominateur commun (5). Le résultat est \(\frac{-9}{5}\).

📌 Exemple détaillé :

\(B = \frac{3}{4} + \frac{5}{6}\) Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. Le PPCM de 4 et 6 est 12. Étape 2 : Réduire les fractions au dénominateur 12 : \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\) et \(\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}\) Étape 3 : Additionner : \(\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}\)

Résultat : \(B = \frac{19}{12}\)

📌 Exemples : \(C = 3 + \frac{2}{5} = \frac{3}{1} + \frac{2}{5} = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}\) \(D = \frac{7}{2} + 1,5 = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Explication : On transforme les entiers et les décimaux en fractions avant d’additionner.

Soustraction de deux nombres rationnels

Règle : Pour soustraire deux nombres rationnels de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{b} = \dfrac{a – c}{b}\)

📌 Exemple détaillé :

\(E = \frac{7}{3} – \frac{2}{3} = \frac{7 – 2}{3} = \frac{5}{3}\) \(F = \frac{5}{8} – \frac{11}{8} = \frac{5 – 11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\)

Explication : On soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun. On simplifie ensuite si possible.

📌 Exemple détaillé :

\(G = \frac{5}{6} – \frac{3}{4}\) Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. Le PPCM de 6 et 4 est 12. Étape 2 : Réduire les fractions au dénominateur 12 : \(\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}\) et \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\) Étape 3 : Soustraire : \(\frac{10}{12} – \frac{9}{12} = \frac{1}{12}\)

Résultat : \(G = \frac{1}{12}\)

Cas particuliers : nombres relatifs

📌 Exemples avec des nombres négatifs :

Addition : \(H = \frac{-3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{-3 + 2}{7} = \frac{-1}{7}\) \(I = \frac{-5}{4} + \frac{-3}{4} = \frac{-5 + (-3)}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

Soustraction : \(J = \frac{-2}{5} – \frac{3}{5} = \frac{-2 – 3}{5} = \frac{-5}{5} = -1\) \(K = \frac{4}{3} – \frac{-1}{3} = \frac{4 – (-1)}{3} = \frac{4 + 1}{3} = \frac{5}{3}\) Explication : Soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé.

Tableau récapitulatif

Opération	Condition	Formule	Exemple
Addition	Même dénominateur	\(\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}\)	\(\frac{2}{5} + \frac{-11}{5} = \frac{-9}{5}\)
Addition	Dénominateurs différents	Réduire au même dénominateur	\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{19}{12}\)
Soustraction	Même dénominateur	\(\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}\)	\(\frac{7}{3} – \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\)
Soustraction	Dénominateurs différents	Réduire au même dénominateur	\(\frac{5}{6} – \frac{3}{4} = \frac{1}{12}\)
Avec nombres négatifs	Soustraire un négatif	\(a – (-b) = a + b\)	\(\frac{4}{3} – \frac{-1}{3} = \frac{5}{3}\)