Symétrie axiale exercices corrigés 2AC
Exercice 1:
$1)$ Rappel de la définition de la symétrie axiale: (compléter la phrase suivante)
Deux points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$$……$
$2)$-$a)$ Sur papier uni, tracer un segment $[A B]$ de longueur $5 cm$ . Placer son milieu $M$.
$b)$ Tracer en rouge la médiatrice $(d)$ du segment $[A B]$.
$1)$ Deux points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$ si $(d)$ est la médiatrice du segment $[A B]$
$a)$ et $b)$
Exercice 2:
Dans chaque cas, dire sir le point $B$ est le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ en justifiant la réponse.
Rappel : $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $(d)$ si la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[A B]$.
• figure 1
La droite $(d)$ coupe le milieu de $[A B]$ et coupe $[? A B]$ perpendiculairement.
donc $(d)$ est la médiatrice de $[A B]$
donc $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.
• figure 2
La droite $(d)$ coupe le milieu de $[A B]$ mais il n’y a pas de codage pour savoir si $(d)$ coupe $[A B]$ en son milieu perpendiculairement.
donc $(d)$ n’est pas la médiatrice de $[A B]$
donc $B$ n’est pas le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.
• figure 3
La droite ( $d$ ) coupe perpendiculairement $[A B]$ mais il n’y a pas de codage pour savoir si $(d)$ coupe $[A B]$ en son milieu
donc $(d)$ n’est pas la médiatrice de $[A B]$
donc $B$ n’est pas le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.
Exercice 3:
Construire le symétrique(en rouge) du triangle $A B C$ par rapport à (d) puis le symétrique du triangle $A B C$ par rapport à $\left(d^{\prime}\right)$ en utilisant le quadrillage.
• Symétrie par rapport à la droite $(d)$.
• Symétrie par rapport à la droite $(d^{\prime})$.
Exercice 4: Constructions au compas
$1)$ Construire le symétrique $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ du segment $[A B]$ avec au compas.
$2)$ Construire le symétrique $\left(d_{1}\right)$ de la droite $\left(d^{\prime}\right)$ par rapport à $(d)$ à la règle et au compas.
$1)$
• Construction du symétrique $A^{\prime}$ de $A$
• Construction du symétrique $B^{\prime}$ de $B$
Le symétrique du segment $[A B]$ par rapport à $(d)$ est le segment $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ (en rouge).
Remarque
La symétrie axiale conserve les longueurs donc le segment $[A B]$ et le segment $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ sont de la même longueur.
$2)$ Il faut construire les symétriques de deux points $C$ et $D$ de $(d)$.
• Construction du symétrique $D^{\prime}$ de $D$
Exercice 5: Symétrique d’un cercle
$1)$ Construire le symétrique du cercle de centre $A$ par rapport à ( $d$ ).
$2)$ Construire le symétrique du demi-cercle de diamètre $[B C]$ par rapport à $(d)$.
$1)$ Il faut construire le symétrique $A^{\prime}$ de $A$ par rapport à $(d)$ et les deux cercles ont le même rayon.
$2)$ $B$ appartient à l’axe de symétrie ( $d$ ) donc est confondu avec son symétrique.
Il faut ensuite construire le symétrique de $C$ ou du centre du demi-cercle.
Exercice 6:
$1)$ Sur la figure ci-dessous le point $ A^{\prime}$ est le symétrique de $A$ par rapport à une droite qui a été effacée.
• Retrouver graphiquement cette droite en expliquant le pourquoi de votre construction.
$2)$ Tracer alors le symétrique $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ du triangle $A B C$ par rapport à $(d)$.
$1)$ Pour tracer l’axe de symétrie, il faut construire la médiatrice de $\left[A A^{\prime}\right]$.
Au compas, il faut donc construire deux points équidistants de $A$ et $A^{\prime}$
• Tracer un arc de cercle de centre $A$ (avec un rayon plus grand que la moitié de la distance $A A^{\prime}$ )
• Tracer un arc de cercle de centre $A^{\prime}$ et de même rayon
• Tracer $(d)$ médiatrice de $\left[A A^{\prime}\right]$.
$2)$ Construction du symétrique $B^{\prime}$ de $B$ par rapport à $(d)$.
• Construction du symétrique $C^{\prime}$ de $C$ par rapport à $(d)$.
Figure finale (triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ en vert)
Exercice 7:
On donne la figure ci-dessous :
$1)$ Quel est le symétrique du point $A$ ?
$2)$ Construire le symétrique du cercle de centre $C$ et de rayon $[C A]$ par rapport à $(d)$.
$3)$ Construire le symétrique $\left(d_{1}^{\prime}\right)$ de la droite $\left(d_{1}\right)$ par rapport à $(d)$.
$4)$ Quel est le symétrique du cercle de centre $C$ et rayon $[C A]$ par rapport à $\left(d_{1}\right)$ ?
$1)$ Le point $A$ appartient à l’axe de symétrie $(d)$ donc le symétrique de $A$ est confondu avec $A$.
$2)$ Pour construire le symétrique du cercle de centre $C$, il faut construire le symétrique $C^{\prime}$ du point $C$ par rapport à $(d)$.
$3)$ Pour construire le symétrique de la droite $\left(d_{1}\right)$ par rapport à $(d)$, il faut construire les symétriques de deux points de $\left(d_{1}\right)$.
Le point $C$ a pour symétrique $C^{\prime}$ et le point $I$ intersection de $(d)$ et $\left(d_{1}\right)$ a pour symétrique lui-même donc $\left(d_{1}^{\prime}\right)$ passe par $C^{\prime}$ et $I$.
$4)$ La droite $\left(d_{1}\right)$ passe par le centre ( $C$ du cercle donc est un axe de symétrie de du cercle.
Le cercle de centre $C$ a pour symétrique lui-même par rapport à $\left(d_{1}\right)$.
Il est confondu avec son symétrique.
Exercice 8:
$1)$ Construire un triangle $L M P$ isocèle en $P$ tel que $L M=6 \mathrm{~cm}$ et $L P=4 \mathrm{~cm}$.
$2)$ Construire au compas l’image de ce triangle par rapport à $(L M)$. On appelle $N$ le symétrique de $P$.
$3)$ Quelle est la nature du quadrilatère $L P M N$ ainsi formé? Justifier la réponse.
$4)$ Les points $L$ et $M$ sont-ils symétriques? Si oui, par rapport à quelle droite ? Justifier.
$1)$ Figure à main levée
– Construction (règle et compas)
$2)$ Les symétriques de $L$ et $M$ sont confondus avec $L$ et $M$ car ( $L M$ ) est l’axe de symétrie.
Il faut construire le symétrique $N$ du point $P$ par rapport à $(L M)$.
$3)$ Le symétrique du segment $[L P]$ par rapport à $(L M)$ est le segment $[L N]$ et le symétrique du segment $[M P]$ par rapport à $(d)$ est le segment $[M N]$.
La symétrie axiale conserve les longueurs donc $L P=L N$ et $P M=M N$ (distances).
Le triangle $L P M$ est isocèle en $P$ donc $L P=M P$.
On a $L N=L P=M P=M N$
Donc $L P M N$ est un losange.
$4)$ $L P M N$ est un losange donc les diagonales sont des axes de symétrie
donc $M$ et $L$ sont symétriques par rapport à $(P N)$.
Remarque
On peut aussi écrire que $P$ est équidistant de $L$ et $M$ et que $N$ est équidistant de $N$ et $P$ donc $(P N)$ est la médiatrice de $[L M]$
donc $M$ et $L$ sont symétriques par rapport à $(P N)$.
Exercice 9:
$1)$ Tracer deux cercles de même rayon qui se coupent en $M$ et en $N$.
$2)$ Tracer le segment qui joint les centres $A$ et $B$ de ces deux cercles.
$3)$ Tracer la droite $(MN)$.
$4)$ Que semble représenter la droite $(MN)$ pour le segment $[AB]$?
$5)$ Que semble représenter la droite $(AB)$ pour le segment $[MN]$?
$1)$-$2)$-$3)$
$4)$ $(MN)$ est la médiatrice de $[AB]$.
$5)$ $(AB)$ est la médiatrice de $[MN]$.
Exercice 10:
$1)$ Tracer un segment $[AB]$ puis sa médiatrice $(d)$.
$2)$ Quel est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$?
$3)$ Quel est le symétrique de $B$ par rapport à $(d)$?
$4)$ Placer un point $K$ sur $(d)$ et n’appartenant pas à $[AB]$. Quel est le symétrique de $K$ par rapport à $(d)$?
$5)$ Que peut-on dire des longueurs $KA$ et $KB$ ?
$6)$ Que peut-on dire du triangle $BAK$?
$1)$
$2)$ Le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ est $B$.
$3)$ Le symétrique de $B$ par rapport à $(d)$ est $A$.
$4)$
$K$ est son propre symétrique par rapport à $(d)$ (car $K$ appartient à l’axe de symétrie).
$5)$ $KA=KB$
$6)$ Le triangle $BAK$ est isocèle car $AK = BK$ (longueurs de segments symétriques)
Exercice 11:
On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = 4,5 cm, AC = 6 cm$ et $BC = 4 cm$. et $(d)$ une droite quelconque :
$1)$ Construire ce triangle.
$2)$ Tracer les symétriques $A’ ,B’$ et $C’$ de $A ,B$ et $C$ par rapport à $(d)$.
$3)$ Construire le triangle $A’B’C’$.
$4)$ Que peut-on dire des segments $[AC]$ et $[A’C’]$ ? Justifier.
$5)$ Quel angle a la même mesure que l’angle $BÂC$ ? Justifier.
$1)$ – $2)$ et $3)$
$4)$ $AC=A’C’$ car $A’,C’$ est les symétriques de $A$ et $C$ par rapport à $(d)$
$5)$ $B’Â’C’= BÂC $ car $A’,B’$ et $C’$ est les symétriques de $A,B$ et $C$ par rapport à $(d)$
Exercice 12 :
$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que : $AB= 5 cm$ et $\widehat{ABC}=50°$
Soit $B’$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
$1)$ Faire une figure
$2)$ Montrer que $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$.
$3)$ En déduire la mesure de l’angle $CB’B$
$4)$ Soit $D$ un point de $BC (D≠ B et D ≠ C)$.
• Construire $D’$ le symétrique de $D$ par rapport à la droite $(AC)$
$5)$Montrer que : $BD=B’D’$
$6)$ Montrer que les points $D’, B’$ et $C$ sont alignés.
$1)$ $\widehat{ABC}=50°$
$2)$ $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$, et $A∈ (AC)$ ,donc $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$.
$3)$ On a : $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$
$C$ est le symétrique de $C$ par rapport à $(AC)$
$A$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(AC)$
Alors $\widehat{CB’B}=\widehat{ABC}=50°$
car la symétrie conserve la mesure des angles.
$4)$
$5)$ $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$ et $D’$ est le symétrique de $D$ par rapport à $(AC)$ , alors $BD=B’D’$
$6)$ $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$
$D’$ est le symétrique de $D$ par rapport à $(AC)$
$C$ est le symétrique de $C$ par rapport à $(AC)$
Puisque les points $B,D$ et $C$ sont alignés alors $B’,D’$ et $C$ sont aussi alignés.
Symétrie axiale exercices corrigés 2AC