Symétrie axiale exercices corrigés 2AC

Exercice 1:

$1)$ Rappel de la définition de la symétrie axiale: (compléter la phrase suivante)

Deux points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$$……$

$2)$-$a)$ Sur papier uni, tracer un segment $[A B]$ de longueur $5 cm$ . Placer son milieu $M$.

$b)$ Tracer en rouge la médiatrice $(d)$ du segment $[A B]$.

$1)$ Deux points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$ si $(d)$ est la médiatrice du segment $[A B]$

$a)$ et $b)$

Exercice 2:

 Dans chaque cas, dire sir le point $B$ est le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ en justifiant la réponse.

Rappel : $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $(d)$ si la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[A B]$.

figure 1

La droite $(d)$ coupe le milieu de $[A B]$ et coupe $[? A B]$ perpendiculairement.

donc $(d)$ est la médiatrice de $[A B]$

donc $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

figure 2

La droite $(d)$ coupe le milieu de $[A B]$ mais il n’y a pas de codage pour savoir si $(d)$ coupe $[A B]$ en son milieu perpendiculairement.

donc $(d)$ n’est pas la médiatrice de $[A B]$

donc $B$ n’est pas le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

figure 3

La droite ( $d$ ) coupe perpendiculairement $[A B]$ mais il n’y a pas de codage pour savoir si $(d)$ coupe $[A B]$ en son milieu

donc $(d)$ n’est pas la médiatrice de $[A B]$

donc $B$ n’est pas le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

Exercice 3:

Construire le symétrique(en rouge) du triangle $A B C$ par rapport à (d) puis le symétrique du triangle $A B C$ par rapport à $\left(d^{\prime}\right)$ en utilisant le quadrillage.

Symétrie par rapport à la droite $(d)$.

 

Symétrie par rapport à la droite $(d^{\prime})$.

Exercice 4:  Constructions au compas


$1)$ Construire le symétrique $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ du segment $[A B]$ avec au compas.

$2)$ Construire le symétrique $\left(d_{1}\right)$ de la droite $\left(d^{\prime}\right)$ par rapport à $(d)$ à la règle et au compas.

$1)$

• Construction du symétrique $A^{\prime}$ de $A$

• Construction du symétrique $B^{\prime}$ de $B$

Le symétrique du segment $[A B]$ par rapport à $(d)$ est le segment $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ (en rouge).

   

Remarque

La symétrie axiale conserve les longueurs donc le segment $[A B]$ et le segment $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ sont de la même longueur.

$2)$ Il faut construire les symétriques de deux points $C$ et $D$ de $(d)$.

Construction du symétrique $D^{\prime}$ de $D$

Exercice 5:  Symétrique d’un cercle


$1)$ Construire le symétrique du cercle de centre $A$ par rapport à ( $d$ ).

$2)$ Construire le symétrique du demi-cercle de diamètre $[B C]$ par rapport à $(d)$.

$1)$ Il faut construire le symétrique $A^{\prime}$ de $A$ par rapport à $(d)$ et les deux cercles ont le même rayon.

$2)$ $B$ appartient à l’axe de symétrie ( $d$ ) donc est confondu avec son symétrique.

Il faut ensuite construire le symétrique de $C$ ou du centre du demi-cercle.

Exercice 6:

$1)$ Sur la figure ci-dessous le point $ A^{\prime}$ est le symétrique de $A$ par rapport à une droite qui a été effacée.

• Retrouver graphiquement cette droite en expliquant le pourquoi de votre construction.

$2)$ Tracer alors le symétrique $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ du triangle $A B C$ par rapport à $(d)$.

$1)$ Pour tracer l’axe de symétrie, il faut construire la médiatrice de $\left[A A^{\prime}\right]$.

Au compas, il faut donc construire deux points équidistants de $A$ et $A^{\prime}$

Tracer un arc de cercle de centre $A$ (avec un rayon plus grand que la moitié de la distance $A A^{\prime}$ )

Tracer un arc de cercle de centre $A^{\prime}$ et de même rayon

Tracer $(d)$ médiatrice de $\left[A A^{\prime}\right]$.

$2)$  Construction du symétrique $B^{\prime}$ de $B$ par rapport à $(d)$.

Construction du symétrique $C^{\prime}$ de $C$ par rapport à $(d)$.

Figure finale (triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ en vert)

Exercice 7:

On donne la figure ci-dessous :

$1)$ Quel est le symétrique du point $A$ ?

$2)$ Construire le symétrique du cercle de centre $C$ et de rayon $[C A]$ par rapport à $(d)$.

$3)$ Construire le symétrique $\left(d_{1}^{\prime}\right)$ de la droite $\left(d_{1}\right)$ par rapport à $(d)$.

$4)$ Quel est le symétrique du cercle de centre $C$ et rayon $[C A]$ par rapport à $\left(d_{1}\right)$ ?

$1)$ Le point $A$ appartient à l’axe de symétrie $(d)$ donc le symétrique de $A$ est confondu avec $A$.

$2)$ Pour construire le symétrique du cercle de centre $C$, il faut construire le symétrique $C^{\prime}$ du point $C$ par rapport à $(d)$.

$3)$ Pour construire le symétrique de la droite $\left(d_{1}\right)$ par rapport à $(d)$, il faut construire les symétriques de deux points de $\left(d_{1}\right)$.

Le point $C$ a pour symétrique $C^{\prime}$ et le point $I$ intersection de $(d)$ et $\left(d_{1}\right)$ a pour symétrique lui-même donc $\left(d_{1}^{\prime}\right)$ passe par $C^{\prime}$ et $I$.

$4)$ La droite $\left(d_{1}\right)$ passe par le centre ( $C$ du cercle donc est un axe de symétrie de du cercle.

Le cercle de centre $C$ a pour symétrique lui-même par rapport à $\left(d_{1}\right)$.

Il est confondu avec son symétrique.

Exercice 8:

$1)$ Construire un triangle $L M P$ isocèle en $P$ tel que $L M=6 \mathrm{~cm}$ et $L P=4 \mathrm{~cm}$.

$2)$ Construire au compas l’image de ce triangle par rapport à $(L M)$. On appelle $N$ le symétrique de $P$.

$3)$ Quelle est la nature du quadrilatère $L P M N$ ainsi formé? Justifier la réponse.

$4)$ Les points $L$ et $M$ sont-ils symétriques? Si oui, par rapport à quelle droite ? Justifier.

$1)$ Figure à main levée

– Construction (règle et compas)

 

 $2)$ Les symétriques de $L$ et $M$ sont confondus avec $L$ et $M$ car ( $L M$ ) est l’axe de symétrie.

Il faut construire le symétrique $N$ du point $P$ par rapport à $(L M)$.

$3)$ Le symétrique du segment $[L P]$ par rapport à $(L M)$ est le segment $[L N]$ et le symétrique du segment $[M P]$ par rapport à $(d)$ est le segment $[M N]$.

La symétrie axiale conserve les longueurs donc $L P=L N$ et $P M=M N$ (distances).

Le triangle $L P M$ est isocèle en $P$ donc $L P=M P$.

On a $L N=L P=M P=M N$

Donc $L P M N$ est un losange.

 $4)$ $L P M N$ est un losange donc les diagonales sont des axes de symétrie
donc $M$ et $L$ sont symétriques par rapport à $(P N)$.

Remarque

On peut aussi écrire que $P$ est équidistant de $L$ et $M$ et que $N$ est équidistant de $N$ et $P$ donc $(P N)$ est la médiatrice de $[L M]$
donc $M$ et $L$ sont symétriques par rapport à $(P N)$.

Exercice 9:

$1)$ Tracer deux cercles de même rayon qui se coupent en $M$ et en $N$.

$2)$ Tracer le segment qui joint les centres $A$ et $B$ de ces deux cercles.

$3)$ Tracer la droite $(MN)$.

$4)$ Que semble représenter la droite $(MN)$ pour le segment $[AB]$?

$5)$ Que semble représenter la droite $(AB)$ pour le segment $[MN]$?

$1)$-$2)$-$3)$

$4)$ $(MN)$ est la médiatrice de $[AB]$.

$5)$ $(AB)$ est la médiatrice de $[MN]$.

Exercice 10:

$1)$ Tracer un segment $[AB]$ puis sa médiatrice $(d)$.

$2)$ Quel est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$?

$3)$ Quel est le symétrique de $B$ par rapport à $(d)$?

$4)$ Placer un point $K$ sur $(d)$ et n’appartenant pas à $[AB]$. Quel est le symétrique de $K$ par rapport à $(d)$?

$5)$ Que peut-on dire des longueurs $KA$ et $KB$ ?

$6)$ Que peut-on dire du triangle $BAK$?

$1)$

$2)$ Le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ est $B$.

$3)$ Le symétrique de $B$ par rapport à $(d)$ est $A$.

$4)$

$K$ est son propre symétrique par rapport à $(d)$ (car $K$ appartient à l’axe de symétrie).

$5)$ $KA=KB$

$6)$ Le triangle $BAK$ est isocèle car $AK = BK$ (longueurs de segments symétriques)

Exercice 11:

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = 4,5 cm, AC = 6 cm$ et $BC = 4 cm$. et $(d)$ une droite quelconque :

$1)$ Construire ce triangle.

$2)$ Tracer les symétriques $A’ ,B’$ et $C’$ de $A ,B$ et $C$ par rapport à $(d)$.

$3)$ Construire le triangle $A’B’C’$.

$4)$ Que peut-on dire des segments $[AC]$ et $[A’C’]$ ? Justifier.

$5)$ Quel angle a la même mesure que l’angle $BÂC$ ? Justifier.

$1)$ – $2)$ et $3)$

$4)$ $AC=A’C’$ car $A’,C’$ est les symétriques de $A$ et $C$ par rapport à $(d)$

$5)$ $B’Â’C’= BÂC $ car $A’,B’$ et $C’$ est les symétriques de $A,B$ et $C$ par rapport à $(d)$

Exercice 12 :

$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que : $AB= 5 cm$ et  $\widehat{ABC}=50°$

Soit $B’$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$.

$1)$ Faire une figure

$2)$ Montrer que $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$.

$3)$ En déduire la mesure de l’angle $CB’B$

$4)$ Soit $D$ un point de $BC (D≠ B et D ≠ C)$.

Construire $D’$ le symétrique de $D$ par rapport à la droite $(AC)$

$5)$Montrer que : $BD=B’D’$

$6)$ Montrer que les points $D’, B’$ et $C$ sont alignés.

$1)$  $\widehat{ABC}=50°$

$2)$ $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$, et $A∈ (AC)$ ,donc $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$.

$3)$ On a : $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$

$C$ est le symétrique de $C$ par rapport à $(AC)$

$A$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(AC)$

Alors $\widehat{CB’B}=\widehat{ABC}=50°$

car la symétrie conserve la mesure des angles.

$4)$

 

$5)$ $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$ et $D’$ est le symétrique de $D$ par rapport à $(AC)$ , alors $BD=B’D’$

$6)$ $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$

$D’$ est le symétrique de $D$ par rapport à $(AC)$

$C$ est le symétrique de $C$ par rapport à $(AC)$

Puisque les points $B,D$ et $C$ sont alignés alors $B’,D’$ et $C$ sont aussi alignés.

Symétrie axiale exercices corrigés 2AC