Symétrie axiale – Cours
SYMÉTRIE AXIALE
1ère Année Collège
Symétrique d’un point
Définition
Le symétrique d’un point \(A\) par une symétrie axiale d’axe \((D)\) est le point \(A’\) tel que \((D)\) soit la médiatrice du segment \([AA’]\).
Cela signifie que :
- \((D)\) est perpendiculaire à \([AA’]\)
- \((D)\) coupe \([AA’]\) en son milieu
A’ est le symétrique de A par rapport à (D)
📌 Remarque importante : Si un point \(M\) appartient à l’axe de symétrie \((D)\), alors ce point est le symétrique de lui-même par rapport à \((D)\). On dit que \(M\) est un point invariant par la symétrie.
Symétrique d’un segment
Propriété 1 : Conservation de la longueur
Le symétrique d’un segment \([AB]\) par une symétrie axiale est un segment \([A’B’]\) de même longueur.
Propriété 2 : Conservation des distances
La symétrie axiale conserve les distances entre deux points. Autrement dit : \(AB = A’B’\).
📌 Exemple : Dans la figure ci-dessus, on a : \(AB = A’B’\). On dit que la symétrie axiale est une isométrie (elle conserve les longueurs).
Symétrique d’une droite et d’une demi-droite
Propriété 3 : Symétrique d’une droite
Le symétrique d’une droite \((D)\) par une symétrie axiale est une droite \((D’)\) qui est parallèle à \((D)\).
Le symétrique de la droite (AB) est la droite (A’B’) parallèle à (AB)
Propriété 4 : Symétrique d’une demi-droite
Le symétrique d’une demi-droite \([AB)\) par une symétrie axiale est une demi-droite \([A’B’)\) telle que la droite \((AB)\) est parallèle à \((A’B’)\).
Le symétrique de la demi-droite [MN) est la demi-droite [KL)
Propriété 5 : Conservation de l’alignement
Les symétriques, par une symétrie axiale d’axe \((\Delta)\), de trois points alignés \(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points alignés \(A’\), \(B’\) et \(C’\).
On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement.
Symétrique d’un angle
Propriété 6 : Conservation des angles
Le symétrique d’un angle par une symétrie axiale est un angle de même mesure.
La symétrie axiale conserve les mesures des angles
Propriété 7
La symétrie axiale conserve les mesures des angles (comme vu ci-dessus).
Symétrique d’un cercle
Propriété 8
Le symétrique d’un cercle par une symétrie axiale est un cercle de même rayon \(r\).
Le centre du cercle image est le symétrique du centre du cercle d’origine.
Le symétrique du cercle C₁(O; r) est le cercle C₂(O’; r)
📌 Exemple : Le symétrique d’un cercle \(\mathcal{C}_1(O; r)\) par rapport à la droite \((D)\) est un cercle \(\mathcal{C}_2(O’; r)\) tel que \(O’\) est le symétrique de \(O\) par rapport à \((D)\). Le rayon \(r\) est conservé.
Tableau récapitulatif des propriétés
| Élément | Symétrique | Propriété conservée |
|---|---|---|
| Point | Point (A → A’) | — |
| Segment | Segment (AB → A’B’) | Longueur (AB = A’B’) |
| Distance | Conservée | Isométrie |
| Droite | Droite parallèle | Parallélisme |
| Demi-droite | Demi-droite parallèle | Parallélisme |
| Alignement | Conservé | Alignement |
| Angle | Angle de même mesure | Mesure d’angle |
| Cercle | Cercle de même rayon | Rayon (r) |
📌 À retenir
- ✅ La symétrie axiale est une isométrie : elle conserve les distances
- ✅ L’axe de symétrie est la médiatrice du segment joignant un point et son symétrique
- ✅ Les points sur l’axe sont invariants (symétriques d’eux-mêmes)
- ✅ Le symétrique d’une droite est une droite parallèle
- ✅ La symétrie conserve l’alignement et les mesures des angles
- ✅ Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon
Symétrie axiale – Cours