Théorème de Pythagore – Évaluations corrigés
Modèle N°1
Exercice 1：(10pts)
Le quadrilatère BOIS est un carré de côté 12 cm .
1) Calculer la longueur $S P$.
2) Calculer la longueur $P N$ et en donner une valeur arrondie au mm.
3) Le triangle PIN est-il rectangle?
Exercice 2：(5pts)
Une balle en plastique de 74 mm de diamètre, a laissé une trace dans le sable, de 24 mm de diamètre.
1) Calculer les longueurs $O M, O I$ et $H M$.
2) Calculer la longueur $O H$, et en déduire à quelle profondeur la balle s’est enfoncée.
Exercice 3：(5pts)
1) Construire un triangle $A B C$ tel que $A B=8 \mathrm{~cm}, \widehat{B A C}=63^{\circ}$ et $\widehat{A B C}=27^{\circ}$.
2) Placer le point $D$ sur $[B C]$ avec $B D=4 \mathrm{~cm}$, puis construire le triangle $B D E$ tel que $D E=2 \mathrm{~cm}$ et $B E=4,5 \mathrm{~cm}$.
(placer $E$ du même côté que $A$ et $B$ par rapport à $(B C)$ )
3) Les droites $(A C)$ et $(E D)$ sont-elles parallèles? (justifier)
Exercice 1：(10pts)
BOIS est un carré donc $B O=O I=I S=S B=12 \mathrm{cm}$ er BOIS à 4 angles droits
1) Dans le triangle est rectangle en $S$ d’ après le théorème de Pythagore
$S I^{2}+S p^{2}=I p^{2} $
$12^{2}+S p^{2}=13^{2} $
$144+S p^{2}=169 $
$S p^{2}=169-144 $
$S P^{2}=25 $
$S P=\sqrt{25}=5 \mathrm{~mm}$
2)
$P B =SB-SP$ (S, P, B) sont alignés.
$P B =12-5=7 cm$
• Le triangle PBN est rectangle en $B$
d’ après le théorème de Pythagore
$BP^{2}+B N^{2}=P N^{2}$
$7^{2}+3^{2}=P N^{2} $
$49+9=P N^{2} $
$P N^{2}=58 $
$P N=\sqrt{58}$
$PN \approx 7,6 cm$
3)
On a : $\left\{\begin{array}{l}P I^{2}=13^{2}=169 \\ I N^{2}=1 S^{2}=225 \\ P N^{2}=58\end{array}\right.$
Alors : $ P I^{2}+P N^{2}=169+58=227 $
Puisque : $ P I^{2}+P N^{2}≠ I N^{2} $
Donc, d’après le théorème réciproque de Pythagore, le triangle $IPN$ n’est pas rectangle .
Exercice 2：(5pts)
Une balle en plastique de 74 mm de diamètre, a laissé une trace dans le sable, de 24 mm de diamètre.
1) Calculer les longueurs $O M, O I$ et $H M$.
$\begin{aligned}OM & =\frac{74}{2}=37 \mathrm{~mm} \quad \text { (rayon) } \\ O I & =O M=37 \mathrm{~mm} \\ H M & =\frac{24}{2}=12 \mathrm{~mm} \quad \text { }\end{aligned}$
2) Le triangle $O H M$ est rectangle en H .
d’après le théorème de Pythagore
$H 7^{2}+H O^{2}=70^{2}$
$12^{2}+H O^{2}=37^{2}$
$144+H 0^{2}=1369 $
$ H O^{2}=1369-144 $
$ H O^{2}=1225 $
$ H O=\sqrt{1225}=35 \mathrm{~mm} $
• On : $H I=O I-O H=37-35=2 \mathrm{~mm}$
La Balle $s^{\prime}$ est enfoncé de 2 mm
Exercice 3：(5pts)
1) et 2)
3) Dans un triangle la somme des angles vaut 180º.
Dans $A B C, \quad\widehat{ACB}=180-(63+27)=90^{\circ}$
Le triangle $A C B$ est rectangle en $C : (A C) \perp(B C)$
On a : $\left\{\begin{array}{l}B D^{2}=4^{2}=16 \\E D^{2}=2^{2}=4 \\ E B^{2}=4,5^{2}=20,25\end{array}\right.$
$B D^{2}+E D^{2}=16+4=20 $
$B D^{2}+E D^{2} \neq E B^{2}$
Donc, d’après le théorème réciproque de Pythagore, le triangle $BED$ n’est pas rectangle en D.
Donc (BD) et (ED) ne sont pas perpendiculaires.
Alors (AC) et (ED) ne sont pas parallèles
Si deux droits sont parallèles , toute droite perpendicualire à l’une est perpendiculaire a l’autre.
Théorème de Pythagore – Évaluations corrigés