Les exercices corrigés sur Le théorème de Thalès en classe
📋Exercice : Questions de cours (Théorème de Thalès)
Énoncer le théorème de Thalès direct dans le cas d’un triangle \(ABC\) avec \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) tel que \((MN) // (BC)\).
À quoi sert le théorème de Thalès direct ? Dans quel type de problème l’utilise-t-on ?
Énoncer la réciproque du théorème de Thalès dans le cas d’un triangle \(ABC\) avec \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\).
À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ? Dans quel type de problème l’utilise-t-on ?
Quelles sont les conditions nécessaires pour appliquer le théorème de Thalès direct ? Et pour la réciproque ?
Pourquoi la condition de l’ordre des points est-elle essentielle dans la réciproque du théorème de Thalès ? Donner un exemple illustrant ce point.
Écrire la triple égalité du théorème de Thalès direct dans un triangle \(ABC\) avec \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\), \((MN) // (BC)\).
Dans la réciproque du théorème de Thalès, quelle égalité doit-on vérifier pour conclure au parallélisme ?
Donner un exemple complet d’application du théorème de Thalès direct pour calculer une longueur.
Écrire le tableau récapitulatif comparant le théorème de Thalès direct et sa réciproque (conditions, conclusion, utilisation).
Soit \(ABC\) un triangle. Si \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) // (BC)\), alors :
Le théorème de Thalès direct sert à calculer des longueurs inconnues dans une configuration où l’on connaît le parallélisme de deux droites.
- On l’utilise lorsque l’on a un triangle et une droite parallèle à l’un de ses côtés.
- Il permet de déterminer des segments inconnus en utilisant la triple égalité des rapports.
Soit \(ABC\) un triangle. Si \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), alors :
Condition supplémentaire : Les points \(A, M, B\) et \(A, N, C\) doivent être dans le même ordre.
La réciproque du théorème de Thalès sert à prouver que deux droites sont parallèles.
- On l’utilise lorsque l’on connaît des longueurs et que l’on veut démontrer le parallélisme.
- Il faut vérifier l’égalité des rapports et l’ordre des points.
Thalès direct :
- Appartenance des points sur les côtés du triangle
- Parallélisme des droites
Thalès réciproque :
- Appartenance des points sur les côtés du triangle
- Même ordre des points
- Égalité des rapports \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\)
La condition de l’ordre des points est essentielle dans la réciproque car :
- L’égalité des rapports peut être vraie même si les droites ne sont pas parallèles.
- Un mauvais ordre des points invalide la conclusion du parallélisme.
Dans un triangle \(ABC\) avec \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) // (BC)\) :
Pour conclure au parallélisme avec la réciproque du théorème de Thalès, on doit vérifier :
avec \(A, M, B\) et \(A, N, C\) dans le même ordre.
Exemple : Soit \(ABC\) un triangle avec \(AB = 6\text{ cm}\), \(AC = 4\text{ cm}\), \(BC = 5\text{ cm}\). \(E \in [AB]\) avec \(AE = 2\text{ cm}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) coupe \([AC]\) en \(F\).
Calcul de \(AF\) et \(EF\) :
| Théorème | Conditions | Conclusion | Utilisation |
|---|---|---|---|
| Thalès direct | Appartenance + Parallélisme | Triple égalité \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\) | Calcul de longueurs |
| Thalès réciproque | Appartenance + Ordre + Égalité \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\) | Parallélisme \((MN) // (BC)\) | Prouver le parallélisme |
⚠️ Attention : La condition de l’ordre des points est essentielle pour la réciproque du théorème de Thalès.
📐Exercice 1 : Ajuster la propriété de Thalès
Ajuster la propriété de Thalès à chaque configuration de Thalès :
Rappel : Le théorème de Thalès s’applique lorsqu’on a deux droites sécantes en un point, deux points sur chaque droite, et un parallélisme entre les droites reliant ces points.
Les droites \((FI)\) et \((GJ)\) sont sécantes en \(E\).
Puisque \((FG) // (IJ)\), alors d’après le théorème de Thalès :
• Les droites sécantes sont \((FI)\) et \((GJ)\) en \(E\).
• Les points \(F\) et \(I\) sont sur la droite \((FI)\), \(G\) et \(J\) sur la droite \((GJ)\).
• \((FG) // (IJ)\) → on applique le théorème de Thalès.
Les droites \((NC)\) et \((BM)\) sont sécantes en \(A\).
Puisque \((MN) // (BC)\), alors d’après le théorème de Thalès :
• Les droites sécantes sont \((NC)\) et \((BM)\) en \(A\).
• Les points \(B\) et \(M\) sont sur la droite \((BM)\), \(C\) et \(N\) sur la droite \((NC)\).
• \((MN) // (BC)\) → on applique le théorème de Thalès.
📐Exercice 2 : Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Les droites en pointillés sont toujours parallèles. Écrire dans chaque cas l’égalité des rapports, puis calculer la longueur manquante (éventuellement arrondie au dixième) :
\(EI = 2,4\) ; \(EF = 6\) ; \(EJ = 3\)
Calculer \(EG\) :
\(AM = 4,3\) ; \(AB = 7,9\) ; \(AC = 8,8\)
Calculer \(AN\) :
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📐Exercice 3 : Démontrer le parallélisme avec la réciproque de Thalès
Démontrer (si c’est le cas) que les deux droites en pointillés sont parallèles, en tenant compte des indications chiffrées (données en cm) de chaque figure et en utilisant la réciproque de Thalès :
\(AM = 7\) ; \(AB = 8\) ; \(AN = 8,4\) ; \(AC = 9,6\) (en cm)
\(IJ = 5\) ; \(IG = 8\) ; \(IK = 6\) ; \(KH = 15,6\) (en cm)
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📐Exercice 4 : Calcul de longueurs avec le théorème de Thalès
Sur le dessin ci-dessous, les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ; les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont sécantes en \(O\).
📌 Données :
- \(OA = 8\text{ cm}\)
- \(OB = 10\text{ cm}\)
- \(OC = 2\text{ cm}\)
- \(DC = 1,5\text{ cm}\)
Calculer la longueur du segment \([AB]\).
Calculer la longueur du segment \([OD]\).
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📐Exercice 5 : Théorème de Thalès – Réciproque et calcul de longueur
Sur la figure ci-après, tracée à main levée :
Figure à main levée
📌 Données :
- \(IR = 8\text{ cm}\)
- \(RP = 10\text{ cm}\)
- \(IP = 4\text{ cm}\)
- \(IM = 4\text{ cm}\)
- \(IS = 10\text{ cm}\)
- \(IN = 6\text{ cm}\)
- \(IT = 5\text{ cm}\)
Démontrer que les droites \((ST)\) et \((RP)\) sont parallèles.
En déduire \(ST\).
Les droites \((MN)\) et \((ST)\) sont-elles parallèles ? Justifier.
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📐Exercice 6 : Théorème de Thalès dans un triangle
L’unité est le centimètre.
📌 Données :
- \(AE = BC = 3\)
- \(EB = AD = 2\)
- \(E \in [AB]\)
- \((DE) // (BC)\)
Montrer que \(ED = 1,8\).
Sur la demi-droite \([DE)\), on place, comme indiqué sur la figure, le point \(F\) tel que \(DF = 3\).
Les droites \((AD)\) et \((BF)\) sont-elles parallèles ?
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📐Exercice 7 : Calcul de longueur avec le théorème de Thalès
Calculer la valeur exacte de \(ST\) en utilisant les informations données.
Figure avec (QR) // (UV) // (ST)
📌 Données :
- \(RP = 4\text{ cm}\)
- \(QR = 2,4\text{ cm}\)
- \(PV = 2\text{ cm}\)
- \(PS = 4,5\text{ cm}\)
- \((QR) // (UV)\)
- \((UV) // (ST)\)
Calculer la valeur exacte de \(ST\).
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📐Exercice 8 : Champ rectangulaire – Thalès et Pythagore
La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire \(ABCD\) traversé par une route de largeur uniforme (partie grise).
📌 Données :
- \(AB = 100\text{ m}\)
- \(BC = 40\text{ m}\)
- \(AM = 24\text{ m}\)
- \((AC) // (MN)\)
Calculer la valeur arrondie au décimètre près de la longueur \(AC\).
Calculer la longueur \(MB\).
Calculer la longueur \(BN\).
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📐Exercice 9 : Parallélogramme et théorème de Thalès
\(ABCD\) est un parallélogramme :
📌 Données :
- \(AB = 8\text{ cm}\)
- \(AD = 4,5\text{ cm}\)
- \(E\) est le point de la droite \((AD)\) tel que \(AE = 1,5\text{ cm}\) et \(E\) n’est pas sur le segment \([AD]\)
- La droite \((EC)\) coupe le segment \([AB]\) en \(M\)
Calculer \(AM\).
Placer le point \(N\) sur le segment \([DC]\) tel que :
• Démontrer que les droites \((AN)\) et \((EC)\) sont parallèles.
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📐Exercice 10 : Cercle, perpendiculaires et théorème de Thalès
Réaliser les constructions suivantes :
Tracer un segment \([EF]\) tel que \(EF = 10\text{ cm}\) puis un demi-cercle de diamètre \([EF]\).
Sur ce demi-cercle, placer le point \(G\) tel que \(EG = 9\text{ cm}\).
Sur le segment \([EG]\), placer le point \(M\) tel que \(EM = 8\text{ cm}\).
Par \(M\) tracer la droite \((d)\) perpendiculaire à la droite \((EG)\). Les droites \((d)\) et \((EF)\) se coupent en \(P\).
Démontrer que les droites \((FG)\) et \((MP)\) sont parallèles.
Calculer \(EP\).
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📐Exercice 11 : Calcul de longueurs avec le théorème de Thalès
📌 Données :
- \(OA = 4\text{ cm}\)
- \(OB = 5\text{ cm}\)
- \(BD = 3\text{ cm}\)
- \((AB) // (CD)\)
- \((AD) // (CE)\)
Calculer \(AC\) et \(DE\).
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⛵Exercice 12 : La régate – Pythagore et Thalès
Des bateaux participent à une régate. Ils doivent suivre le parcours suivant (en gras et fléché sur la figure ci-dessous) :
📌 Données :
- \(FM = 10\text{ km}\)
- \(DF = 6\text{ km}\)
- \(MA = 2 \times DM\)
- \(\widehat{FDM} = 90^\circ\)
- \(F \in (DG)\) et \(M \in (DA)\)
- \((FM) // (AG)\)
Calculer \(DM\).
Calculer \(AG\) et \(FG\).
En déduire la longueur de la régate.
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