Théorème de Thalès direct

Théorème :

\((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en \(A\)

Soient \(B\) et \(M\) deux points de la droite \((D)\) distinctes de \(A\)

Soient \(C\) et \(N\) deux points de la droite \((\Delta)\) distinctes de \(A\)

Si \((BC) // (MN)\) alors : \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)

📌 Trois configurations illustrent ce théorème

Proposition

Soit \(ABC\) un triangle

Si \(\begin{cases} M \in [AB] \\ N \in [AC] \end{cases}\) tel que \((MN) // (BC)\)

Alors \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)

Remarque

• Le théorème de Thalès direct nécessite deux conditions, à savoir, l’appartenance et le parallélisme et donne la triple égalité.

• On utilise le théorème de Thalès direct pour calculer les longueurs.

Exemple :

Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(AB = 6\,cm\), \(AC = 4\,cm\) et \(BC = 5\,cm\)

Soit \(E\) un point de \([AB]\) tel que \(AE = 2\,cm\)

La parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) coupe \([AC]\) en \(F\)

1) Construire une figure

2) Calculer \(AF\) et \(EF\)

Solution

1) Construisons une figure

2) Calculons \(AF\) et \(EF\)

On considère le triangle \(ABC\)

On a : \(\begin{cases} E \in [AB] \\ F \in [AC] \end{cases}\) tel que \((EF) // (BC)\)

Donc d’après le théorème de Thalès direct, on a : \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\)

C’est-à-dire : \(\frac{2}{6} = \frac{AF}{4} = \frac{EF}{5}\)

Donc : \(\frac{2}{6} = \frac{AF}{4}\) et \(\frac{2}{6} = \frac{EF}{5}\)

Donc : \(AF = \frac{2 \times 4}{6}\) et \(EF = \frac{2 \times 5}{6}\)

D’où : \(AF = \frac{4}{3}\,cm\) et \(EF = \frac{5}{3}\,cm\)

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème :

Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en \(A\)

\(B\) et \(M\) deux points de \((D)\) distincts de \(A\)

\(C\) et \(N\) deux points de \((\Delta)\) distincts de \(A\)

Si les points \(A, M, B\) et les points \(A, N, C\) ont le même ordre tel que \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\)

Alors : \((MN) // (BC)\)

Proposition

Soit \(ABC\) un triangle

Si \(\begin{cases} M \in [AB] \\ N \in [AC] \end{cases}\)

et les points \(A, M, B\) et les points \(A, N, C\) ont le même ordre tel que \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\)

Alors : \((MN) // (BC)\)

Remarque

• Le théorème de Thalès réciproque nécessite trois conditions (Appartenance + Ordre des points + Égalité) et donne le parallélisme.

• On utilise la réciproque du théorème de Thalès pour prouver le parallélisme.

• La condition de l’ordre des points sur chaque droite est nécessaire pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès.

Exemple :

On considère la figure suivante :

On a : \(\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}\) et \(\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}\)

Donc : \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\)

Et pourtant \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles, car l’ordre des points \(A, N, C\) est différent de l’ordre des points \(A, M, B\).

Application

Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(AB = 4\,cm\) et \(AC = 6\,cm\)

\(E\) est un point de \([AB]\) tel que \(AE = 2\,cm\) et \(F\) est un point de \([AC]\) tel que \(AF = 3\,cm\)

1) Construire une figure

2) Montrer que : \((BC) // (EF)\)

Solution

1) Construisons une figure

2) Montrons que : \((BC) // (EF)\)

On a \(\frac{AE}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) et \(\frac{AF}{AC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Donc : \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\)

On considère le triangle \(ABC\)

On a : \(\begin{cases} E \in [AB] \\ F \in [AC] \end{cases}\)

Et les points \(A, E, B\) et les points \(A, F, C\) ont le même ordre et puisque \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\)

Donc, d’après le théorème de Thalès réciproque, on a : \((BC) // (EF)\)

Tableau récapitulatif

⚠️ Attention : La condition de l’ordre des points est essentielle pour la réciproque du théorème de Thalès.