Théorème de Thalès – Évaluations corrigés

Évaluation de Mathématiques

Théorème de Thalès

Matière :Mathématiques

Niveau :3^ème Année Collège

Durée :45 min

Barème :20 points

Exercice 1 : Questions de cours (4 points)

4 pts

1) Énoncer le théorème de Thalès direct. (1 pt)

2) Énoncer la réciproque du théorème de Thalès. (1 pt)

3) Dans une configuration de Thalès, quelles sont les deux conditions nécessaires pour appliquer le théorème direct ? (1 pt)

4) Pour utiliser la réciproque du théorème de Thalès, quelle condition supplémentaire est indispensable en plus de l’égalité des rapports ? (1 pt)

Exercice 2 : Application directe du théorème de Thalès (4 points)

4 pts

Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB = 6$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 5$ cm.

Soit $E$ un point de $[AB]$ tel que $AE = 2$ cm. La parallèle à $(BC)$ passant par $E$ coupe $[AC]$ en $F$.

1) Faire une figure. (1 pt)

2) Calculer $AF$ et $EF$. (3 pts)

Exercice 3 : Réciproque du théorème de Thalès (4 points)

4 pts

Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB = 4$ cm et $AC = 6$ cm.

$E$ est un point de $[AB]$ tel que $AE = 2$ cm et $F$ est un point de $[AC]$ tel que $AF = 3$ cm.

1) Faire une figure. (1 pt)

2) Montrer que : $(BC) // (EF)$. (3 pts)

Exercice 4 : Triangles emboîtés (4 points)

4 pts

On considère la figure ci-contre où $(AB) // (CD)$.

On donne : $OA = 6$ cm, $OB = 9$ cm, $OC = 4$ cm, $AB = 12$ cm.

1) Calculer $OD$. (2 pts)

2) Calculer $CD$. (2 pts)

Exercice 5 : Synthèse (4 points)

4 pts

Dans la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle.

$M \in [AB]$, $N \in [AC]$ tels que $(MN) // (BC)$.

On donne : $AM = 3$ cm, $MB = 6$ cm, $AN = 4$ cm.

1) Calculer $AB$ et $AC$. (2 pts)

2) On suppose que $BC = 15$ cm. Calculer $MN$. (2 pts)

Exercice 1 : Corrigé (4 points)

Corrigé

1) Théorème de Thalès direct : (1 pt)
Soient deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ sécantes en $A$. Soient $B$ et $M$ sur $(D)$, $C$ et $N$ sur $(\Delta)$. Si $(BC) // (MN)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.

2) Réciproque du théorème de Thalès : (1 pt)
Soient deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ sécantes en $A$. Soient $B$ et $M$ sur $(D)$, $C$ et $N$ sur $(\Delta)$. Si les points sont dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN) // (BC)$.

3) Conditions pour le théorème direct : (1 pt)
• L’appartenance des points aux mêmes droites issues du point $A$.
• Le parallélisme des droites $(MN) // (BC)$.

4) Condition pour la réciproque : (1 pt)
L’ordre des points sur chaque droite doit être le même.

Exercice 2 : Corrigé (4 points)

Corrigé

1) Figure : (1 pt)

2) Calcul de AF et EF : (3 pts)
On considère le triangle $ABC$.
On a : $E \in [AB]$, $F \in [AC]$ et $(EF) // (BC)$.
D’après le théorème de Thalès direct : $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{EF}{BC}$
$\dfrac{2}{6} = \dfrac{AF}{4} = \dfrac{EF}{5}$
$AF = \dfrac{2 \times 4}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ cm (1,5 pts)
$EF = \dfrac{2 \times 5}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$ cm (1,5 pts)

Exercice 3 : Corrigé (4 points)

Corrigé

1) Figure : (1 pt)

2) Montrons que $(BC) // (EF)$ : (3 pts)
On a $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ (1 pt)
On a $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ (1 pt)
Donc $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.
On considère le triangle $ABC$.
On a : $E \in [AB]$, $F \in [AC]$ et les points $A, E, B$ et $A, F, C$ ont le même ordre.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on a : $(BC) // (EF)$. (1 pt)

Exercice 4 : Corrigé (4 points)

Corrigé

1) Calcul de OD : (2 pts)
On a $(AB) // (CD)$.
D’après le théorème de Thalès dans le triangle $OAB$ : $\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB}$
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{OD}{9}$
$OD = \dfrac{4 \times 9}{6} = \dfrac{36}{6} = 6$ cm

2) Calcul de CD : (2 pts)
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{OC}{OA}$
$\dfrac{CD}{12} = \dfrac{4}{6}$
$CD = \dfrac{4 \times 12}{6} = \dfrac{48}{6} = 8$ cm

Exercice 5 : Corrigé (4 points)

Corrigé

1) Calcul de AB et AC : (2 pts)
$AB = AM + MB = 3 + 6 = 9$ cm (1 pt)
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$
$\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{AC}$
$AC = \dfrac{4 \times 9}{3} = \dfrac{36}{3} = 12$ cm (1 pt)

2) Calcul de MN : (2 pts)
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB}$
$\dfrac{MN}{15} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
$MN = \dfrac{15 \times 1}{3} = 5$ cm

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