Travail et énergie cinétique exercices corrigés
⚡Exercice : Questions de cours (Travail et Énergie cinétique)
Donner la définition de l’énergie cinétique d’un corps. Quelle est son unité dans le Système International ?
Donner l’expression de l’énergie cinétique d’un corps solide en mouvement de translation. Préciser la signification et l’unité de chaque terme.
Donner l’expression de l’énergie cinétique d’un corps solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Définir le moment d’inertie \( J_\Delta \).
Donner les moments d’inertie des solides usuels suivants (exprimés en fonction de \( m \) et \( R \) ou \( L \)) :
– Jante circulaire
– Disque homogène
– Barreau homogène
Énoncer le théorème de l’énergie cinétique pour un corps solide indéformable. Donner son expression mathématique.
Donner l’expression de la variation de l’énergie cinétique :
– pour un mouvement de translation
– pour un mouvement de rotation
Que peut-on conclure du travail du poids et de la variation de l’énergie cinétique lors d’une chute libre d’un corps ?
Dans quel référentiel le théorème de l’énergie cinétique est-il applicable ? Justifier.
Énergie cinétique : Tout corps en mouvement possède une énergie appelée énergie cinétique, notée \( E_c \).
Unité : Le joule (J) dans le Système International.
💡 Remarque : L’énergie cinétique est une énergie mécanique associée au mouvement du corps.
L’énergie cinétique d’un solide de masse \( m \) et de centre d’inertie \( G \) en mouvement de translation est :
Signification des termes :
- \( E_c \) : énergie cinétique du solide (en J)
- \( m \) : masse du solide (en kg)
- \( v_G \) : vitesse du centre d’inertie G (en m·s⁻¹)
💡 Remarque : L’énergie cinétique en translation dépend de la masse et du carré de la vitesse.
L’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe \( (\Delta) \) est :
Moment d’inertie \( J_{\Delta} \) : C’est une grandeur qui caractérise le solide. Elle dépend de sa masse et de la répartition de cette masse autour de l’axe de rotation.
Unité : \( \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
💡 Remarque : L’énergie cinétique en rotation dépend du moment d’inertie et du carré de la vitesse angulaire.
| Solide | Moment d’inertie \( J_{\Delta} \) |
|---|---|
| Jante circulaire (cylindre creux) | \( J_{\Delta} = m \cdot R^2 \) |
| Disque homogène (cylindre plein) | \( J_{\Delta} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot R^2 \) |
| Barreau homogène (axe au centre) | \( J_{\Delta} = \dfrac{1}{12} \cdot m \cdot L^2 \) |
| Cylindre plein homogène | \( J_{\Delta} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot R^2 \) |
| Sphère pleine homogène | \( J_{\Delta} = \dfrac{2}{5} \cdot m \cdot R^2 \) |
Énoncé : Dans un repère galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un corps solide indéformable en translation ou en rotation autour d’un axe fixe, entre deux instants \( t_1 \) et \( t_2 \), est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce corps entre ces deux instants.
Expression mathématique :
💡 Remarque : Ce théorème est une forme du principe de conservation de l’énergie appliqué à la mécanique.
a) Cas du mouvement de translation :
b) Cas du mouvement de rotation :
Lors d’une chute libre (sans vitesse initiale), le corps n’est soumis qu’à son poids \( \vec{P} \).
D’après le théorème de l’énergie cinétique :
Conclusion : La variation de l’énergie cinétique entre deux positions est égale au travail du poids entre ces deux positions.
📌 Exemple : \( W(\vec{P}) = mgh \) et \( \Delta E_c = \dfrac{1}{2} m v^2 \) → \( mgh = \dfrac{1}{2} m v^2 \)
Le théorème de l’énergie cinétique est applicable dans un référentiel galiléen.
Justification :
- Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie s’applique.
- Les lois de la mécanique, dont le théorème de l’énergie cinétique, sont valables dans ce type de référentiel.
- Exemples : référentiel terrestre (en première approximation), référentiel héliocentrique.
💡 Remarque : Dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter les forces d’inertie (forces fictives) pour que le théorème reste valable.
⚡Exercice 1 : Énergie cinétique d’un cylindre
Calculer l’énergie cinétique d’un cylindre de masse \( m = 20 \, \text{kg} \)** et de rayon \( R = 40 \, \text{cm} \)** dans chacun des cas suivants :
Donnée : \( g = 9,81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \)
Calculer l’énergie cinétique du cylindre en mouvement de translation à la vitesse \( v = 20 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \).
Calculer l’énergie cinétique du cylindre en mouvement de rotation autour de son axe fixe à la vitesse angulaire \( \omega = 50 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \).
Masse : \( m = 20 \, \text{kg} \)
Rayon : \( R = 40 \, \text{cm} = 0,40 \, \text{m} \)
Vitesse de translation : \( v = 20 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \)
Vitesse angulaire : \( \omega = 50 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \)
Intensité de pesanteur : \( g = 9,81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \)
Moment d’inertie du cylindre plein : \( J_{\Delta} = \dfrac{1}{2} m R^2 \)
L’énergie cinétique d’un solide en mouvement de translation est donnée par :
Application numérique :
💡 Remarque : L’énergie cinétique en translation ne dépend pas du rayon du cylindre.
L’énergie cinétique d’un solide en mouvement de rotation est donnée par :
Le cylindre est plein et homogène, son moment d’inertie par rapport à son axe est :
Application numérique :
L’énergie cinétique de rotation est donc :
📌 Comparaison :
\( E_c = 4000 \, \text{J} \)
\( E_c = 2000 \, \text{J} \)
L’énergie cinétique en translation est 2 fois plus grande que l’énergie cinétique en rotation.
🏀Exercice 2 : Chute libre d’une bille
Une bille de masse \( m = 15,0 \, \text{g} \) tombe sans vitesse initiale du point \( O \) situé à une hauteur \( h = 18,0 \, \text{m} \) au-dessus du sol.
Calculer la valeur de l’énergie cinétique de la bille lorsqu’elle atteint le sol, puis en déduire sa vitesse.
Donnée : \( g = 9,81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \)
Calculer la valeur de l’énergie cinétique de la bille lorsqu’elle atteint le sol, puis en déduire sa vitesse.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
🚗Exercice 3 : Freinage d’une voiture – Théorème de l’énergie cinétique
Une voiture de masse \( m = 900 \, \text{kg} \) s’engage sur une route rectiligne avec une vitesse initiale \( V_0 = 100 \, \text{km} \cdot \text{h}^{-1} \).
Après avoir parcouru une distance \( d = 97,0 \, \text{m} \) pendant une durée \( \Delta t = 6,54 \, \text{s} \) , ses roues se bloquent brusquement.
Donnée : \( g = 9,81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \)
Calculer l’énergie cinétique initiale de la voiture. Préciser le référentiel choisi pour ce calcul.
Faire le bilan des forces appliquées sur la voiture.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant initial et l’instant où les roues se bloquent, déterminer l’expression de la force de frottement \( f \).
Calculer l’intensité de la force de frottement \( f \) exercée par la route sur les roues.
Calculer la puissance moyenne de la force de frottement pendant le freinage.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
📐Exercice 4 : Solide descendant une pente inclinée
Un corps solide descend une pente \( AB = 10 \, \text{m} \) en ligne droite, sans frottement.
Le plan incliné fait un angle \( \alpha \) avec l’horizontale.
Au point \( A \), sa vitesse est nulle. À l’arrivée au point \( B \), sa vitesse est \( v = 8 \, \text{km} \cdot \text{h}^{-1} \).
Donnée : \( g = 9,81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \)
Calculer l’angle \( \alpha \)** du plan incliné.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
🚀Exercice 5 : Lancer vertical d’une bille (Chute libre)
Une bille est lancée verticalement vers le haut à une altitude \( h = 2,0 \, \text{m} \)** par rapport au sol, avec une vitesse \( v_A = 10 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \)**.
On considère que le poids est la seule force appliquée à la bille (chute libre).
Donnée : \( g = 10 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
Calculer la hauteur maximale atteinte par la bille.
Calculer la vitesse de la bille lorsqu’elle retombe sur le sol.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
⛷️Exercice 6 : Skieur descendant une pente inclinée
Un skieur descend une pente en ligne droite sur une distance \( AB = 200 \, \text{m} \). La pente fait un angle de \( \alpha = 20^\circ \) avec l’horizontale.
Au point \( A \), sa vitesse est nulle. À l’arrivée au point \( B \), sa vitesse est \( 30 \, \text{km} \cdot \text{h}^{-1} \). La masse du skieur est \( m = 80 \, \text{kg} \).
L’ensemble des forces de frottement que subit le skieur est équivalent à une force \( \vec{f} \) parallèle au sol mais opposée au sens du mouvement.
Donnée : \( g = 10 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
Représenter le skieur avec les différentes forces qui agissent sur lui et nommer ces forces.
Calculer le poids du skieur et déterminer l’angle qu’il fait avec \( AB \).
Calculer le travail du poids au cours du mouvement de \( A \) à \( B \).
Déterminer l’énergie cinétique du skieur à l’arrivée au point \( B \).
Donner l’expression du théorème de l’énergie cinétique appliqué au cas de ce skieur.
Donner l’expression du travail de la force de frottement \( \vec{f} \).
En déduire l’intensité de la force de frottement \( \vec{f} \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
🔮Exercice 7 : Pendule simple
Un pendule est constitué d’une bille de masse \( m = 200 \, \text{g} \) suspendue à un fil de longueur \( L = 1,00 \, \text{m} \).
On écarte le fil d’un angle \( \alpha = 70^\circ \) par rapport à la verticale (position A) et on l’abandonne sans vitesse initiale. On néglige les frottements.
Donnée : \( g = 10 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
Calculer la vitesse de la bille à son passage par la position d’équilibre (position B).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
🔄Exercice 8 : Cylindre en rotation – Couple de frottement
Un cylindre homogène de rayon \( R = 10 \, \text{cm} \) tourne autour de son axe de rotation \( \Delta \) à la vitesse \( \omega = 45 \, \text{tours} \cdot \text{min}^{-1} \).
On arrête le moteur qui fait tourner le cylindre. Le cylindre fait \( n = 120 \) tours avant de s’arrêter.
On donne le moment d’inertie du cylindre : \( J_{\Delta} = 3,0 \times 10^{-2} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \).
Calculer la valeur du moment du couple de frottement (considéré constant).
On fait fonctionner le moteur de nouveau. Le cylindre tourne à la vitesse constante \( \omega = 45 \, \text{tours} \cdot \text{min}^{-1} \)**.
Calculer le travail effectué par le moteur pendant une minute et en déduire sa puissance.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
🎢Exercice 9 : Corps solide sur une piste (circulaire puis rectiligne)
Un corps solide (S) de masse \( m = 200 \, \text{g} \)** se déplace sur une piste verticale composée de deux parties :
- Une partie circulaire \( AB \) de centre \( O \) et de rayon \( r = 60 \, \text{cm} \)** telle que \( \angle AOB = \theta = 60^\circ \).
- Une partie rectiligne \( BC \).
Le corps (S) part du point \( A \) sans vitesse initiale.
Donnée : \( g = 10 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
En considérant les frottements négligeables sur la partie \( AB \), calculer la valeur de la vitesse de (S) au point \( B \).
(S) parcourt la distance \( BC = 80 \, \text{cm} \)** puis s’arrête. Calculer l’intensité de la force de frottement (considérée comme constante) sur la partie \( BC \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
🎢Exercice 10 : Point matériel sur une piste (inclinée + circulaire)
Un solide \( S \) assimilable à un point matériel de masse \( m = 50 \, \text{g} \) est en mouvement sur une piste constituée :
- d’une partie rectiligne \( AB \) inclinée d’un angle \( \alpha = 60^\circ \) par rapport à l’horizontale
- d’une partie circulaire \( BC \) de centre \( I \) et de rayon \( r = 0,5 \, \text{m} \)
Donnée : \( g = 10 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
Le point matériel \( S \) est lancé du point \( A \) avec une vitesse \( v_A = 6 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \). Il arrive au point \( B \) avec une vitesse nulle.
Calculer la distance \( AB \) sachant que le point matériel est soumis à une force de frottement \( \vec{f} \) d’intensité constante \( f = 10^{-2} \, \text{N} \).
On néglige les frottements sur la partie circulaire \( BC \). Calculer la vitesse \( v_C \) de \( S \) au point \( C \).
Le point matériel quitte le point \( C \) avec la vitesse \( v_C \). Calculer la vitesse \( v_D \) du point matériel au point \( D \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
⚙️Exercice 11 : Système poulie-solide (Translation et rotation)
On considère le dispositif représenté dans le schéma ci-contre :
Un solide \( S \) de masse \( m = 100 \, \text{kg} \) est attaché par un fil enroulé sur la gorge d’une poulie. À son autre extrémité, on applique une force \( \vec{F} \) horizontale de valeur constante.
Données :
- \( g = 9,81 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
- Poulie homogène de rayon \( R = 10 \, \text{cm} \)
- Moment d’inertie \( J_\Delta = 5,0 \times 10^{-3} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
- La poulie tourne sans frottement autour de son axe \( \Delta \)
À l’instant \( t = 0 \), la vitesse du solide est nulle. On applique la force \( \vec{F} \). À l’instant \( t \), sa vitesse est \( v = 4 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \) et il se trouve à la hauteur \( h = 5 \, \text{m} \).
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au solide \( S \) entre les instants \( t = 0 \) et \( t \), calculer la valeur de la force \( T \) qu’applique le fil sur le solide.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la poulie entre les instants \( t = 0 \) et \( t \), calculer la valeur de la force \( \vec{F} \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
⚙️Exercice 12 : Système poulie-solide sur plan incliné
Un solide \( S \) de masse \( m = 400 \, \text{g} \) est attaché à un fil inextensible de masse négligeable, enroulé autour d’une poulie \( P \) qui tourne autour de son axe \( \Delta \) sans frottement.
Le plan incliné fait un angle \( \alpha = 20^\circ \) avec l’horizontale.
Donnée : \( g = 9,81 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} \)
Vitesses instantanées :
\( v_2 = 0,25 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \) et \( v_4 = 0,45 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \)
Distance \( M_2M_4 \) : \( M_2M_4 = 2,8 \, \text{cm} = 2,8 \times 10^{-2} \, \text{m} \)
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au solide \( S \) entre les positions \( M_2 \) et \( M_4 \), montrer que l’expression de la tension \( T \) du fil est :
Déterminer le moment d’inertie \( J_\Delta \) de la poulie, sachant que son rayon est \( r = 20 \, \text{cm} \).
Lorsque le solide arrive au point \( A \) avec une vitesse \( v_A = 1,0 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \) , le fil se détache et le solide continue sur le plan incliné jusqu’au point \( B \) avec une vitesse \( v_B = 1,5 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \). Montrer que le mouvement de \( S \) se fait avec frottement.
Calculer l’intensité de la force de frottement sachant que \( AB = 40 \, \text{cm} \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
⚙️Exercice 13 : Système poulie-solide – Rebonds
Le système représenté ci-contre est constitué de :
- Une poulie homogène de rayon \( r \) et de masse \( M \), pouvant tourner autour d’un axe horizontal \( \Delta \). Son moment d’inertie est \( J_\Delta = \dfrac{1}{2} M r^2 \).
- Un corps solide ponctuel \( S \) de masse \( m \), suspendu par un fil inextensible enroulé sur la poulie. Le fil ne glisse pas sur la poulie et sa masse est négligeable.
On lâche \( S \) sans vitesse initiale du point \( A \) situé à une hauteur \( h \) du sol (\( t_0 = 0 \)).
Trouver le rapport \( b = \dfrac{E_{c2}}{E_{c1}} \), où \( E_{c1} \) est l’énergie cinétique du corps \( S \) et \( E_{c2} \) celle de la poulie.
Donner l’expression de l’énergie cinétique totale \( E_c \) du système (corps + poulie) à l’instant \( t \), en fonction de \( m \), \( M \) et \( v \).
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la poulie puis au corps \( S \), déterminer l’expression de la vitesse \( v \) du corps \( S \) en fonction de \( m \), \( M \), \( g \) et \( AB \).
Le corps \( S \) est détaché du fil et lâché sans vitesse initiale du point \( A \). Il tombe et heurte le sol en \( C \) avec une vitesse \( v_0 \), puis rebondit vers le haut avec une vitesse \( v_1 = -e v_0 \) (\( 0 < e < 1 \)). Exprimer la hauteur maximale \( h_1 \) atteinte après le premier rebond en fonction de \( e \) et \( h \).
Exprimer la hauteur maximale \( h_2 \) atteinte après le deuxième rebond en fonction de \( e \) et \( h \).
En déduire l’expression de la hauteur maximale \( h_n \) atteinte après le n-ième rebond en fonction de \( e \), \( h \) et \( n \).
Calculer \( h_5 \) pour \( h = 1 \, \text{m} \) et \( e = 0,9 \).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
⚙️Exercice 14 : Système de deux corps – Poulie avec frottement
On considère deux corps \( S \) et \( S’ \) de masses respectives \( M \) et \( M’ \). Ils sont reliés par un fil inextensible de masse négligeable passant sur une poulie \( P \) sans frottement et de masse négligeable.
À l’instant \( t_0 = 0 \), le système \( \{S, S’\} \) est en repos. \( S’ \) se trouve à une hauteur \( h \) du sol horizontal. On le lâche sans vitesse initiale.
Le corps \( S \) glisse sur le plan \( (\pi) \) avec frottement. La force de frottement est constante pendant le mouvement. La distance parcourue par \( S \) avant de s’arrêter est \( d > h \).
On néglige les actions de l’air.
Décrire ce qui se passe pendant la chute de \( S’ \) vers le sol horizontal.
Faire le bilan des forces appliquées sur \( S’ \) pendant la chute.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre \( t_0 \) et \( t_1 \) (instant où \( S’ \) atteint le sol), trouver l’expression de la vitesse \( v \) de \( S’ \) en fonction de \( M’ \), \( g \), \( h \) et \( T \) (intensité de la tension du fil).
Faire le bilan des forces appliquées sur \( S \) pendant son glissement sur le plan \( (\pi) \) dans chaque phase.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre \( t_0 \) et \( t_1 \), puis entre \( t_1 \) et \( t_2 \) (instant où \( S \) s’arrête), montrer que l’intensité de la force de frottement \( f \) est donnée par :
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .
Travail et énergie cinétique exercices corrigés