Travail et énergie cinétique – Cours

⚡ TRAVAIL & ÉNERGIE CINÉTIQUE

1^er Bac Sciences – Mouvement de translation et rotation

Énergie cinétique

1‑1 Notion d’énergie cinétique

Tout corps en mouvement possède une énergie cinétique, notée \( E_c \), d’unité le joule (J).

1‑2 Énergie cinétique d’un solide en translation

\( E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_G^2 \)

\( m \) : masse du solide (kg)
\( v_G \) : vitesse du centre d’inertie (m·s⁻¹)

1‑3 Énergie cinétique d’un solide en rotation

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) de vitesse angulaire \( \omega \), chaque point \( A_i \) de masse \( m_i \) et de rayon \( r_i \) possède une énergie cinétique :

\( E_{ci} = \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 \)

L’énergie cinétique totale du solide est :

\( E_c = \sum \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \sum m_i r_i^2 \right) \omega^2 \)

Moment d’inertie \( J_\Delta \)

\( J_\Delta = \sum m_i r_i^2 \) (unité : kg·m²)

\( E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \cdot \omega^2 \)

1‑3‑2 Moments d’inertie de quelques solides usuels

Théorème de l’énergie cinétique

2‑1 Cas d’un corps en chute libre

Une bille de masse \( m = 100\,g \) est lâchée sans vitesse initiale.

On mesure sa hauteur et sa vitesse à différents instants.

Entre \( h_i = 0,1\,m \) et \( h_f = 0,8\,m \)

\( W_{i\to f}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (h_f – h_i) = 0,1 \cdot 9,8 \cdot 0,7 = 0,686\,J \)

\( \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 – \frac{1}{2} m v_i^2 = 0,784 – 0,098 = 0,686\,J \)

➜ On constate que \( W(\vec{P}) = \Delta E_c \)

Conclusion : La variation d’énergie cinétique entre deux positions est égale au travail du poids.

2‑2 Cas d’un solide en translation rectiligne

Un autoporteur de masse \( m = 700\,g \) glisse sur un plan incliné d’angle \( \alpha = 10° \).

Enregistrement : \( G_0G_1 = 3\,mm,\; G_1G_2 = 9\,mm,\; G_2G_3 = 15\,mm,\; G_3G_4 = 21\,mm,\; G_4G_5 = 27\,mm,\; G_5G_6 = 33\,mm,\; G_6G_7 = 39\,mm \)

Calcul entre \( G_2 \) et \( G_6 \) :

\( E_c(2) = \frac{1}{2} \cdot 0,7 \cdot \left( \frac{24\cdot10^{-3}}{2\cdot60\cdot10^{-3}} \right)^2 = 0,014\,J \)

\( E_c(6) = \frac{1}{2} \cdot 0,7 \cdot \left( \frac{72\cdot10^{-3}}{2\cdot60\cdot10^{-3}} \right)^2 = 0,126\,J \)

\( \Delta E_c = 0,126 – 0,014 = 0,11\,J \)

\( \sum W_{G_2\to G_6}(\vec{F}) = W(\vec{P}) + W(\vec{R}) = m \cdot g \cdot G_2G_6 \cdot \sin\alpha = 0,7 \cdot 9,8 \cdot 96\cdot10^{-3} \cdot \sin10° = 0,11\,J \)

➜ On vérifie que \( \Delta E_c = \sum W(\vec{F}) \)

2‑3 Cas d’un solide en rotation

Le théorème de l’énergie cinétique s’applique également à un solide en rotation autour d’un axe fixe : la variation de l’énergie cinétique est égale à la somme algébrique des travaux des forces appliquées.

2‑4 Énoncé du théorème de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un corps solide indéformable en translation ou en rotation autour d’un axe fixe, entre deux instants \( t_1 \) et \( t_2 \), est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce corps entre ces deux instants.

\( \Delta E_c = E_{c2} – E_{c1} = \sum W_{1\to2}(\vec{F}_{ext}) \)

Translation : \( \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_2^2 – \frac{1}{2} m v_1^2 \)

Rotation : \( \Delta E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega_2^2 – \frac{1}{2} J_\Delta \omega_1^2 \)

📌 Synthèse – Énergie cinétique & Théorème

• Translation : \( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \) • Rotation : \( E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega^2 \)
• Moment d’inertie : \( J_\Delta = \sum m_i r_i^2 \) (kg·m²)
• Théorème de l’énergie cinétique : \( \Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext}) \)
• Cas particuliers : chute libre, plan incliné, rotation uniforme.

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