Exercice 1 : Énergie cinétique (3 points)

Questions de cours :

1) Donner la définition de l’énergie cinétique d’un corps solide en mouvement de translation. Écrire sa formule mathématique en précisant les unités. (1 pt)

2) Un solide en rotation autour d’un axe fixe possède une énergie cinétique. Écrire l’expression de l’énergie cinétique totale en fonction du moment d’inertie \(J_\Delta\) et de la vitesse angulaire \(\omega\). (1 pt)

3) Donner l’expression du moment d’inertie \(J_\Delta\) d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. (1 pt)

Exercice 2 : Théorème de l’énergie cinétique (3 points)

Questions de cours :

1) Énoncer le théorème de l’énergie cinétique pour un corps solide en translation dans un référentiel galiléen. (1 pt)

2) Écrire la relation mathématique du théorème de l’énergie cinétique pour un corps en translation. (1 pt)

3) Écrire la relation mathématique du théorème de l’énergie cinétique pour un corps en rotation autour d’un axe fixe. (1 pt)

Exercice 3 : Skieur tracté par un bateau (14 points)

Un skieur de masse \(m = 100\,\text{kg}\) (équipement compris) est tiré par un bateau à l’aide d’une corde parallèle à la surface de l’eau.

Données : \(g = 10\,\text{N·kg}^{-1}\) ; \(L = AB = 200\,\text{m}\) ; \(\alpha = 30°\) ; \(OB = OC = 15\,\text{m}\)

1ère étape (trajet horizontal AB) :

Le skieur démarre sans vitesse initiale du point A. Il est tracté par la force \(\vec{F}\) constante et l’ensemble des forces de frottement est représenté par la force horizontale \(\vec{f}\) d’intensité \(f = 100\,\text{N}\). Après un parcours de \(AB = L = 200\,\text{m}\), le skieur atteint une vitesse \(v_B = 20\,\text{m·s}^{-1}\).

1) Faire le bilan des forces s’exerçant sur le système {skieur+skis}. (1 pt)

2) Énoncer le théorème de l’énergie cinétique. (1 pt)

3) Exprimer les travaux des forces s’exerçant sur le système. (2 pts)

4) En déduire l’expression de la force de traction \(\vec{F}\) en fonction de \(m\), \(L\), \(f\), \(v_B\). Calculer \(F\). (2 pts)

2ème étape (trajet BC) :

Le skieur lâche la corde en B et parcourt, sans frottement, le tremplin circulaire BC de centre O de rayon \(OB = 15\,\text{m}\). Le rayon OC fait un angle de \(30°\) avec la verticale passant par O.

1) Exprimer la hauteur \(h\) acquise en haut du tremplin en fonction de \(OB\) et \(\alpha\). (1 pt)

2) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse \(v_C\) du skieur au point C en fonction de \(v_B\), \(\alpha\), \(g\) et \(OB\). Calculer \(v_C\). (3 pts)

3ème étape (trajet CE) :

Le skieur effectue un saut et retombe sur ses skis au point E. On prendra la vitesse du skieur au point C est : \(v_C = 19\,\text{m·s}^{-1}\).

1) La valeur de la vitesse au point D vaut \(v_D = 14\,\text{m·s}^{-1}\). En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, déduire la hauteur du point D au-dessus du plan d’eau en fonction des données de l’énoncé, puis calculer sa valeur. (2 pts)

2) Déterminer la vitesse au point E. (2 pts)